Частинні похідні. Повний диференціал

Означення. Нехай задано функцію z=f(x,y) і нехай деяку точку з області визначення цієї функції (x,y). Якщо аргумент x отримує приріст dx, а аргумент y – приріст dy, то вираз dz=f(x+dx,y+dy)-f(x,y) називають повним приростом функції f(x,y) .

Означення. Функція f(x,y) називається неперервною у точці (x0,y0), якщо

.

Попередні означення легко переносяться із випадку двох змінних на випадок функції від n (n>2) змінних.

Означення. Величини dxz=f(x+dx,y)-f(x,y) та dyz=f(x,y+dy)-f(x,y) називаються частинними приростами функції f(x,y) .

Означення. Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за аргументом x називається границя

(6.1)

Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y визначаєють аналогічно.

Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі позначення :

f¢x(x,y); z¢x; ;

f¢y(x,y); z¢y; .

Частинні похідні тазадають напрями дотичних до поверхні z = f(x,y). Варто пригадати, що звичайна похідна f¢(x) =задає напрям дотичної до кривої y = f(x).

Приклади

1. Нехай

Тоді

2. Нехай Q=K0.6×L0.4. Знайдемо відповідні частинні похідні

(Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу, так і праці).

3. Побудуємо другі частинні похідні від функції Q=K0.6×L0.4 .

(Граничний випуск продукції спадає зі збільшенням як затрат капіталу, так і затрат праці).

4. Знайдемо змішані частинні похідні другого порядку :

Теорема: Якщо функція z = f(x,y) та її похідні z¢x , z¢y , z¢¢xy і z¢¢yx неперервні в точці (x,y) та деякому околі цієї точки, то z¢¢xy = z¢¢yx .

Означення. Повним диференціалом dz від функції z =f(x,y) називають суму її частинних диференціалів :

(6.2)

Приклад.

Тоді

Поняття повного диференціала має ряд застосувань. По-перше, величина dz є приростом (по z) дотичної площини до поверхні z =f(x,y), аналогічно до того, як диференціал dy від функції f(x) є приростом ординати дотичної до кривої y = f(x) (рис. 6.9,а - б).

19. Поверхневі інтеграли першого роду:

Означення, властивості, умови існування, обчислення, застосування.

20. Поверхневі інтеграли другого роду:Означення, властивості, умови існування, обчислення, застосування.

22. Формула Остроградського- Гауса (зв'язок між поверхневим інтегралом і потрійним).

Формула Стокса (зв'язок між криволінійним інтегралом другого роду і поверхневим інтегралом).

Векторне поле: означення. Потік векторного поля через поверхню. Дївергенція векторного поля. Теорема Остроградського- Гауса в векторній формі.

Потіквекторного поля через поверхню-поверхневий інтегралпершого роду поповерхні. За визначенням

де - Векторне поле (вектор-функція векторного аргументу - точки простору),-одиничний векторпозитивноїнормалідо поверхні (позитивний напрямок вибирається для ориентируемой поверхні умовно, але однаково для всіх точок - тобто для дифференцируемой поверхні - так, щоббуло безперервно; для неоріентіруемой поверхні це не важливо, тому що потік через неї завжди нуль),- Елемент поверхні.

• У тривимірному випадку , А поверхнею є звичайна двовимірна поверхню.

Іноді, особливо у фізиці, застосовується позначення

тоді потік записується у вигляді

.

Пусть задано векторное поле

Определение 3.7.

Дивергенциейилирасходимостью векторного поляназывается скалярная функция, определяемая равенством:

На этот раз векторное поле порождает скалярное полеdiv.

С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградскогоможно представить в форме:

т. е. поток векторного поля через замкнутую поверхностьSв направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

На основании формулы (3.38) можно записать: и, переходя к пределу, стягиваяV в точкуМ(при этом величинаV → 0), имеем:

То есть divесть предел отношения потока полячерез бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точкуМ, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.

Если поток , то в областьVвтекает большее количество жидкости (если следовать ранее рассмотренному примеру о течении несжимаемой жидкости), чем вытекает из неё, т.е. внутри областиVимеются источники жидкости.

Если П < 0, то внутри областиVесть стоки. Но поток векторного поля характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно, т.е. приП ≥ 0внутри областиVмогут быть как источники, так и стоки.

Для характеристики точки можно использовать div.

Если div> 0, то данная точка есть источник, еслиdiv< 0– то сток.

Заметим, что divможно записать с помощью символического вектора Гамильтонав следующем виде:

Отметим свойства дивергенции (справедливость которых рекомендуется показать самостоятельно):

где U– скалярная функция.