31. Свойства показательной функции на множестве рациональных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел: Функция вида а^X, а>0, а№1 xОQ.

Свойства: для mОZ nОN

1) (а^M)^1/N = (а^1/N)^M

(а^M)^1/N=(((а^1/N)^N)^M)^1/N = ((а^1/N)^N*M)^1/N = (((а^1/N)^M)^N)^1/N = (а^1/N)^M

2) (а^M)^1/N=b <=> а^M=b^N

3) (а^M*K)^1/N*K=(а^M)^1/N

(а^M*K)^1/N*K=b <=> а^M*K=b^N*K <=> а^M=b^N <=> (а^M)^1/N=b

Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если обозначить: a^M/N=(а^M)^1/N=(а^1/N)^M, a^-M/N=1/a^M/N, а⁰=1

Св-ва: x,yОQ

1) a^X * a^Y = a^X+Y

a^X * a^Y =b; x=m/n, y=-k/n => a^M/N * 1/a^K/N = b => a^M/N = b * a^K/N => a^M = b^N * a^K => a^M-K = b^N => a^(M-K)/N = b => a^X+Y = b

2) a^X/a^Y = a^X-Y

3) (a^X)^Y=a^X*Y

(a^X)^Y=b; x=m/n, y=k/s => (a^M/N)^K/S=b => (a^M/N)^K=b^S => (a^1/N)^M*K=b^S => (a^M*K)^1/N=b^S => a^M*K=b^S*N => a^(M*K)/(S*N)=b => a^X*Y=b

4) x<y => a^X<a^Y (a>1) - монотонность

z=y-x>0; a^Y=a^Z+X => a^Y-a^X=a^Z+X-a^X=a^X*a^Z-a^X=a^X*(a^Z-1) => если a^Z>1 при z>0, то a^X<a^Y.

z=m/n => a^Z=(a^1/N)^M => a^1/N>1 => (a^1/N)^M>1 => a^X*(a^Z-1)>1, (a>1 n>0)

5) при x®0 a^X®1 (xОR)

Т.к. Lim a^1/N=1 (n®Ґ), очевидно, что и Lim a^-1/N=Lim1/a^1/N=1 (n®Ґ). Поэтому "Е>0 $n₀: "n>n₀ 1-E<a^-1/N<a^1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n₀, то

a^-1/N<a^X<a^1/N => 1-E<a^X<1+E. => Lim a^X=1 (при x®0)

32.Определение и свойства показательной функции на множестве действительных чисел.

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел: Функция вида а^X, а>0, а№1 xОR.

Свойства: x,yОR.

1) a^X * a^Y = a^X+Y

x_N®x, y_N®y => a^Xn * a^Yn = a^Xn+Yn => Lim a^Xn * a^Yn = Lim a^Xn+Yn => Lim a^Xn * lim a^Yn = Lim a^Xn+Yn => a^X * a^Y = a^X+Y

2) a^X / a^Y = a^X-Y

3) (a^X)^Y=a^X*Y

x_N®x, y_K®y => (a^Xn)^Yk = a^Xn*Yk => (n®Ґ) (a^X)^Yk=a^X*Yk =>(k®Ґ) (a^X)^Y=a^X*Y

4) x<y => a^X<a^Y (a>1) - монотонность.

x<x’ x,x’ОR; x_N®x x’_N®x’ x_N,x’_NОQ => x_N<x’_N => a^Xn < a^X’n => (n®Ґ) a^XЈa^X’- монотонна

x-x`>q>0 => a^X-X’ і a^Q>1 => a^X-X’№1 => aX<a^X’ - строго монотонна

5) при x n®0 a^X ®1

Т.к. Lim a^1/N=1 (n®Ґ), очевидно, что и Lim a^-1/N=Lim1/a^1/N=1 (n®Ґ). Поэтому "Е>0 $n₀: "n>n₀ 1-E<a^-1/N<a^1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n₀, то

a^-1/N<a^X<a^1/N => 1-E<a^X<1+E. => Lim a^X=1 (при x®0)

6) a^X - непрерывна

Lim a^X=1 (n®0) из (5) - это означает непрерывность a^X в точке 0 => a^X-a^Xo= a^Xo(a^X-Xo - 1) при х®x₀ x-x₀ n®0 => a^X-x₀ n®1 => при х®x₀ lim(a^X - a^Xo)=

Lim a^Xo*Lim(a^X-Xo - 1) = x₀ * 0 = 0 => a^X - непрерывна

33.Предел функции (1+x)^1/X при x®0 и связанные с ним пределы.

1) Lim (1+x)^1/X = e при x®0

У нас есть Lim (1+1/n)ⁿ = e при n®Ґ

Лемма: Пусть n_K®Ґ n_KОN Тогда (1+1/n_K)^Nk®e

Доказательство:

"E>0 $k₀: "n>n₀ 0<e-(1+1/n)ⁿ<E => n_K®Ґ $ k₀: "k>k₀ => n_K>n₀ => 0<e-(1+1/n_k)^Nk<E

Lim (1+x_K)^1/Xk при x®0+:

1/x_K=z_K+y_K, z_KОN => 0Јy_K<1 => (1+1/z_K+1)^Zk<(1+x_K)^1/Xk < (1+1/z_K)^Zk+1=(1+1/z_K)^Zk*(1+1/z_K)=>(1+1/z_K+1)^Zk=(1+1/z_K+1)^Zk+1)/(1+1/z_K+1) => (1+1/z_K+1)^Zk+1/(1+1/z_K+1) < (1+x_K)^1/Xk < (1+1/z_K)^Zk*(1+1/z_K) k®Ґ учитывая, что: (1+1/z_K)®1 (1+1/z_K+1)®1 => получаем:

eЈLim (1+x_K)^1/XkЈe => Lim (1+x_K)^1/Xk=e => Lim (1+x)^1/X=e при x®0+

Lim (1+x_K)^1/Xk при x®0-:

y_K=-x_K®0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)^1/X=e при x®0-

Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)^1/X=e при x®0

2) n®Ґ lim (1+x/n)^N = (lim (1+x/n)^N/X)^X = e^X

3) x®x^a aОR - непрерывна

x^a=(e^{Ln x}) ^a=e^{a*Ln x}

непр непр непр непр

x®Ln x®a*Ln®^{a*Ln x} => x®e^{a*Ln x}

4) x®0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)^1/X = Ln e = 1

4’) x®0 Lim Log_A(1+x)^1/X = 1/Ln a

5) x®0 Lim (e^X-1)/x = {e^X-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1

5’) x®0 Lim (a^X-1)/x = Ln a

6) x®0 Lim ((1+x)^a-1)/x = Lim ([e ^a*^{Ln (1+x)} -1]/[a*Ln(1+x)]*[a*Ln (1+x)]/x = 1*a*1= a