gotovaya_shpora

Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами. Элементарные преобразования матриц. Матрицей наз прямоуг таблица чисел, содерж m-строк и n-столбцов. Матрицы равны между собой, если равны соответств элементы этих матриц. Матрица, в которой m=nназ квадратной или n-ого порядка. Квадр матрица, у которой все элементы, кроме элементов гл диагонали, равны 0 еаз диагональной. Диаг матрица, у которой каждый элемент главной диаг =1 наз единичной. Квадратная матрица наз треуг, если все элементы, расположенные по одну сторону её гл диаг =0. Матрица, у которой все числа, стоящие на гл диаг не нулевые, а также некоторое кол ненулевых строк, наз трапециевидной. Матрица, содерж один столбец или строку, наз вектором из Rⁿ пр-ва. Действия. Сложение – только для матриц одинакового размера. Умножение на число. Множества матриц одинакового размера обознач M^m*n. Тогда введённое на этом мн-ве операции сложения и умнож на число превращ M^m*n в линейное пр-во, векторами которого явл матрицы m*n. Умножение на вектор-столбец. Для умножения матрицы на вектор-столбец надо, чтобы число столбцов матрицы было равно числу координат вектора. Две матрицы наз эквивалентными, если одна из них получена из другой с помощью эл. Преобраз. Любую матрицу можно привести к канонической.

Определители n-го порядка. Свойства. Теорема о разложении определителя n-го порядка по элементам ряда. Основные методы вычисления определителей n-го порядка. С помощью опред 4-ого порядка можно посчитать опред n-ого порядка. Для опред любых порядков остаются в силе определение минора и алг доп некоторого элемента, а также 2-теоремы об алг доп. Обозначим Mik –минор для элемента Аik и для определителя n-ого порядка: Aik=(-1)^i+kMik. Пусть D-опред n-ого порядка. Раскрывая его сначала по элементам i-той строки, а затем по – k-ого столбца в силу теоремы1 получим D=a_i1A_i1+…a_inA_in. D=a_1kA_1k+…a_nkA_nk. C другой стороны, если i не=j и kне=l, то D=a_i1A_1i+…+a_jnA_ni=0; D=a_1kA_1l+…a_nkA_nl=0. Теорема: сумма все произведений элементов любой строки определителя на соотв алг доп равна этому определителю. Замечание: определитель треуг матрицы А равен произ элементов, стоящих на диагонали. Теорема: опред произ 2х матриц одинакового порядка=произв опред n-ого порядка. Теорема: опред матрицы порядка n равен сумме произ всевозможн миноров k-ого порядка (k<n), которые можно получить из произв выбранных k-направелнных рядов и алг. доп этих миноров.

Невырожденные матрицы. Обратная матрица. Методы вычисления обратной матрицы. Пусть матрица A квадратная n-ого порядка. Квадратная матрица наз невырожденной, есил её определитель отличен от 0, в противном случае матрицы вырожденные. Матрица нах присоединённой к матрице А, если она имеет вид (см рис) , где A_ij – алг доп элемента a_ij и данной матрице А.Матрица A^-1 – обратная матрица А, если A^-1*A=A*A^-1=E, где E –единичная матрица. A^-1 имеет те же размеры, что и A. Теорема: всякая невырожденная матрица имеет обратную. Св-во: 1) det(A^-1)=1/detA; 2)(A*B)^-1=B^-1*A^-1; (A^-1)^T=(A^T)^-1. Методы: 1)метод присоединённой матрицы (союзная – A*). А*-опред как транспонированная матрица, составл из алг доп соотв элементов матрицы А. 2)Для данной матрицы An-ого порядка построим прямоуг матрицу Г_А=(А/Е) размером n*2n, приписывая к А справа единичную матрицу используя элементарные преобраз над строками приводим Г_А к виду Г_А=(Е/В), что всегда возможно при A невырожденоой. =>B=A^-1, т.е. (А/Е)=(Е/A^-1).

ЛП. Определение. Свойства. Примеры.

