2.3. Алгоритм розрахунку перехідних процесів класичним методом.

Основні етапи: 1. Розрахунок усталеного докомутаційного кола. Мета етапу – визначення струмів в індуктивних вітках та напруг на ємності. Кінцевою метою розрахунків є отримання значень струмів індуктивностей та напруг на ємності в момент відліку часу: I_L-(0),u_C-(0) . 2. Усталений режим після комутації. На цьому етапі вже схема скомутованого кола. В результаті розрахунку мають бути отримані рівняння для струмів і напруг всіх шуканих величин. Якщо в колі 2 реактивних елементи, то крім струмів та напруг знаходять ще похідні цих величин при умові, що струми і напруги є часовими ф-ціями. Отримавши рішення 1 і 2-го етапів проводять порівняння значень струмів індуктивностей та напруг на ємності в момент початку відліку. Якщо вони відрізняються, то перехідний процес має місце і тоді необхідно виконати наступні етапи. Якщо ж вони однакові то перехідний процес не виникає. 3. Розрахунок початкових умов. Незалежні початкові умови: струми індуктивності та напруги на ємності у момент комутації. Залежні початкові умови: значення решти струмів і напруг віток та значення їхніх похідних в момент комутації. 4. Розрахунок вільного режиму складання характеристичного рівняння вільного режиму та знаходження його кореня. Визначення сталих інтегрування струмів і напруг вільного режиму . 5. Складання кінцевих рішень для струмів і напруг перехідного процесу.

2.4. Перехідні процеси у колі r, l:

Реальну котушку з індуктивністю L і активним опором R, що живиться від джерела ЕРС е(t), зображено на рис. 11.2, а. Диференціальне рівняння такого кола, записане за другим законом Кірхгофа, має вигляд: СХЕМА 11.2. Відповідно до викладеного вище схему вільного режиму зображено на рис. 11.2, б і йому відповідає однорідне диференціальне рівняння: i’’R+Ldi’’/dt=0 . Характеристичне рівняння R+Lp=0 має один корінь p=-R/L, отже, загальний розв’язок диференціального рі­вняння відносно вільної складової струму перехідного процесу отримає­мо як i’’=Ae^-(R/L)t=Ae^-t/τ , де τ =|1/p| - стала часу кола (L/R), яка має розмірність часу. Стала часу кола — це проміжок часу, протягом якого вільна складова, згасаючи, зменшується в е ~ 2,718 разу (е- основа натурального логари­фма). Теоретично перехідний процес триває нескінченно довго. Практично ж ми обмежуємо його розгляд інтервалом часу, за межами якого вільні струми і напруги стають несуттєвими.

а) підключення кола R, L до джерела постійної напруги;

Нехай у схемі рис. 11.2, (а) джерело ЕРС e(t) =Е=const, а ключ пере­микається із положення «0» у положення «1». Проаналізуємо перехідний процес у колі: 1. До комутації у колі існував усталений режим, що характеризувався відсутністю струму та напруги на пасивних елементах кола:i_=0. 2). Після закінчення перехідного процесу (t∞) у колі буде струм ви­мушеного режиму i’=E/R Тут ураховано, що індуктивність постійному струму у вимушеному режимі опору не чинить. 3. Закон, за яким зміню­ється струм перехідного процесу в розглядуваному колі, запишемо так: i=i’=i’’=E/R+ Ae^-(R/L)t . 4. Для визначення сталої А необхідно знати початкові умови. У цьому випадку - це одна початкова умова, яку можна розрахувати за першим законом комутації: i(0_) = i(0+) = 0. Записавши рівняння моменту часу t = 0+0 = E/R + А отримаємо сталу інтегрування А = —Е/R. Остаточний розв’язок задачі отримаємо, підставивши сталу інтегру­вання: i=E/R(1-e^-(R/L)t)

б) коротке замикання кола R, L;

Нехай у схемі рис. 11.2, (а) джерело ЕРС e(t) =Е=const, а ключ пере­микається із положення «1» у положення «2». Проаналізуємо перехідний процес у колі за зазначених умов. 1). До комутації у колі існував усталений режим, що характеризувався струмомi_=E/R . Тут, як і в попередньому випадку, враховано, що індуктивність по­стійному струму в усталеному режимі опору не чинить. 2). Після комутації, коли перехідний процес у колі закінчиться, струму вимушеного режиму не буде: i’=0 . 3). Закон, за яким змінюється струм перехідного процесу, запишемо так:i=i’+i’’=Ae^-(R/L)t . 4). Для визначення сталої інтегрування А необхідно знати початкові умови. У цьому разі — це теж одна початкова умова, яку можна визначити за першим законом комутації: i(О_) = i(0+) = Е/R. для моменту часу t=0+: E/R=A отримаємо сталу інтегрування. Остаточний розв’язок задачі отримаємо, підставивши сталу інтегрування в: i=E/Re^-(R/L)t . Наведений розрахунок показує, що перехідний процес у колі R,L у ра­зі його короткого замикання описується лише вільною складовою. За час перехідного процесу струм і усі напруги спадають до нуля за показнико­вим законом.

в) підключення кола R, L до джерела синусоїдної напруги.

Нехай у схемі рис. 11.2,(а) ідеальне джерело ЕРС е(t) = E_msin(wt + Ψ_e), відповідна напруга u(t) = е(t)=U_msin(wt=Ψ_u), а ключ перемикається із по­ложення «0» у положення «1». Проаналізуємо перехідний процес у колі, використовуючи той же алгоритм, що і раніше. 1.) До комутації: i_=0. 2). Після комутації (t∞)у колі буде струм вимушеного режиму, роз­рахувати який краще у комплексній формі: . Миттєве значення струму вимушеного режимуi’=I’_msin(wt+Ψ_u- φ) 1).Закон, за яким змінюється струм перехідного процесу в розглядуваному колі за зазначених умов, запишемо так:і = і' + і" = I’_msin(wt+Ψ_u- φ)+ Ae^-(R/L)t . 2). Для визначення сталої інтегрування А необхідно знати початкові умови. У цьому випадку - це одна початкова умова, яку можна визначити за першим законом комутації:і(0_) = i(0+) = 0. Для моменту часу t = 0+ : 0= I’_msin(Ψ_u- φ)+ A , одержимо сталу інтегрування А = -I’_msin(Ψ_u- φ)+ AОтже, i’=I’_msin(wt+Ψ_u- φ) -I’_msin(Ψ_u- φ)e^-(R/L)t . Вираз напруги на індуктивності отримаємо за відомим співвідношенням u_L=Ldi/dt=wLI’_msin(wt+Ψ_u-φ+п/2)+RI’_msin(Ψ_u- φ)e^-(R/L)t . Напруга на опорі R : u_R = iR = R [I’_msin(wt+Ψ_u- φ) -I’_msin(Ψ_u- φ)e^-(R/L)t ] . З виразів випливає, що вільна складова струму і напруг за зада­них U_m і Z залежить від початкової i вхідної на­пруги, яка, в свою чергу, визначається моментом спрацьовування ключа. Вмикання ключа за умови Ψ_u- φ= 0 призводить до того, що вільного струму та вільних складових напруг на ділянках кола не буде, тобто одра­зу після вмикання буде усталений режим, у якому i= I’_msinwt;u_L=wLI’_msin(wt+Ψ_u +п/2)