1.6. Измерение тесноты связи

Коэффициент корреляции является одним из наиболее совершенных методов измерения тесноты связи. Коэффициент корреляции отвечает на вопрос, в какой мере соблюдается строгая пропорциональность в изменениях функционального и факториального признаков.

Коэффициент корреляции может принимать как положительные, так и отрицательные значения, т.е. .

При выполнении корреляционных расчетов, когда связь между признаками x и y выражается прямой линией, соблюдается условие, при котором знак при коэффициенте корреляции должен совпадать со знаком при коэффициенте регрессии а₁.

Для расчета коэффициента корреляции существует формула, представленная в упрощенных координатах признаков x и y.

. (12)

В нашем примере исходную информацию для нахождения принимаем из таблицы 1.10.

. (13)

Выполненные расчеты показывают, что между выработкой на одного рабочего и объемом строительно-монтажных работ существует положительная слабая корреляция, которая говорит о том, что с увеличением факторного признака x функциональный признак y увеличивается.

Знак при коэффициенте корреляции совпадает со знаком регрессии a₁, что свидетельствует о правильности произведенных вычислений. Случайные факторы оказывают умеренное влияние на функцию, так как r=0,33, следовательно имеем по соотношению Чэддока умеренную связь между изучаемыми явлениями.

Имеются и другие формулы линейного коэффициента корреляции,

Линейный коэффициент корреляции r представляет собой среднюю величину из произведений нормированных отклонений для x и у:

, (14) или ( 15)

Числитель формулы Error: Reference source not found, деленный на n, т.е. , представляет собой среднее произведение отклонений значений двух признаков от их средних значений, именуемое ковариацией. Поэтому можно сказать, что линейный коэффициент корреляции представляет собой частное от деления ковариации между х и у на произведение их средних квадратических отклонений. Путем несложных математических преобразований можно получить и другие модификации формулы линейного коэффициента корреляции, например:

. (16)

Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от –1 до +1, причем знак определяется в ходе решения. Например, если , то r по формуле Error: Reference source not found будет положительным, что характеризует прямую зависимость между х и у, в противном случае (r<0) – обратную связь. Если , то r=0, что означает отсутствие линейной зависимости между х и у, а при r=1 – функциональная зависимость между х и у. Следовательно, всякое промежуточное значение r от 0 до 1 характеризует степень приближения корреляционной связи между х и у к функциональной. Таким образом, коэффициент корреляции при линейной зависимости служит как мерой тесноты связи, так и показателем, характеризующим степень приближения корреляционной зависимости между х и у к линейной. Поэтому близость значения r к 0 в одних случаях может означать отсутствие связи между х и у, а в других свидетельствовать о том, что зависимость не линейная.

В нашей задаче для расчета r построим вспомогательную таблицу 1.11.

Таблица 1.11

Вспомогательные расчеты линейного коэффициента корреляции

i	xi	yi
1	292	116	589,165	846,281	706,116	33872
2	243	130	611,438	227,736	2448,545	31590
3	260	126	59,711	364,463	18556,364	32760
4	256	132	137,529	171,372	28975,818	33792
5	295	150	743,802	24,099	864488,727	44250
6	254	141	188,438	16,736	1297333,545	35814
7	248	147	389,165	3,645	15340,909	36456
8	256	156	137,529	119,008	10325,636	39936
9	280	163	150,620	320,736	9237,273	45640
10	276	150	68,438	24,099	294708,364	41400
11	285	185	298,347	1592,736	200642,727	52725
Сумма	2945	1596	3374,182	3710,909	2742764,024	428235
Среднее	267,727	145,091	306,744	337,355	249342,184	38930,455

Пользуясь данными табл. 1.11 рассчитаем линейный коэффициент корреляции по формулам 15 и 16.

Расчеты по различным формулам для коэффициента корреляции совпадают

1.7. Заключение по разделу «Корреляционный анализ»

По данным в таблице 1.1. рядам мы построили интервальные и дискретные ряды, посредствам вторых сделали вывод: ряд распределения по потерям рабочего времени, показывает, что для него есть три характерных группы с центральными значениями интервалов 249,5, 262,5 и 288,5 чел.-часов.

Если рассматривать другой ряд, то там вывод такой: ряд распределения по себестоимости строительно-монтажных работ показывает, что наиболее характерными являются группы с центральными значениями интервала 124,625 и 141,875 тыс.руб., так как они составляют 36,3% всей себестоимости каждая

Следующим шагом было построение корреляционной таблицы с помощью которой мы пришли к выводу, что себестоимостью строительно-монтажных работ и потерями рабочего времени существует линейная прямая связь.

Далее последовал расчет эмпирической линии регрессии, значения, по определяющему признаку которой мы записали в четвертой итоговой строке таблицы 1.9. после окончания расчетов, мы сделали вывод, что расчет эмпирической линии регрессии вновь подтвердил наличие слабой корреляционной зависимости между себестоимостью строительно-монтажных работ и потерями рабочего времени.

Затем мы совершили расчеты по определению теоретической линии регрессии, она еще раз подтвердила наличие корреляционной связи между изучаемыми признаками. После решения системы, мы получили уравнение теоретической линии в виде:

y=44,603+0,362x

С целью определения тесноты связи между определяющим и факторным признаком высчитали коэффициент корреляции . Он показал, что между признаками существует положительная корреляция, которая говорит о том, что с увеличением факторного признака x функциональный признак y тоже увеличивается.

Знак при корреляции совпадает со знаком регрессии , что свидетельствует о правильности произведенных вычислений. Чем ближе к 1, тем сильнее связь между факторным признаком x функциональным признаком y.

В нашем случае она умеренная.