cos-lab2-vorontsov / ДПФ _методическое пособие_

Переменные k и n принимают целочисленные значения (0,1,…,N-1).

Переменную k отождествляют с номером функции, а переменную n – с номером

строки которой нумеруются переменной k, столбцы переменной n, а на пересечении k-й строки и n-го столбца записана величина WNkn.

Прямое и обратное ДПФ имеет следующую матричную форму записи:

где x [x[0],...,x[N 1]]T - вектор отсчетов сигнала, X [X(0),...,X(N 1)]T -

вектор коэффициентов спектра ДПФ; T – оператор транспонирования .

Заметим, что для поворачивающего множителя справедливы следующие соотношения:

единичная диагональная матрица.

2.Матрица FN- симметрична: FN FNT .

3.FN2 NQN , где QN- симметричная матрица перестановок

. . . . .

0 1 ... 0 0

4.FN4 N2IN .

5.Сопряженная матрица имеет вид FN QNFN FNQN .

6.Обратная матрица имеет вид

FN1 N 2FN3 N 1FN N 1QNFN .

Для формирования обратной матрицы необходимо прочесть в обратном порядке элементы WNknс отличными от нуля степенями (kn 0) строк матрицы FN.

Например:

7. Мультипликативность

def (k1,n)def (k2,n) def (k1 k2,n); def (k,n1)def (k,n2) def (k,n1 n2).

При умножении любых двух строк (столбцов) матрицы ДЭФ получается строка (столбец) той же матрицы. Номер строки (столбца) равен сумме номеров сомножителей.

8. Факторизуемость. Для любого N, разложимого в произведение отличных от 1 чисел N1 и N2, матрица функций ДЭФ порядка N представима в виде

FN PN2N1 (IN1 FN2 )DN1N2 (FN1 IN2 )

или в виде

FN (FN1 IN2 )DN1N2 (IN1 FN2 )PN1N2 ,

где PN1N2 и PN2N1 - матрицы перестановок, отвечающие транспонированию прямоугольных матриц соответственно размеров (N1 N2) и (N2 N1); DN2N1 -

диагональная матрица, образованная последовательностью поворачивающих множителей

WN0 0,WN10,...,WN(N2 1) 0,WN01,WN11,...,WN(N2 1)1,...

...,WN0 (N1 1),...,WN(N2 1) (N1 1)

Рассмотрим последовательность g[n], состоящую из MN отсчетов, из них ( M- -1) отсчетов являются нулевыми и расположены между отсчетами исходной последовательности x[n]:

Спектр такой последовательности, с учетом только ненулевых компонент, имеет вид

и представляет повторенный M раз спектр исходной последовательности X(k). Пример. Зададим {x[n]} = {7, 5, 6, 9}. Спектр ДПФ такой последовательности имеет вид {X(k)} = {27, (1+j4), -1, (1-j4)}. Разреженная нулями последовательность {g [n]} ={7,0,5,0,6,0,9,0} имеет спектр ДПФ в виде периодического (повторенного 2 раза) спектра исходной последовательности: G = {27, (1+j4), -1, (1-j4), 27, (1+j4), -1, (1-j4)}. Образуем удлиненную последовательность {x1[n]} = (7,5,6,9,0,0,0,0), дополнив исходную последовательность x[n] N нулями. Спектр ДПФ удлиненной последовательности

будет иметь в своем составе компоненты спектра исходной последовательности: {X1(k)}= {X1(0)=27; X1(1)=(4,14-j15,9); X1(2)=(1+j4); X1(3)= (9,83-

-j3,89); X1(4)=-1, X1(5)=(9,83+j3,89); X1(6)=(1-j4); X1(7)=(4,14+j15,9)}.

Четные компоненты спектра удлиненной последовательности совпадают с аналогичными значениями спектра исходной последовательности. Нечетные компоненты спектра удлиненной последовательности можно рассматривать как результат интерполяции.

5. Теорема отсчетов. Периодическое M кратное повторение исходной последовательности приводит к увеличению в M раз значений спектральных компонент её ДПФ, размещению их с шагом M и дополнением остальных позиций спектра нулями:

{x[l]mod N;l 0,1,...MN 1} ДПФ M X(k) [kmodM ],

Пример. Периодически продолжим исходную последовательность

{x[n]}=(7,5,6,9), образуя последовательность {x2[l]}=(7,5,6,9,7,5,6,9). Спектр ДПФ такой последовательности имеет вид

{X2(k)}= (2 [27,0,(1+j4),0,-1,0,(1-j4),0]).

