2.2 Основы гидростатики

2.2.1 Равновесие жидкости

Действующие силы и равновесное состояние жидкости. Рассмотрим некоторый объем жидкости рис.2.2.1

Рассматриваемый объем жидкости находится в состоянии относительного равновесия. В этом случае выделенная точка М также находится в состоянии равновесия. Такое состояние предполагает равновесное состояние сил, воздействующих на выделенный объем.

Рис. 2.2.1.

На выделенный объем действуют внешние силы – поверхностные и объемные силы. Объемные силы – это внешние силы пропорциональные объему и плотности вещества. Поверхностные силы – силы, действующие в границах выделенного объема. Условие равновесия предполагает присутствие нормальной составляющей N и касательной составляющей K. Касательная составляющая К для условия относительного равновесия должна бать равна нулю. Таким образом, условие относительного равновесия в рассматриваемом случае предполагает равенство поверхностных и объемных сил.

Поверхностные силы. Поверхностные силы определяют так называемое поверхностное «напряжение». Поверхностное напряжение определяется выражением:

, (11)

где Р - действующая поверхностная сила, - площадь взаимодействия поверхностной силы.

Объемные силы. Объемные силы (массовые силы) определяются воздействие внешних сил. Для них можно записать:

(12)

Основная теорема гидростатики. Основная теорема гидростатики устанавливает то, что гидростатическое давление (р) в данной точке не зависит от его направления, т.е.:

, (13)

.гдедавления по направлению осей координатx,y,z и произвольному направлению i.

Рассмотрим некоторый элементарный объем жидкости (рис.2.2.2.) при условии, что он находится в состоянии равновесия.

Рис. 2.2.2.

В этом случае можно состояние равновесия выразить в виде трех уравнений проекций действующих сил и трех уравнений моментов:

и

и

и

(14)

При уменьшении граней выделенного объема в пределе до нуля система действующих сил превратится в систему сил, проходящих через точку, а система уравнений моментов теряет смысл.

Проекции этих сил на оси x, y, z можно представить в виде:

,

(15)

Где угол между нормальным направлением силыи соответствующей осью координат, ауглы между составляющей равнодействующих массовых сили осями координат.

Учитывая, что

;

и .

Проводя подобные рассуждения, относительно проекций сил на другие оси координат, и осуществляя соответствующие преобразования, получим:

-

-

(16)

Или, проведя соответствующие преобразования окончательно, получим:

(17)

Учитывая, что последняя составляющая в данной системе уравнений, представляет величину высшего порядка малости, можем записать:

(18)

или

Что и требовалось доказать.

В данном случае было доказано равнозначность гидростатического давления в точке по любому направлению, однако не следует забывать, что давление является функцией координат и времени.

Основной закон гидростатики. Выделим в объеме некоторую элементарную площадку . Данная площадка сверху нагружена столбом жидкости высотою, гдевысота столба жидкости (воздуха) над свободной поверхностью жидкости.

Рис.2.2.3.

Предполагая, что жидкость находится в состоянии относительного покоя. Выделим элементарный объем рис.2.2.3.

Условие равновесия выделенного элементарного объема предполагает равенство массовых и поверхностных сил. В проекциях на оси x, y, z можем записать:

(19)

или

(19 а)

Система уравнений (19 а) описывает относительное равновесное состояние жидкости (система уравнений равновесного состояния жидкости-Эйлера).

Сложение правых и левых частей уравнения позволяет получить уравнение:

(20)

Уравнение (20) представляет собой основное уравнение гидростатики.

Уравнение поверхности уровня. Поверхность уровня представляет поверхность равного давления. Поверхность уровня предполагает или

В этом случае уравнении (20) примет вид:

(21)

Уравнение (21) представляет уравнение поверхности уровня.

Поверхность уровня обладает определенными свойствами:

1. Поверхности уровня не пересекаются.

