7.1. Елементарний електричний випромінювач (диполь Герца, електричний вібратор)

7.1.1. Загальні положення

Вище показано, що в природі існують електромагнітні хвилі, які можуть поширюватися в різних середовищах, зокрема у вільному просторі, та математично описані хвильовими рівняннями, отриманими на підставі рівнянь Максвелла. Експериментально це підтвердив в 1888 р. Генріх Рудольф Герц – ці хвилі отримали назву «хвилі Герца». Як випромінювач, Герц використовував вібратор з іскровим проміжком, який збуджує коливання (диполь Герца).

Довжина цього вібратора значно менша довжини хвилі (), тому значення сили струму та його фази вздовж випромінювача практичнооднакові. Тобто диполь Герца – це короткий, у порівнянні з довжиною хвилі (тому елементарний), вібратор, й можна вважати, що відстань від точки спостереження до будь-якої точки диполя однакова. Умовно можна вважати також, що заряди сконцентровані на кінцях стрижня, тому його й називають диполем. Теорію сучасних антен створено на основі цього пристрою.

Визначимо формули, які описують вектори іу довільній точці простору.

Вважаємо, що вібратор збуджують гармонічним сигналом. Тому далі застосовуємо комплексну форму. Нехай диполь Герца розташовано відносно декартової системи координат як показано на рис. 7.1 – вздовж осі .

Напруженість поля в будь-якій точці простору може бути визначена за таким алгоритмом: або.

З’ясуємо докладніше завдання:

1. Дано: сила струму диполя І, або густина струму , довжина диполяl, відстань від диполя до точки спостереження , процес у вільному просторі ().

2. Визначити: функції стосовно сферичної системи координат або(див рис. 7.1).

3. Стратегія (алгоритм) розв’язку: нагадаємо схему взаємозв’язку параметрів електромагнітного поля та застосуємо відповідні співвідношення.

4. Розв’язок (див. далі).

5. Відповідь: наведено наприкінці п. 7.1.3 як табл. 7.1.

Рисунок 7.1. Складники електромагнітного поля диполя Герца

Позиції 1…3 сформульовано вище.

Визначаємо:

4. Розв’язок

За значенням густини струму визначаємо векторний потенціалз урахуванням, що він єзатриманим (див. підрозділ 4.6):

, (7.1)

або в комплексній формі (для гармонічного сигналу):

(7.1а)

Вектор визначимо через векторний потенціал:

. (7.2)

Електричне поле визначимо з першого рівняння Максвелла для діелектричного середовища (вільного простору):

(7.3)

Оскільки об’єм , що охоплений струмом, є малий– густина струму всередині цього об’єму – величина незмінна. Нагадаємо, що , тобто відстаньвід довільної точки вібратора до довільної точки простору – точки спостереження, також величина незмінна. Тому рівняння (7.1а) надамо у формі:

(7.1б)

Вібратор скеровано вздовж осі (рис. 7.1). Отже:

(7.4)

Тобто векторний потенціал має лише одну проекцію вздовж осі . Оскільки вібратор це провідник зі струмомІ, – він утворює електромагнітне поле. Хвиля поширюється в навколишньому просторі й для аналізу цього поля в просторі використаємо сферичну систему координат (див рис. 7.1).

Задачу розв’язуємо із застосуванням вектора у точці. Визначимо його складники:

Радіальний складник:

(7.5)

Меридіанний складник:

(7.5а)

Азимутний складник:

. (7.5б)

Мінус у співвідношенні (7.5а) свідчить, що напрям вектору протилежний визначеному в сферичній системі координат.

Визначимо з рівняння (7.2). Із представленням ротора вектора в сферичній системі координат в загальному вигляді, отримаємо:

(7.6)

Внаслідок колової симетрії вібратора

(7.7)

З урахуванням (7.5б) та (7.7) маємо із (7.6):

. (7.8)

Тобто із (7.8) випливає, що напруженість магнітного поля має лише азимутний складник . Підтвердження цьому випливає з фізичного змісту – магнітне поле створюється навколо провідника із струмом (тобто спочатку – навколо диполя). Підставимо у (7.8) з (7.5) та з (7.5a). Після диференціювання та перетворення задля отримання складників із компонентами маємо:

(7.9)

На основі співвідношень (7.3) та (7.9) визначимо вектор напруженості електричного поля .

У сферичній системі координат:

(7.10)

Оскільки – в співвідношенні (7.10) лишаються такі складники:

(7.10a)

Звідки:

(7.11)

(7.12)

Значення , дорівнює нулю, це отримано з формальних математичних перетворень, а також випливає з фізичної сутності процесів – цей складник – відсутній (див рис.7.1).

Підставимо у формули (7.11) та (7.12) попередньо отримане значення з (7.9). Після диференціювання та перетворення задля отримання складників із компонентами маємо:

(7.11а)

Використаємо заміну для дальнього поля у вільному просторі :

(7.11б)

За аналогією знаходимо вираз для складника:

(7.12а)

Використаємо заміну й отримаємо:

(7.12б)

З аналізу формул (7.9), (7.11а, 7.11б) та (7.12а, 7.12б) випливає, що залежно від співвідношення між довжиною хвиліта відстанню від диполя до довільної точки у просторіїх можна спростити, якщо умовно поділити простір зайнятий полем на дві основні області (зони):ближнюзону (зонаіндукції) йдальнюзону (зонавипромінювання) за ознаками:

якщо: – ближня зона, (7.13)

якщо: – дальня зона. (7.13а)

Цей поділ визначено параметром – гранична відстань:

(7.14)

Між ближньою та дальньою зонами розташована проміжна зона (див. п. 7.1.4). З’ясуємо особливості електромагнітного поля в кожній зоні.