Аналогично для периодически продолженного спектра ДПФ получаем

{x[lmodN ] [lmodM ];l 0,1,...,MN 1}

ДПФ

{(1/M)X(kmodN),k 0,1,...,MN 1}

6. Децимация. Пусть {XNM(k)} - множество коэффициентов спектра ДПФ последовательности {x[n]; n=0,1,…,NM-1}:

последовательности x’[n], полученной через обратное ДПФ. Для m=0 получим:

7. Теорема о перестановках. Если P не имеет общих делителей с N, то

{x[Pn]modN} ДПФ {X(Qk)modN},

где (PQ)modN 1. Эта теорема является аналогом теоремы о масштабах интегрального преобразования Фурье. Но если изменение масштаба сигнала, например, растяжение сигнала по координате в P раз, приводит к сжатию его спектра Фурье в P раз, то для дискретных последовательностей и их ДПФ это соответствует перестановкам элементов последовательностей.

8. Линейность. Пусть даны две последовательности x1[n] и x2[n], для которых ДПФ равны соответственно X1(k) и X2(k). Спектр взвешенной суммы последовательностей ax1[n] + bx2[n]=x3[n] равен аналогичной взвешенной сумме спектров:

X3(k) = aX1(k) + bX2(k).

9.Теорема о свертке. Спектр свертки двух последовательностей {x[n]} и

{h[n]}равен произведению спектров X(k) и H(k) сворачиваемых последовательностей:

N 1

y(l) h[l]x[l n]mod N ДПФ X(k)H(k). n 0

Теорема позволяет вычислить циклическую свертку y[l] при помощи ДПФ по

формуле

{y[l]} = ДПФ-1(ДПФ{x[n]} ДПФ{h[n]}).

10.ДПФ вещественной последовательности. Пусть {x[n]} –

вещественная последовательность. ДПФ такой последовательности имеет следующие особенности:

Спектральные коэффициенты комплексно сопряжены относительно N/2

X(N l) X (N l),

2 2

где оператор означает комплексное сопряжение.

Если x[n] – четная последовательность, т.е. x[n]=x[-n], то спектр ДПФ {X(k)} также представляет собой вещественную последовательность.

Если x[n] – нечетная последовательность, т.е. x[n]=-x[-n], то {X(k)} представляет собой чисто мнимую последовательность.

Данное свойство позволяет при помощи одного преобразования вычислить ДПФ двух действительных последовательностей, либо использовать N/2 – точечное преобразование для вычисления спектра N точечной последовательности.

1.Программное обеспечение

Лабораторная работа выполняется в среде компьютерной математики Matlab.

1. Построим дискретные экспоненциальные функции для N 4 со значениями k 1 и k 2.

N=4;

k1=1;

k2=2; n=0:N-1;

def1=exp(-j*2*pi*n'*k1/N) def2=exp(-j*2*pi*n'*k2/N)

Результаты отображаются в окне Command Window

def1 = 1.0000

0.0000 - 1.0000i -1.0000 - 0.0000i -0.0000 + 1.0000i

def2 = 1.0000

-1.0000 - 0.0000i 1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i

2. Свойство ортогональности. Две различные ДЭФ ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю:

-1.0000 - 0.0000i -0.0000 + 1.0000i

4. Свойство мультипликативности. Возьмем две ДЭФ из первого пункта и перемножим их:

def1.*def2

Затем вычисли ДЭФ со значением k3 k1 k2: N=4;

k3=k1+k2 n=0:N-1;

def3=exp(-j*2*pi*n'*k3/N)

Сравним результат def1.*def2 и def3

5. Построим матрицу прямого преобразования Фурье:

N=4; n=0:N-1; k=0:N-1;

W=exp(-j*2*pi*n'*k/N)

Построим матрицу обратного преобразования Фурье:

N=4; n=0:N-1; k=0:N-1;

Wo=exp(j*2*pi*n'*k/N)

Имея матрицу преобразования Фурье, строками которой являются ДЭФ, удобно проверить ортогональность сразу всех ДЭФ:

W*conj(W)

4 0 0 0

0 4 0 0

0 0 4 0

0 0 0 4