Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Діск 2 семестрТВ,ТІ / ТР-2-КратІнт

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

390.12 Кб

Скачать

☆

ТИПОВИЙ РОЗРАХУНОК № 8 Кратні інтеграли. Векторний аналіз.

Завдання 1. Розcтавити межі інтегрування двома способами та обчислити подвійний інтеграл.

Область інтегрування D зобразити на рисунку:
1.1	x2		y dxdy , область D обмежена прямими x y 1, x y 1, x 0			x 0 .
	D
1.2	xy2dxdy , область D обмежена лініями y x2 , y 4 x2 .
	D
1.3	2x y dxdy , область D обмежена лініями y x2 , y2 x ,				x 0,5	.
	D
	2
1.4		x	dxdy , область D обмежена лініями y 3 , y x , xy 1.
1.4		y2	dxdy , область D обмежена лініями y 3 , y x , xy 1.
	D
1.5	cos x y dxdy , область D обмежена лініями x ,			y ,	y x .
	D		2
1.6	x2		2 y dxdy , область D обмежена прямими y 0 ,	y x ,	y 2 x .

1.73x 4 y2 dxdy , область D – трикутник з вершинами А(1;3), В(4;6), С(6;3).

	D
1.8	x2 ydxdy , область D обмежена лініями x 0 ,	y x2 , x 2 y2 .
	D
1.9	xy 3y2 dxdy , область D обмежена лініями	y x2 ,		y x2		2 ,			x 0	x 0 .
	D
1.10	8dxdy , область D обмежена лініями y sin x ,	y cos x ,		x 0		x 0 .
	D
1.11	ex 2 y dxdy , область D – трикутник з вершинами А(1;1), В(5;3), С(7;1).
	D
1.12	7x xy y2 dxdy , область D обмежена лініями		y x2 ,	y 2 x2 ,					x 0	x 0 .
	D
1.13	x y2 dxdy , область D обмежена лініями y x2		, x y 2 , x 0						x 0 .
	D
1.14	cos x 3y dxdy , область D – трикутник з вершинами А(3;2), В(6;5), С(8;3).
	D
1.15	x2 ydxdy , область D обмежена лініями y x3 , y 2 x2 ,			x 0		x 0 .
	D
1.16	x y dxdy , область D обмежена лініями x y3 , x y 2 , y 0						y 0 .
	D
1.17	y2dxdy , область D обмежена прямими x 0 , x 4 , x y 7 ,						1	x y 1, y 0 .
1.17	y2dxdy , область D обмежена прямими x 0 , x 4 , x y 7 ,						2	x y 1, y 0 .
	D						2
	D
1.18	4 xy dxdy , область D обмежена лініями x 0 ,		y x2 ,	y 2x 2 .
	D
1.19	4x2 12xy dxdy , область D обмежена лініями	y x , y x ,				x 1 .
	D
1.20	3x xy dxdy , область D обмежена лініями x 0 , x 1,			y 2x 1,					y 4 x2 .
	D
1.21	2x y dxdy , область D обмежена лініями x 1 ,		y x2 ,	y x2 .
	D
1.22	sin x y dxdy , область D обмежена лініями x 0 , x				, y , y x .
	D		2
	D
1.23	5ydxdy , область D обмежена лініями y sin x , y x , x				.
	D				6
	D
1.24	6dxdy , область D обмежена лініями y cos x ,	x 0 , y x , x .
	D					6
	D
	35

1.25

ex dxdy ,

область D обмежена прямими y x ,

y 0 ,

x y 2 .

1.26

ey dxdy ,

область D обмежена прямими y x ,

x 0 ,

x y 4 .

1.27

x3dxdy ,

область D обмежена прямими x 0 ,

x y 1 та параболою y x2 .

x2 y xy dxdy , область D обмежена прямими x 0 ,

1.28

x y 4

та параболою y 16 x2 .

