40. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y₀, то g’(y₀)=1/f’(x₀), где y₀=f(x₀)

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x₀))=g’(f(x₀))*f’(x₀)=1, g’(f(x₀))=g(y₀)=1/f’(x₀)

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в (а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x₀О(a,b) и f’(x₀)№0, то g диф-ма в точке y₀=f(x₀) и g’(y₀)=1/f’(x₀)

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y₀: y_N®y₀, y_N№y₀ => $ посл-ть x_N: x_N=g(y_N), f(x_N)=y_N

g(y_N)-g(y₀)/y_N-y_O = x_N-x_O/f(y_N)-f(y_O) = 1/f(y_N)-f(y_O)/x_N-x_O ® 1/f’(xo) при n®Ґ, получили при x_N®x_O g(y_N)-g(y_O)/y_N-y_O®1/f’(x_O) => g’(у_O)=1/f’(x_O)

Производные:

1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к. Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos yі0 и, значит Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin²y)^1/2 = 1/(1-x²)^1/2

2) x®Arccos’x = -1/(1-x²)^1/2

3) x®Arctg’x = 1/1+x²

4) x®Arcctg’x= -1/1+x²

41.Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки x_O, то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке x_O или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке x_O и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через f^N(x_O) - производную порядка n функции f в точке x_O и при n=0 считаем f⁰(x_O)=f(x_O).

Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки x_O (следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®f^N-1(x) непрерывна в точке x_O, а при nі2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки x_O.

Определение: Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке x_O называют функцию dх®f^N(x)*dх и обозначают d^Nf(x). Таким образом d^Nf(x):dх®f^N(x)dx^N.

Так как f^N(x)dх^N:dх®f^N(x)dx^N, то d^Nf(x)=f^N(x)dхN. В силу этого соотношения производную f^N(x) обозначают также d^Nf(x)/dх^N

Инвариантность:

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t). Если х считать независимой переменной, то диф-ал dy=y’(х)dx. Перейдем к независимой переменной t, учитывая что у’(t)=у’(х)*х’(t): dy=y’(t)dt=y’(x)*х’(t)dt. x’(t)dt=dх => dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх - видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй диф-ал по t: d²y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла dy’(x)=у”(х²)dx => d²y=у”(х²)dx²x+y’(x)*d²x, в то время как при независимой переменной х второй диф-ал имел вид д²y=у’(х²)*dx²x => неинвариантность формы второго диф-ла.

Формула Лейбница:

f(x)=u(x)*v(x)

Доказательство по индукции.

1) n=0 верно

2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)

Если для u и v $(n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по х - получим:

Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u⁰*v^N+1 входит только во вторую сумму с коэффициентом С⁰_N=1. Произведение u^N+1*v⁰ входит только в первую сумму с коэффициентом С^N_N=1. Все остальные произведения входящие в эти суммы имеют вид u^K*v^N+1-K. Каждое такое произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k. Сумма соотв. коэффициентов будет =>

получаем f^N+1(x)=u⁰*v^N+1++ u^N+1*v⁰=