ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Поверхности
Поверхность в трехмерном пространстве можно определить следующим образом:
в явной форме: z = z(x, y); (x, y) G ; |
(1) |
||
в неявной форме: F (x, y, z)= 0; (x, y, z) U; |
(2) |
||
в параметрической форме: |
|
|
|
x = x(u,v), y = y(u,v), |
z = z(u,v); (u,v) G |
(3) |
|
в векторной форме: |
r = r |
(u,v); (u,v) G , |
(4) |
где G - плоская область, U - пространственная область. В формуле (4)
r = x(u,v)i + y(u,v)j + z (u,v)k - радиус - вектор точки поверхности M (x, y, z).
1.1. Линейчатые поверхности
Поверхность называется линейчатой, если она получается при движении в пространстве прямой, называемой образующей.
Коническая поверхность возникает, когда образующая движется по некоторой плоской кривой, называемой направляющей, и имеет неподвижную точку, называемую вершиной.
Цилиндрическая поверхность возникает, когда фиксированная точка образующей движется по некоторой плоской кривой, называемой направляющей; в процессе перемещения образующая остается параллельной заданному направлению.
Кроме конических и цилиндрических поверхностей, к линейчатым относятся однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид, но закон движения образующей в этих случаях более сложен; ниже, при исследовании формы конкретных поверхностей, этот вопрос будет рассмотрен детально.
1.2. Поверхности вращения
Если поверхность получается вращением плоской кривой, лежащей в одной из координатных плоскостей вокруг одной из координатных осей, то уравнение поверхности может быть получено из уравнения линии:
1) кривая L(x, y)= 0 , лежащая в плоскости Oxy ;
вращение вокруг |
оси Ox : |
F (x, y, z)= L(x,± |
y2 |
+ z2 )= 0 |
, |
вращение вокруг |
оси Oy : |
F (x, y, z)= L(± x2 + z2 , y)= 0 |
; |
||
2) кривая L(x, z)= 0 |
, лежащая в плоскости Oxz ; |
|
+ z2 )= 0 |
|
|
вращение вокруг |
оси Ox : |
F (x, y, z)= L(x,± |
y2 |
, |
|
66