7xy y2 x dxdy , область D обмежена прямими x 1 ,

1.29

y 2x ,

y 3x .

1.30

xy y2 dxdy , область D – трикутник з вершинами O(0;0), A(10;1) та B(1;1).

Завдання 2. Обчислити подвійний інтеграл у полярних координатах:

arctg

2.1

dxdy , область D – частина кільця x2

y2 1,

x2 y2 9 ,

y x 3 .

2.2

y2 dxdy , область D обмежена однією з пелюсток троянди sin 2 .

2.3

Обчислити 1 x2 y2 1 dxdy , де D – внутрішня частина лемніскати cos 2 .

2.4

dxdy , область D – частина одиничного круга, що розташована в першому квадранті.

x2 y2

2.5

dxdy , область D – кільце 1 x2 y2 2 .

x2 y2

2.6

dxdy , область D визначається нерівностями

x2 y2

2.7

ex2 y2 dxdy , область D визначена нерівностями 1 x2 y2 9 , x 0 , y 0 .

a2 , y 0 .

2.8

a2 x2 y2 dxdy , область D обмежена лінією x2 y2

2.9

x2 y2 dxdy , область D – круг x2 y2 9 .

y2 dxdy , область D – чверть круга радіуса 2, що лежить у першому квадранті.

2.10

2.11

xydxdy , область D – верхня частина круга x2

y2 2ax , a 0 .

sin

2.12

x2 y2 dxdy , область D визначена нерівностями 2 x2 y2 4 2 .

2.13

R2 x2 y2 dxdy , область D – внутрішня частина круга x2 y2

R2 .

cos

2 x2 y2

2 .

2.14

y2 dxdy , область D визначена нерівностями

2.15

arctg

dxdy , D – область, обмежена спіраллю ( 0 2 ) і прямою 0 .

2.16

R 3x 3y dxdy , область D – круг x2

R2 .

2.17

ydxdy , область D обмежена лініями x2

50 , x2

y2 25 ,

y x , y

3x .

2.18

x2 y2 dxdy , область D – круг x2 y2

Rx .

2.19

x2 y2 2 dxdy , область D – внутрішня частина однієї з пелюсток троянди a sin 4 .

2.20

x2 y2

dxdy , область D – кільце 1 x2

4 .

x2 y

2.21

dxdy , область D обмежена лініями y

, y

3x , 4 x2 y2 9 .

x2 y2

2.22

3x y

dxdy , область D обмежена лініями x2 y2

4 ,

x2 y2

16 , x 0 , y 0

x 0, y 0 .

x2 y2

2.23

x 2 y

dxdy , область D обмежена лініями x2 y2

1 ,

x2 y2

4 , x 0 , y 0 .

x2 y2

y2 2y , x2 y2 5y .

2.24

x2 y2 dxdy , область D обмежена лініями x2

2.25

2 y 5x

dxdy , область D обмежена лініями x2 y2

9 ,

x2 y2

16 , x 0 , y 0

x 0, y 0 .

x2 y2

x 4 y

x2 y2 1,

x2 y2 25 ,

2.26

dxdy , область D обмежена

лініями

y x ,

y 3x ,

x2 y2

x 0, y 0 .

2.27		y 2x		dxdy , область D обмежена лініями	x2 y2 2x , x2 y2 4x , y x ,

		x2	y2
	D
2.28		x y		dxdy , область D обмежена лініями	y2 2y x2	0 ,	y2 6y x2	0 ,

		x2	y2
	D
2.29		2x 5y		dxdy , область D обмежена лініями	y2 2y x2	0 ,	y2 4y x2	0 ,

		x2	y2
	D
2.30	7x2 y dxdy , область D обмежена лініями x2 y2 4 , x2						y2 9 , y x ,

x 0 .

y 3x .

3x .

Завдання 3. Обчислити потрійні інтеграли:

ydxdydz , область V обмежена поверхнями y

h 0 .

