2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность q в r.

Действительные числа - множество чисел вида [a₀],а₁ a₂ а₃... где а₀Z а₁,а₂,а₃,...{0,1,...,9}

Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:

[а_о],а₁ а₂ а₃...а_к (0) = а_о + а₁/10 + а₂/100 + ... +а_к/10^k = [а_о],а₁ а₂ а₃...а’_к (9), где а’_к=а_к-1

х=[х_о],х₁ х₂ х₃...х_к...

у=[у_о],у₁ у₂ у₃...у_к...

х’_к - катое приближение икса с недостатком = [х_о],х₁ х₂ х₃...х_к

у”_к - катое приближение игрека с избытком = [у_о],у₁ у₂ у₃...у_к + 1/10^k

х’_к+1 > х’_к (х’_к - монотонно растет)

у”_к+1  у”_k (у”_{k -} не возрастает), т.к. у”_к=[у_о],у₁ у₂ у₃...у_к + 1/10^к

у”_к+1 = [у_о],у₁ у₂ у₃...у_к у_к+1 + 1/10^к+1

у”_к - у”_к+1 = 1/10^к - у_к+1 + 1/10^к+1 0

10 - у_к+1 - 1 / 10^к+1  0

9 у_к+1

Определение: 1) х > у <=> к: х’_к > у”_к

2) х = у <=> х’_к не> у”_к & у”_к не> х’_к

По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)

Свойства: 1)х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у

2) х>у & у>z => х>z

3) х не> х

Док-во (2): х>у у>z

х’к>у”к у’m>z”m

n=max{k;m}

х’nх’к>у”ку”n у’n у’m>z”mz”n

у”n>у’n => х’n>z”n

Определение: Если АR и  х,уR  аА: х<а<у, то А плотно в R

Теорема: Q плотно в R.

Доказательство: х > у х’к > у”к х  х’к у”к  у

х  х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у

Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)Q

3.Несчетность множества действительных чисел.

Теорема: R несчетно.

Доказательство от противного:

1х₁=[х₁], х₁₁ х₁₂ х₁₃... |

2х₂=[х₂], х₂₁ х₂₂ х₂₃... | Пусть здесь нет девяток в периоде

3х₃=[х₃], х₃₁ х₃₂ х₃₃... |

... | (*)

кх_к=[х_к ], х_к1 х_к2 х_к3... |

... |

Найдем число которого нет в таблице:

с=[с], с₁ с₂ с₃...

[с][х₁] => сх₁

с₁  {9;х₂₁} => сх₂

с₂  {9;х₃₂} => сх₃

...

с_к  {9;х_к+1к} => сх_к

Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)

5.Теорема Дедекинда о полноте r

Пусть 1) 0АR; 2)  aA,  b: а<b; 3) АB=R, тогда ! сR:  aA,  b: асb

Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)

2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним множеством сечения (верхний класс)

Доказательство:

aA,  b: а<b => A ограничено сверху => SupA=m => b: bm => B ограничено снизу => InfB=n, mn

Докажем, что m = n:

Пусть m<n, тогда из теоремы о плотности Q в R следует, что  сQ: m<c<n => cА & cВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что mn

следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим асb

Докажем, что с единственное(от противного):

Пусть с’с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию. с’>с (с’<с) найдется такое b(a), что b<c’ (a>c’)-противоречие с aA, b: асb