|
|
|
A |
d |
( |
|
1 |
e A21t ) |
|
A |
d |
( |
1 |
|
) |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= |
|
21 dA |
|
A |
|
|
|
0 |
21 dA |
|
A |
|
|
= A |
, |
||||||
|
|
|
|
21 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
21 |
|
21 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
таким образом |
|
|
|
I = I0 |
e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||||||
Для красной линии атома водорода |
H |
( |
|
|
|
|
1.5 10 |
8 |
c , а для ртути с |
|||||||||||||
|
|
|
6562A), |
|
||||||||||||||||||
|
9,8 10 |
8 |
c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2537A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Статистический характер спонтанного излучения влечет за собой важное следствие - спонтанное излучение некогерентно.
Поглощение и вынужденное излучение
Невозбужденные атомы, находящиеся на уровне Е1 будут под влиянием поля переходить на уровень Е2, поглощая энергию Е2 − Е1 = h
из окружающего по-
ля.
Очевидно, что вероятность перехода с поглощением в интервале частот от
до |
d в единицу времени будет пропорциональна плотности энергии поля |
( ) |
в этом интервале и некоторому коэффициенту В12 , характеризующему ве- |
роятность возбуждения данной атомной системы. Итак, вероятность поглощения в данном интервале частот будет ( )B12 .
Оказывается, однако, что поглощение не ограничивается процессом, проис-
ходящим под действием поля. Эйнштейн заметил, что если ограничится только поглощением, то при выводе формулы для плотности равновесного теплового излучения получится формула Вина , а не Планка. Поэтому он ввел в рассмотре-
ние еще один вид процессов под влиянием поля: вынужденные или индуцирован-
ные переходы с излучением. То есть, атомы, находящиеся в состоянии Е2 могут либо поглощать энергию из поля, переходя на более высокий уровень, либо на-
оборот отдавать энергию полю, возвращаясь на более низкий уровень. Эти по-
следние переходы и являются индуцированными – они обуславливают индуци-
рованное излучение. Вероятность этих переходов запишем как ( )B21 .
31
Вывод формулы Планка по Эйнштейну
В основе вывода лежит принцип детального равновесия, согласно которому при термодинамическом равновесии вероятности переходов 1 2 и 2 1 долж-
ны быть равны.
Рассмотрим систему из атомов и излучения, в равновесном состоянии. Пусть
в нижнем Е1- состоянии будет N1 атомов, а в верхнем Е2 – состоянии – N2 атомов.
Атомы излучают и поглощают излучение, совершая в первом случае пере-
ходы 2 1, а во втором (поглощение). Равновесие наступит когда число перехо-
дов 2 1 будет равно числу переходов 1 |
|
2. Переходы с испусканием происхо- |
||||||||
дят спонтанно либо индуцировано. Полная вероятность тех и других есть |
||||||||||
|
|
|
|
А21+В21 |
( |
) , |
|
|||
а среднее число переходов в единицу времени запишем как |
||||||||||
dZ21 =(A21+B21 |
( ) )N2. |
|||||||||
Вероятность переходов с поглощением есть B12 |
( ) , и соответственно число пе- |
|||||||||
реходов 1 2 в единицу времени будет |
|
|
|
|
|
|||||
dZ12 = B12 |
( |
) N1. |
|
|||||||
При равновесии dZ12 = dZ21, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
N2(A21+B21 |
|
( ) ) =B12 |
( |
) N1 или |
||||||
|
N2 |
|
B12 |
( |
) |
|
. |
|
||
|
N |
1 |
|
|
A B |
( |
) |
|
||
|
|
|
21 |
21 |
|
|
|
|
||
Отношение N2/N1 может быть вычислено при помощи распределения Больцмана, а именно, если система может находиться в состояниях Е1, Е2,…Еn, то вероятность, что система находится в состоянии n, будет
Wn =Cexp(-En/kT).
Кроме того, необходимо учесть вырождение, то есть возможность различным со-
стояниям иметь одинаковую энергию. Для этого введем понятие статистического веса или степени вырождения gn (число совпадающих уровней), тогда
Wn =C gn exp(-En/kT).
32
И так как число частиц, находящихся на произвольном уровне n, пропорциональ-
но Wn , то для отношения N2/N1 можно записать
|
|
N2/N1 = |
g2 |
|
|
exp ( |
|
E2 / kT) |
|
|
или |
|
||||||
|
|
g1 |
|
|
exp ( |
|
E1 / kT) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
B12 |
( |
) |
|
|
|
|
g2 |
|
exp ( |
E2 |
/ kT) |
, |
откуда, |
|||
|
|
A21 B21 |
|
( |
) |
|
g1 |
|
exp ( |
E1 / kT) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
учитывая, что E2 |
E1 h |
, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
A21g2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
g B |
|
|
exp (h / kT) |
B g |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|||
Для определения коэффициентов А и В используем следующее предельное |
||||||||||||||||||
условие: при T |
, т. е. для случая |
h |
|
<< kT , ( ) должно неограниченно воз- |
||||||||||||||
растать, следовательно, |
знаменатель в выражении для |
( ) должен стремиться к |
||||||||||||||||
нулю, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g1B12 g2B21
или
|
B12=g2/g1B21. |
|
|
||||
Тогда мы будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
g2 A21 |
|
|
1 |
|
|
|
g B exp (h |
/ kT) 1 . |
|||||
|
|
||||||
|
1 |
12 |
|
|
|
|
|
При тех же условиях должна быть справедлива формула Рэлея-Джинса:
|
|
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
kT , |
|
|
|
|
|
||||
|
c3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при h << kT , exp( h / kT ) 1+ |
h |
|
, и тогда |
|
|
|
|
|
||||
kT |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g2 A21 |
8 |
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
g B |
|
|
|
c3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
8 |
h |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
c3 |
|
exp (h |
/ kT) 1 . |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Это и есть знаменитая формула Планка для плотности равновесного теплового излучения.
33