3.1

x2 z2 , y h

3.2

dxdydz

, область V обмежена площинами

x z 2 ,

y 2 , x 0 ,

y 0 , z

0 .

x y z 1

3.3

dxdydz ,

область

V розміщена в першому

октанті

та обмежена

конусом:

4z2 x2 y2 і

площинами x 0 ,

y 0 ,

z 1.

3.4

x2 y2

z2 dxdydz , область V обмежена поверхнею 3 x2 y2 z2

3a2 .

3.5

dxdydz

, область V обмежена площинами x y z 1, x 0 ,

y 0 ,

z 0 .

1 x y

3.6

4 z dxdydz , область V обмежена поверхнями x 1 , x 1 ,

y x2

, y 1, z 0 , z 2 .

3.7

2x 3y z dxdydz , область V обмежена площинами x 0 , y 0 ,

z 0 , z 3 ,

x y 2 .

3.8

ydxdydz , область V обмежена поверхнями x 0 , x 1 , y 0 ,

z x 1,

z 2x 2 .

x ,

3.9

xz2dxdydz , область V обмежена поверхнями y 0 , y 2 ,

x 2 , z 0 ,

z 3 , x2

y2 2y .

3.10

dxdydz

, область V обмежена поверхнями x2 y2 a2 ,

x2 y2

3.11

x2 y2 dxdydz , область V визначена нерівностями z 0 , r2

x2 y2 z2 R2 .

3.12

x2 y2

z2 dxdydz , область V обмежена сферою x2 y2 z2

1 та координатними площинами

x 0 ,

y 0 ,

z 0 (перший октант).

3.13

ln 1 x2

y2 dxdydz , область V обмежена поверхнями x2

R2 ,

z 0 , z h .

3.14

R2 x2

y2 z2 dxdydz , область V обмежена поверхнею x2

y2 z2

R2 .

3.15

xyzdxdydz , область V обмежена поверхнями x2 y2 z2 1,

x 0 , y 0 , z 0 .

3.16

x2 y2 dxdydz , область V обмежена поверхнями x2 y2

2z , z 2 .

3.17

x2 y2

z2 dxdydz , область V обмежена поверхнями z x2 y2 , x y , x 1 , y 0 ,

z 0 .

				2	2			2					2
3.18		1	x			y	z		dxdydz , область V- внутрішня частина еліпсоїда			x
3.18		1		2		2		2	dxdydz , область V- внутрішня частина еліпсоїда				2
	V		a			b	c					a
	V
3.19	xy2 z3dxdydz , область V обмежена поверхнями z xy ,									x y ,	x 1 ,
	V

y2 z2 1. b2 c2

z 0 .

3.20

x2 y2 z2 dxdydz , область V обмежена поверхнею x2 y2 z2 z .

Обчислити

3.21

dxdydz , V - область, що визначається нерівностями 1 x2 y2 2 , 3

z 4 .

3.22

Обчислити x2

y2 dxdydz , область V визначається нерівностями x2 y2 1,

0 z x2 y2 .

3.23

xdxdydz , V - область,

обмежена площиною XOY , круговим циліндром x2 y2

1 та параболічним

циліндром x2 1 z .

3.24

y2 z2 dxdydz , V

- область, обмежена площинами x 1 , x 2 та циліндрами y2 z2 4 ,

y2 z2 9 .

3.25

y2 n cos zdxdydz , область V визначається нерівностями x 0 , y 0 , 0 z 1, x2

4 .

3.26

5x 3z dxdydz , область V обмежена поверхнями x2 y2 1, 2x 2y z 0 ,

z 50 .

3.27

z2 3 dxdydz , область V визначається нерівностями x 0 , y 0 , z 0 , x2 y2

10 .

z2 dxdydz ,

3.28

де V – прошарок, що міститься між внутрішньою сферою радіуса R1 та

концентричною з нею зовнішньою сферою радіуса R2 з центром у початку координат.

