cos-lab2-vorontsov / Предварительное задание

Предварительное задание

Проверить свойства матрицы ДЭФ размером 5×5.

▪ 1) ортогональность для выбранных k1 и k2, таких что k1=k2, k1≠k2, n=0..N-1

▫ а) k1=k2

Код:

N=5;

k1=2;

k2=2;

n=0:N-1;

def1=exp(-j*2*pi*n'*k1/N)

def2=exp(-j*2*pi*n'*k2/N)

sum(def1.*conj(def2))

Результат:

def1 =

1.00000 - 0.00000i

-0.80902 - 0.58779i

0.30902 + 0.95106i

0.30902 - 0.95106i

-0.80902 + 0.58779i

def2 =

1.00000 - 0.00000i

-0.80902 - 0.58779i

0.30902 + 0.95106i

0.30902 - 0.95106i

-0.80902 + 0.58779i

ans = 5

▫ б) k1≠k2

Код:

N=5;

k1=1;

k2=2;

n=0:N-1;

def1=exp(-j*2*pi*n'*k1/N)

def2=exp(-j*2*pi*n'*k2/N)

sum(def1.*conj(def2))

Результат:

def1 =

1.00000 - 0.00000i

0.30902 - 0.95106i

-0.80902 - 0.58779i

-0.80902 + 0.58779i

0.30902 + 0.95106i

def2 =

1.00000 - 0.00000i

-0.80902 - 0.58779i

0.30902 + 0.95106i

0.30902 - 0.95106i

-0.80902 + 0.58779i

ans = -3.3307e-16 — 2.2204e-16i % стремится к нулю

Вывод:

1. Сумма элементов произведения ДЭФ на саму себя равна N.

2. Сумма элементов произведения двух ДЭФ с различными k равна нулю.

▪ 2) периодичность для выбранного k1 и n, такого что n=0..N-1; n=0..2N-1;

▫ а) n=0..N-1

Код:

N=5;

k=1;

n=0:N-1;

def=exp(-j*2*pi*n'*k/N)

Результат:

def =

1.00000 - 0.00000i

0.30902 - 0.95106i

-0.80902 - 0.58779i

-0.80902 + 0.58779i

0.30902 + 0.95106i

▫ б) n=0..2N-1

Код:

N=5;

k=1;

n=0:2*N-1;

def=exp(-j*2*pi*n'*k/N)

Результат:

def =

1.00000 - 0.00000i

0.30902 - 0.95106i

-0.80902 - 0.58779i

-0.80902 + 0.58779i

0.30902 + 0.95106i

1.00000 + 0.00000i

0.30902 - 0.95106i

-0.80902 - 0.58779i

-0.80902 + 0.58779i

0.30902 + 0.95106i

Вывод: При увеличении количества элементов ДЭФ и неизменном параметре N ДЭФ начинает периодически повторяться с периодом N.

▪ 3) мультипликативность для строк для выбранных k1 и k2; n=0..N-1;

Код:

N=5;

k1=1;

k2=2;

k3=k1+k2;

n=0:N-1;

def1=exp(-j*2*pi*n'*k1/N)

def2=exp(-j*2*pi*n'*k2/N)

def1.*def2

def3=exp(-j*2*pi*n'*k3/N)

Результат:

def1 =

1.00000 - 0.00000i

0.30902 - 0.95106i

-0.80902 - 0.58779i

-0.80902 + 0.58779i

0.30902 + 0.95106i

def2 =

1.00000 - 0.00000i

-0.80902 - 0.58779i

0.30902 + 0.95106i

0.30902 - 0.95106i

-0.80902 + 0.58779i

ans =

1.00000 - 0.00000i

-0.80902 + 0.58779i

0.30902 - 0.95106i

0.30902 + 0.95106i

-0.80902 - 0.58779i

def3 =

1.00000 - 0.00000i

-0.80902 + 0.58779i

0.30902 - 0.95106i

0.30902 + 0.95106i

-0.80902 - 0.58779i

Вывод: подтвердилось свойство мультипликативности, т.е. произведение двух ДЭФ с параметрами k1 и k2, равно ДЭФ с параметром k=k1+ k2.