- •Тема 3.Постановка задач для дифференциальных уравнений
- •Определение дифференциальных уравнений
- •Обыкновенные ДУ
- •Постановка задач для обыкновенных ДУ
- •Задача Коши
- •Пример точного решения
- •Краевая задача
- •Пример точного решения ДУ
- •Пример точного решения ДУ (продолжение1)
- •Пример точного решения ДУ (продолжение2)
- •Пример точного решения ДУ (продолжение3)
- •Постановка задач для ДУ в частных производных (ДУЧП)
- •Параболические
- •Гиперболические
- •Эллиптические (стационарные процессы)
- •Граничные условия
- •Пример решения
- •Как получают дифференциальные уравнения
- •Пример получения стационарного двумерного уравнения теплопроводности
- •Составим уравнение баланса для элементарного объема
- •Можно получить тоже уравнение используя интегральные теоремы
- •Подобие физических явлений. Безразмерные переменные
- •Безразмерные переменные
- •Конец
Можно получить тоже уравнение используя интегральные теоремы
Количество тепла проходящее в |
|
|
|
|
|
r |
|
единицу времени |
QS |
|
|
T ndS |
|||
|
|
Ñ |
|
|
|||
через поверхность S |
|
|
|
|
|||
охватывающую объем V |
|
|
S |
|
|
|
|
V |
|
|
v |
( x, y, z)dV |
|||
Количество тепла, выделяемое в |
|||||||
Q |
|
|
q |
||||
единицу времени в объеме V |
|
|
V |
|
|
Составляем баланс энергии и используем теорему Гаусса-Остроградского:
|
Ñ |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
QS |
|
T ndS |
div T dV |
qv (x, y, z)dV QV |
|||
|
|
|
|||||
|
S |
|
|
V |
|
V |
|
Получаем общее уравнение теплопроводности
div T qv ( x, y, z)
07/02/19 |
21 |
Подобие физических явлений. Безразмерные переменные
•Теория Подобия возникла из потребностей моделирования
•Оказывается, одного геометрического подобия недостаточно.
•Важно знать, как результаты одного варианта расчета можно использовать для получения данных об исследуемой конструкции в широком диапазоне параметров и обратно, как выбрать модель для расчета, имеющую наименьшее, но достаточное количество параметров.
•Подобными называются физические явления,
протекающие в подобных системах, если у них во всех сходных точках в сходственные моменты времени отношения одноименных, т.е. имеющих одинаковый физический смысл величин, есть постоянные числа. Эти постоянные числа
называются константами подобия
07/02/19 |
22 |
Безразмерные переменные
Рассмотрим
|
|
T |
|
|
|
T |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
v |
x |
|
|
y |
|
|
|
0 x a ,0 y b
В подобной системе: |
|
|
|
|
|
x |
|
c |
|
; |
|
|
y |
c |
; T |
c ; |
|
c ; |
qv |
c , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
y |
u |
|
|
|
T |
g |
|
|
|
f |
|
q |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Подставляем: |
|
|
c c |
|
|
|
|
|
|
u |
c c |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
g |
|
|
c |
q |
f |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx |
|
|
|
|
|
|
cy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Выбираем коэффициенты подобия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c cT |
|
|
|
u cx |
u |
|
|
|
cqcx |
|
|
|
|
|
c |
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cq |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
g |
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
c cT |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx |
||||||||
x |
x |
cy |
y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Получаем |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
f |
0 |
x 1, |
0 y b |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x y |
|
y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
07/02/19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Конец
07/02/19 |
24 |