3.29

xyzdxdydz , область V - перетин одиничного шару та першого октанта x 0 , y 0 , z 0 .

3.30

xyz

dxdydz , область V – тіло, обмежене поверхнею x2 y2 z2 4 .

x2 y2

Завдання 4. Обчислити за допомогою потрійного інтеграла об’єм тіла, обмеженого вказаними поверхнями. Зробити рисунок даного тіла та його проекції на площину XOY:

4.1x2 y2 4 , y z 2 , z 0 .

4.2x2 y2 1, z 2 x y , z 0 .

4.3z y2 , x2 y2 9 , z 0 .

4.4z y , z 0 , x 0 , x 4 , y 25 x2 .

4.5z y2 , z 0 , x 0 , x y 2 .

4.6y 1 z2 , y x , y x .

4.7z 4 y , x y 4 , z 0 , x 0 .

4.8x2 y2 4y , z2 4 y .

4.9z 14 y2 , 2x y 0 , x y 9 , z 0 .

4.10z x2 y2 , y x2 , y 1, z 0 .

4.11z 0 , z 1 y , y x2 .

4.12z 4 x , y 4x2 , z 0 .

4.13z 0 , z 1 y , y x2 .

4.14z 0 , z 9 y2 , x2 y2 9 .

4.15z 0 , x y z 4 0 , x2 y2 4 .

4.16z 0 , x2 y2 z , x2 y2 4 .

4.17z 0 , z 1 y2 , x y2 , x 2 y2 1

4.18z 0 , z 1 x2 , y 0 , y 3 x .

4.19z 0 , x 0 , y 0 , x y 1, z x2 3y2 .

4.20z 0 , x 0 , z y2 , 2x 3y 6 .

4.21z 0 , z x 1 2 , y2 x .

4.22z 0 , x 0 , y 0 , z y2 1, x y 1.

4.23y x , y 2x , x z 6 , z 0 .

4.24z 2x2 y2 1, x y 1, x 0 , y 0 , z 0 .

4.25x2 y2 a2 , y 0 , z 0 , y x .

4.26x 4 , y 4 , z x2 y2 1, x 0 , y 0 , z 0 .

4.27	z 4 x2 ,		x 0 ,	y 0 ,	z 0 ,	2x y 4 x 0 .
4.28	z x2	y2 , z 0 ,		y 1,	y 2x , y 6 x .
4.29	x 0 ,	y 0 , z 0 , 2x 3y 12 0 ,					z	y2	.

							2			y 0 .
4.30	z 9 y2 ,		x 0 ,	y 0 ,	z 0 ,	3x 4y 12
Завдання 5. Застосувати кратні інтеграли для обчислення мас, координат центра мас, моментів
інерції:
5.1	Знайти		координати		центра	мас	однорідної пластини, що обмежена кривими ay x2 ,

x y 2a a 0 .

5.2 Знайти координати центра мас однорідної пластини, що обмежена кривими x y a , x 0 , y 0 .

5.3

Знайти

координати

центра

мас

однорідної

пластини,

що

обмежена

кривими

x 0, y 0 .

x3 y 3

5.4

Знайти

координати

центра

мас

однорідної

пластини,

що

обмежена

кривими

x2 y2 2 2a2 xy x 0, y 0 .

5.5Знайти момент інерції однорідного циліндра x2 y2 4, 0 z 4 відносно осі OY.

5.6Знайти центр мас однорідного тіла, що обмежене поверхнями z x2 y2 , x2 y2 R2 і площиною

XOY.

5.7Знайти координати центра мас однорідної напівсфери z R2 x2 y2 .

5.8Знайти координати центра мас однорідного конуса z 1 x2 y2 , що стоїть на площині XOY.

5.9Знайти координати центра мас однорідного тіла, що обмежене поверхнями x y z 0 , z x2 y2 .

