2.5. Перехідні процеси у колі r, c:

Аналізуючи перехідний процес у колі (рис. 11.7, а), з рівняння Ri+u_C=e(t), складеного за другим законом Кірхгофа, слід вилучити струм і, щоб звес­ти його до рівняння відносно змінної стану u_C-.Для цього використаємо співвідношення і = Cdu_C/dtі отримаємо: Схему вільного режиму зображено на рис. 11.7, б і йому відповідає однорідне диференціальне рівняння : . Xарактеристичне рівняння : RCp +1=0 має один корінь р =-1/RC, отже, загальний розв’язок диференціального рівняння: u_C’’=Ae^-(1/RC)t= Ae^-t/τ , де τ=RC- стала часу кола, що аналізується.

а) підключення кола R, С до джерела постійної напруги:

Нехай у схемі рис. 11.7, а джерело ЕРС e(t) = Е = const, а ключ пере­микається із положення «0» у положення «1». Проаналізуємо перехідний процес, користуючись відомим алгоритмом. 1. До комутації у колі існував усталений режим, який характеризував­ся відсутністю струму та напруги на опорі R. Щодо напруги на ємності, то тут можливі варіанти: заряд ємності; до комутації ємність заряду не мала: u_C-= 0;тобто її на­пруга за час перехідного процесу збільшується від нульового значення до величини, що дорівнює ЕРС джерела живлення. дозаряд ємності; до комутації ємність була заряджена від стороннього джерела у поляр­ності, що відповідає напряму джерела ЕРС кола -u_c-=Uo. На­пруга теж збільшується від нульового значення до величини, що дорівнює ЕРС джерела живлення, однак, ураховуючи різний початковий стан та полярність їх напруг у мо­мент комутації, доходимо висновку, що перехідний процес для варіанта 2 за своєю фізичною сутністю є дозарядженням ємності.

перезаряд ємності;до комутації ємність була заряджена від стороннього джерела у поляр­ності, протилежній до напряму джерела ЕРС кола -u_c-=-Uo. На­пруга теж збільшується від нульового значення до величини, що дорівнює ЕРС джерела живлення, однак, ураховуючи різний початковий стан та полярність їх напруг у мо­мент комутації, доходимо висновку, що перехідний процес для варіанта 3 за своєю фізичною сутністю є перезарядженням ємності. 1. У вимушеному режимі після комутації (t∞)незалежно від варіан­тів режиму нескомутованого кола струм та напруга на опорі R відсутні, оскільки ємність не пропускає струму за постійної напруги (і = С du_C/dt), а напруга на ємностіu_C’=E; 2. Закон, за яким змі­нюється напруга на ємності у перехідному процесі, запишемо так: u_C=u_C’+u_C’’=E+Ae^-(1/RC)t . 3. Одна початкова умова, яку визначають за другим законом комутації для всіх варіантів буде такою: u_C(0_)= u_C(0+)= u_C_; Для моменту часу t = 0+: u_C(0+)= E+A; одержимо сталі інтегрування відповідно до можливих варіантів режиму нескомутованого кола: А = u_C_ - Е. Остаточний розв’язок задачі стосовно напруги на ємності дістанемо, підставивши сталу інтегрування: u_C=E-Ee^-(R/C)t=E(1- e^-(1/RC)t); u_C=E-(E-Uo)e^-(1/RC)t; u_C=E-(E+Uo)e^-(1/RC)t

б) коротке замикання кола R, С;

У схемі рис. 11.7, (а) ключ перемикається із положення «1» у положення «2». 1) Вважатимемо, що до комутації коло з послідовним з’єднанням еле­ментів R та С було підімкнено до джерела постійної ЕРС. Тому в нескомутованому колі струму не було, а напруга на ємності дорівнювала ЕРС джерела живлення u_C-=E. 2) У результаті комутації елементи R та С відмикаються від джерела і коло стає короткозамкненим. У ньому відбувається процес розрядження ємності через опір, який закінчиться тільки тоді, коли ємність повністю розрядиться, тобто u’_C=0. 3) Закон, за яким змінюється напруга на єм­ності у перехідному процесі в розглядуваному колі, запишемо так:u_C=u_C’ + u_C’’= Ae^-(1/RC)t . 4) Початкова умова визначається за другим законом комутації: u_C(0_)= u_C(0+)= E ; Для моменту часу t = 0+ як Е = А, одержимо сталу інтегрування, підстановкою якої отримаємо остаточний розв’язок задачі відносно напруги на ємності u_C=Ee^-(1/RC)t . Струм у цьому колі: i=Cdu_C/dt=-(E/R) e^-(1/RC)t

в) підключення кола R, С до джерела синусоїдної напруги.

Тепер у схемі на рис. 11.7, (а) ідеальне джерело ЕРС е(t) = E_msin(wt + Ψ_e),відповідна напруга u(t) = е(t)=U_msin(wt=Ψ_u), a ключ перемикається із положення «0» у положення «1». Проаналізуємо перехідний процес у ко­лі, використовуючи той же алгоритм, що й раніше. 1). Будемо вважати, що до комутації у колі існував усталений режим, що характеризувався відсутністю струму та напруги на пасивних елементах кола:u_C_=0. 2). Після комутації у колі буде струм вимушеного режиму, розрахувати який краще у комплексній формі: . Миттєве значення струму вимушеного режиму:i’=I’_msin(wt+Ψ_u- φ), а відповідна йому напруга на ємності: u’_C=(I’_m/wC)sin(wt+Ψ_u- φ-п/2); 3). Закон, за яким змі­нюється напруга на ємності у перехідному процесі, запишемо так: u_C= u_C’ + u_C’’= (I’_m/wC)sin(wt+Ψ_u- φ-п/2)+Ae^-(1/RC)t ; 4). Одна початкова умова визначається за другим законом комутації: u_C(0_)= u_C(0+)= 0; Для моменту часу t= 0+: 0= (I’_m/wC)sin(Ψ_u- φ-п/2)+A , одержимо сталу

інтегрування: A= -(I’_m/wC)sin(Ψ_u- φ-п/2) ; Розв’язок задачі стосовно напруги на ємності отримаємо, підставивши сталу інтегрування: u’_C=(I’_m/wC)sin(wt+Ψ_u- φ-п/2)- (I’_m/wC)sin(wt+Ψ_u- φ-п/2)e^-t/τ ; При цьому струм кола у перехідному процесі: i=C(du_C/dt)=I’_msin(wt+Ψ_u- φ)+ (I’_m/wCR)sin(Ψ_u- φ-п/2)e^-t/τ . З виразів випливає, що вільні складові струму і на­пруги на ємності за заданих U_miZ залежать від початкової фази Ψ_u (фа­зи вмикання) вхідної напруги, яка, в свою чергу, визначається моментом спрацьовування ключа. Вмикання ключа за умови Ψ_u- φ=±п/2призведе до того, що вільного струму та вільних складових напруг на ділянках кола не буде, тобто одра­зу після вмикання настане усталений режим. Якщо ж у момент вмикання Ψ_u- φ= 0, то початкові значення вільних складових струму і напруги будуть найбільшими і якраз у цьому випадку слід чекати надструмів і перенапруг.