ρ = a cos3ϕ; 0 ≤ϕ< 2π, 0 ≤ ρ ≤ a, a>0

6. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ЛИНИЙ

Параметрические уравнения линий задаются в виде зависимости текущих координат x и y от некоторого параметра t. Каждому значению t соответствуют два значения: x и y. При изменении параметра t текущая точка M(x,y) описывает некоторую кривую на плоскости. Методом исключения параметра уравнение линии приводится к уравнению в декартовых координатах и, наоборот, линия, заданная в декартовых координатах, может быть приведена к виду кривой, заданной параметрически.

6.1. Окружность

Пусть M(x,y) - текущая точка окружности с центром в начале координат и радиусом R. В качестве параметра t выберем угол, который составляет радиус-вектор точки М с осью ox. Из треугольника ОМА:

x = Rcost,

y = Rsin t,

- параметрические уравнения окружности.

Исключим из параметрических уравнений параметр t. Для этого возведём эти уравнения в квадрат и сложим их:

x2 + y2 = R2 (cos2 t +sin2 t) = R2 .

Таким образом, получено уравнение окружности в декартовых координатах.

6.2. Циклоида

Обыкновенной циклоидой называется кривая, описываемая точкой круга, катящегося без скольжения по прямой линии.

23