5.10Знайти момент інерції однорідного тіла, що обмежене поверхнею x2 y2 2az і площиною z 9 , відносно осі OZ a 0 .

5.11Знайти координати центра мас однорідного тіла, що обмежене поверхнями x2 y2 9 z і z 0 .

5.12Знайти координати центра мас однорідного тіла, що обмежене верхньою частиною еліпсоїда обертання x2 y2 4z2 4 і площиною z 0 .

5.13Знайти координати центра мас однорідного тіла, що обмежене поверхнями x2 y2 z і z 16 .

5.14 Знайти масу тіла, що обмежене конусом z

x2 y2

і площиною z 4 , якщо густина в кожній

точці тіла чисельно дорівнює аплікаті z цієї точки.

5.15Знайти масу тіла, що обмежене координатними площинами і площиною x y z 2 , якщо густина в кожній його точці чисельно дорівнює добутку yz ординати і аплікати цієї точки.

5.16Знайти масу тіла, що обмежене координатними площинами і площиною 2x 3y 2z 6 , якщо

густина в кожній його точці чисельно дорівнює ординаті y цієї точки x, y, z y .

5.17Знайти момент інерції однорідної піраміди, що обмежена координатними площинами і площиною

xy z 1, відносно осі OX.

5.18Знайти момент інерції однорідної піраміди, що обмежена координатними площинами і площиною 2x 5y 5z 10 , відносно осі OZ.

5.19Знайти момент інерції однорідної піраміди, що обмежена координатними площинами і площиною 5x 5y 2z 10 , відносно осі OY.

5.20 Знайти координати центра мас однорідного тіла, що обмежене параболоїдом y2 2z2

4x і

площиною x 2 .

5.21Знайти масу тіла, що обмежене координатними площинами і площиною x y z 3, якщо густина в кожній точці тіла чисельно дорівнює добутку координат цієї точки.

5.22Знайти координати центра мас однорідного тіла, що обмежене конічною поверхнею z x2 y2 і площиною z 3 .

5.23Знайти координати центра мас частини тіла, що обмежене сферою x2 y2 z2 4 , яка знаходиться в першому октанті.

5.24Знайти координати центра мас тіла, що обмежене параболоїдом x2 y2 4z і площиною z 1.

5.25Обчислити масу тіла, що обмежене прямим круговим циліндром радіуса R і висотою H, якщо його густина в довільній точці дорівнює квадрату відстані від цієї точки до центра основи циліндра.

5.26Знайти масу кулі x2 y2 z2 2Rz , якщо густина дорівнює квадрату відстані від початку координат.

5.27 Обчислити масу тіла, що обмежене параболоїдом x2 y2 2az і сферою x2 y2 z2 3a2

z 0 ,

якщо густина в кожній точці дорівнює сумі квадратів координат.

5.28 Визначити моменти інерції відносно координатних площин однорідного тіла, що обмежене

площинами

1 ,

x 0 ,

y 0 , z 0 .

5.29

Визначити

момент інерції

відносно початку координат тіла, що обмежене поверхнею

5.30Визначити масу однорідного тіла, що обмежене поверхнями x2 y , x2 4 3y , z 0 , z 9 .

Соседние файлы в папке Діск 2 семестрТВ,ТІ

#
12.05.2015390.12 Кб8Індив.роб.-КратІнт.pdf
#
12.05.2015424.26 Кб6Індив.роб.-КратнИнтегрКуз.pdf
#
12.05.2015284.07 Кб11Індив.роб.-КривІнтег.pdf
#
12.05.2015544.35 Кб9Індив.роб.-Ряди.pdf
#
12.05.2015157.07 Кб6РСО2013-14,ТВ,ТІ-2семМатан.pdf
#
12.05.2015390.12 Кб8ТР-2-КратІнт.pdf
#
12.05.2015360.01 Кб11ТР2+КР3,4-ТВ,ТІ2013-14матан.pdf