1.2. Построение поля корреляции

Поле корреляции строится как график зависимости между двумя параметрами. Оно строится в таком порядке: по горизонтальной линии откладываются измерения величин измерения величин одной переменной, а по вертикальной оси - другой переменной.

Рис. 1. Поле корреляции

1.3. Построение корреляционной таблицы

Для построения корреляционной таблицы на поле корреляции накладывается координатная сетка, соответствующая интервальным рядам распределения по факториальному и функциональному признакам.

Затем подсчитывается число точек (частот) в каждой клетке координатной сетки.

Результаты подсчетов по горизонтали и вертикали записываются в таблицу 1.8.

Таблица 1.8

Корреляционная таблица для зависимости y от x

Себестоимость строительно-монтажных работ, тыс.руб.	Потери рабочего времени, чел-часов
	243 – 256	256 – 269	269 – 282	282 – 295	Итого
116 – 133,25	1	2		1	4
133,25 – 150,5	2		1	1	4
150,5 – 167,75		1	1		2
167,75 – 185				1	1
Итого	3	3	2	3

Результаты расчетов, выполненные в таблице 1.8 позволяют сделать вывод о том, что наблюдается прямая линейная зависимость между значениями факторного признака х и функционального признака у. Следовательно связь между себестоимостью строительно-монтажных работ и потерями рабочего времени возможно описывается линейным уравнением.

1.4. Расчет эмпирической линии регрессии

После установления наличия корреляционной зависимости между функциональным и факторным признаками, приступают к следующему этапу статистического моделирования - к исследованию формы связи.

Под формой корреляционной связи понимают тип аналитической формулы, выражающей зависимость между изучаемыми величинами.

Необходимо установить, как изменяются средние значения y в связи с изменением x .

Рассчитываются средние величины для каждого ряда распределения по формуле средней взвешенной арифметической величины:

(4),

где:

- средневзвешенное значение функции;

y - центральные значения интервалов по функции;

m - абсолютные частоты вариантов y.

Для сокращения вычислений при определении средней арифметической используем метод отсчета от условного нуля.

Расчетная формула имеет вид

(5),

при этом

(6)

где:

- упрoщенные варианты y;

y - фактические варианты y;

с_y- новое начало отсчета по оси y (условный нуль);

i_y - интервал группировки по y.

Новое начало отсчета выбирается таким, образом, чтобы число наблюдений распределялось примерно поровну между положительным и отрицательным направлениями оси ординат.

В нашем примере примем условный нуль в третьем интервале по оси y, тогда с_y=159,125 тыс.руб., а i_y =17,25 тыс.руб.

Результаты расчетов представлены в таблице 1.9.

Упрощенные варианты умножаются на частоты соответствующих клеток корреляционной таблицы и записываются в верхних правых углах каждой клетки.

Первая итоговая строка и итоговый столбец таблицы 10 выражают абсолютные частоты интервальных рядов распределения по функциональному и факторному признакам.

Вторая итоговая строка характеризует сумму произведений, записанных в верхних углах клеток. Третья итоговая строка рассчитывается делением показателей второй строки на первую. В четвертой итоговой строке показаны искомые средние, полученные по формуле (5).

Показатели четвертой итоговой строки являются основой для графического изображения выполненных расчетов на поле корреляции (рис.2).

Таблица 1.9

Расчет эмпирической линии регрессии для зависимости y от x

		x	Потери рабочего времени, чел-часов				Итого
		y	249,5	262,5	275,5	288,5
Себестоимость строительно-монтажных работ, тыс.руб.	-2	124,625	1	2		1	4
	-1	141,875	2		1	1	4
	0	159,125		1	1		2
	1	176,375				1	1
№ строки	1	Итого hi	3	3	2	3
	2		-4	-4	-1	-2
	3		-1,333	-1,333	-0,5	-0,667
	4		136,125	136,125	150,500	147,625

Соединив между собой средние значения в каждом интервале отрезками прямых линий, получаем эмпирическую линию регрессии y по x (см. рис. 2), которая показывает как в среднем изменяется y в связи с изменением x.