2. Направление объемных сил нормально к поверхности уровня.

Равновесие жидкости в поле земного тяготения. Рассматривая уравнение (20) для случая работы его в поле земного тяготения, т.е. X=0, Y=0, а Z=-g (см. рис. 2.2.3). В данном случае уравнение (20) примет вид

(22)

Проводя интегрирование уравнения (22) окончательно получим

(23)

Где величина гидростатического давления столба воздуха над выделенной поверхностью;-высота столба воздуха;- высота столба жидкости над выделенной поверхности.

Окончательно уравнение (23) примет вид:

(23 а)

Рис. 2.2.3

Сила давления жидкости на плоские поверхности. Определим силу давления P_н на произвольную наклонную площадь (рис.2.2.3). В данном случае величинаP_н определяется из соотношения:

, (24)

Проекции силы P_н на оси xyz можно определить из выражений:

(25)

Где углы пространственной ориентации силыP_н

и осей координат xyz.

Центр давления. Центром давления называется точка приложения силы давления в столбе жидкости на расчетную площадку. Центр давления характеризуется координатами xyz, а для плоскости двумя координатами. В этом случае положение центра давления можно определить из выражения

, (26)

Где расстояние от поверхности уровня жидкости до точки приложения силы давления;

момент инерции площадки относительно рассматриваемой оси, проходящей через центр тяжести площадки;

расстояние от поверхности уровня жидкости до центра тяжести площадки;

угол ориентации площадки .

Для рассматриваемого случая, величина, т.е. центр давления всегда ниже центра тяжести рассматриваемой площадки. Исключение составляет частный случай, когда площадка, расположена горизонтально, в плоскостиxoy. В этом случае центр давления совпадает с центром тяжести площадки. Расстояние между центром тяжести и центром давления принимается как эксцентриситетом приложения силы давления и центром тяжести.

Давление жидкости на криволинейные поверхности. Рассмотрим криволинейную поверхность (рис.2.2.4).

Рис. 2.2.4

Так как поверхность пластины криволинейная, то силы dR образуют систему не параллельных сил. Такую систему можно привести к главному вектору R. В общем случае можем записать:

(27)

,

где углы пространственной ориентации силыR

и осей координат x y z.

Сумма проекций элементарных сил может быть выражена в виде равнодействующей силы R;

(28)

,

Сила R по величине будет рана;

, (29)

Решение уравнений (28) можно представить в виде:

(30)

,

где - глубина погружения центра тяжести площадок, соответственно.

Закон Архимеда. Погрузим тело произвольной формы (рис. 2.2.5) в жидкость. Определим величину сил воздействующих на рассматриваемое тело. На рассматриваемое тело действуют поверхностные и массовые силы. Проекции рассматриваемых сил приведены на рис. 2.2.5.

Рис.2.2.5

P_x, P_y, P_z –проекции поверхностных сил соответственно на оси координат x,y,z. Учитывая, что данная система находится поле сил земного тяготения, массовая сила, действующая на погруженное тело, составит

G=γ_т×ω_z ×(h_н-h_в), (31)

где h_н и h_в глубина погружения нижней и верхней граней тела, γ_т=ρg удельный вес погруженного тела, площадь грани нормальной к оси z.

В случае нахождения рассматриваемого тела в состоянии равновесия сумма поверхностных и массовых сил должна быть равна нулю.

, (32)

где G – сумма проекций массовых сил, R- сумма проекций поверхностных сил.

Подставляя в уравнение (32) составляющие получим

-γ_т×ω_z×(h_н-h_в)+γ_в×ω_z×(h_н­h_в)=0 (33)

или

-γ_т×W_т+ γ_в×W_в=0 (34)

Из анализа уравнения (34) следует, что в случае равенства удельного веса тела и воды тело находится в состоянии покоя. При условии γ_в >γ_т тело должно всплыть, а при условии γ_в<γ_т тело опустится на дно емкости.