В нашем примере расчет эмпирической линии регрессии подтвердил наличие слабой корреляционной зависимости между обеспеченностью материалами и выработкой на 1 рабочего в год.

Рис. 2. Эмпирическая линия регрессии на поле корреляции

1.5. Расчет теоретической линии регрессии

Теоретическая линия регрессии представляет собой такую математически правильную кривую (либо прямую) линию, которая проходит наиболее близко к точкам эмпирической линии регрессии выражает общую закономерность средних изменений признака в связи со средними изменениями фактора.

В нашем примере характер размещения точек на корреляционном поле делает весьма вероятной гипотезу о линейной связи y от x .

Параметры искомой прямой (а₀,а₁) находим из системы уравненной по способу наименьших квадратов:

(7)

Исходную информацию для решения системы(7) получаем из таблицы 1.10, которая основана на результатах таблицы 1.9.

Для получения упрощенных вариантов по факторному признаку также используем метод отсчета от условного нуля. В нашем примере примем =275,5 тыс.руб, =332,5 тыс.руб

Результатов расчетов по нашему примеру приведены в таблице1.10.

Таблица 1.10

Расчет теоретической линии регрессии для зависимости y от x

Себестоимость строительно-монтажных работ, тыс.руб.		Потери рабочего времени, чел-часов					№ столбца
			4	1	0	1	1	2	3	4
			-2	-1	0	1	li	liy`	y`2	liy`2
		x y	249,5	262,5	275,5	288,5
	-2	124,625	1	2		1	4	-8	4	16
	-1	141,875	2		1	1	4	-4	1	4
	0	159,125		1	1		2	0	0	0
	1	176,375				1	1	1	1	1
№ строки	1	Итого	3	3	2	3	n=11		-
	2		-6	-3	0	3
	3		12	3	0	3
	4		-4	-4	-1	-2
	5		8	4	0	-2

В качестве проверки правильного составления таблицы 6 должно соблюдаться равенство итогов четвертой строки и второго столбца. Если это условие не соблюдается, то в расчетах допущена ошибка, которая может привести к существенным искажениям величины параметров теоретической линии регрессии.

В систему уравнений (7) подставим результаты, полученные в табл. 1.10.

(8)

В качестве метода решения системы (8) принимаем метод Гаусса, который позволяет находить решения последовательно, исключая неизвестные.

Для этого 1-ое уравнение системы (8) делим на 6, а 2-ое уравнение - на 18:

(9)

Сложим уравнения системы (9):

1,5=-1,277

откуда =-0,851.

Затем в 1-ое уравнение системы (9) подставляем значение и находим величину:

1,833(-0,851)-=-1,833

=0,273.

Параметры и необходимо преобразовать исходя из фактических значений x и y.

Формулы перевода из упрощенных в реальные координаты:

(10)

(11)

где - интервал группировки по функции;

- интервал группировки по аргументу;

- новое начало отсчета по функции;

- новое начало отсчета по аргументу.

По формулам (10), (11) находим:

.

Уравнение теоретической линии регрессии в реальных коэффициентах имеет вид y=44,603+0,362x.

В уравнении регрессии первое слагаемое носит название свободного члена, второе слагаемое называется коэффициентом регрессии. Он показывает, на сколько натуральных единиц изменяется в среднем результативный признак при изменении факторного признака на единицу.

В нашем примере из уравнения теоретической линии регрессии видно, что себестоимость строительно-монтажных работ увеличивается на 0,362 тыс.руб. при увеличении потерь рабочего времени на 1 чел.-час.

Себестоимость строительно-монтажных работ не зависящая от рассматриваемых факторов, равна 44,603 тыс.руб.

Для графического изображения линии регрессии, рассчитанной по линейной гипотезе, достаточно определить две точки, через которые можно провести прямую.

В нашем примере по x₁=243; y₁=132,569 и x₂=295; y₂=151,393 проводим на поле корреляции прямую линию (см. рис. 3)

Рис. 3. Теоретическая линия регрессии на поле корреляции

Графическое изображение теоретической линии регрессии в виде уравнения прямой еще раз подтверждает наличие корреляционной связи между изучаемыми признаками.