Множества векторов V, в котором определены внутренние операции сложения и внешние операции умножения на число, и если эти операции удовлетворяют аксиомам, то множество наз лин пространством. Аксиомы (x,y,z€V) 1)x+y=y+x 2)(x+y)+z=x+(y+z) 3)x+0=x 4)x+(-x)=0 5)1*x=x 6)α(βx)=(αβ)x 7)α(x+y)=αx+αy 8)(α+β)x=αx+βx; свойства(х вектор!!!):1) в лп сущ ед нулевой вектор 2)в лп для каждого х сущ ед противоположный –х. 3)-х противоположным явл х. 4)Произведение числа х на 0 есть нулевой вектор 5)-1*(х)=-х 6)α*Ō=Ō 7)если α*х=0 при αне=0 =>x=0; если α*х=Ō хне=0 =>α=0

Вопрос 2

Линейная зависимость(независимость) векторов. Основные теоремы.

Если все Alii=1,n след. Комбинация наз. Тривиальной. Если хотябч один из коэф. Отлич. От 0 то-нетривиал. Сист. Векторов наз лин независимой если равентсво Al1*X1(вектор)+…ALn*Xn(вектор)=0 имеет место когда все Aln =0. Сист векторов наз линейно зависим. Если (это же равенсво) имеет место когда хотябы одно из чисел Xn не =0. Свойств: 1) X1..Xn (1) если среди веткоров нулевой вектор то они линейно зависимы..2) если (1) имеется К(K<n) лин зависимых векторов то (1)лин зависим. 3) если(1) лин независим то и люб часть етих векторов лин незава. 4) ЕСЛИ В СИСТ K –зависимых векторов присоед.любые n вектов то получи мсистему K+n линейно зависим векторов Теорема: для того чтобы(1)были лин незав. Необход и дост чтоб ни один из етих векторо не явл лин коомбин других векторов.

Вопрос 3

Размерность и базис ЛП. Матрица перехода от одного базиса к другому.

Пусть ЛП V выполняется след. 1) сущn лин незав вектров 2) любая сист из n векторов лин зависима тогда число n-размервость ЛП V 3) пространтва размерность n наз n-мерным.. базис n-мерным простравсва V наз любая упорядочена сист n-линейно независим векторов етого пространсва.. e1…en – векторы образ базис. Тогда из векторов етого пространсва может представлен в виде лин комбин базисных векторов x=AL1e1+…ALnen (x,e-векторы ), Al1…ALn-коорд вектора X базиса е1..en. базис в пространстве не единственный. Теорема: если e1..en базис n-мерного пространсва то любой вектор X линейно выражается через e1..en однозначный образом. Теорема2: если e1..enn-линейно независим векторв пространства Vn и любой вектор x из Vn явл лин комбин етих векторов то e1..en базис n-мерного пространсва размерностью n

Линейная зависимость строк в матрице. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Методы нахождения ранга матриц. Строки матрицы наз лин завис, если линейно зависимы векторы Uⁱ из пространства Rⁿ, Uⁱ€Rⁿ. Линейная зависимость системы вектором означает, что один из них есть линейная комбинация остальных векторов системы. Для матрицы А лин завис строк равносильна тому, что её некоторая строка явл линейной комбинацией остальных строк. Теорема: для всякой матрицы число её линейнозавис строк=числу линейнозавис столбцов. Ранг. Опред: максимальное число линейнозавис строк матрицы Aназ рангом матрицы и обознач r(a). Опред: наиб из порядков миноров данной матрицы отличных от 0 наз рангом матрицы. Св-ва: 1)при транспонировании rang=const. 2)если вычеркнуть нулевой ряд, то rang=const; 3)rang=cost, при элементарных преобразованиях. 3)для вычисл ранга с помощью элементар преобраз матрица A преобраз в матриц B, ранг которой легко находится. 4)ранг треуг матрицы=числу ненулевых элем, располож на глав. Диагоналях. Замечания: 1)rang канонич матрицы=числу единиц, стоящих на главной диагонали. 2)для квадратной матрицы n-ого порядка rangA=n, если матрица невыражд. Теорема: чтобы определитель n-ого порядка =0, надо чтобы строки(столбцы) были линейно зависимы. Следствия: 1)чтобы опред n-ого порядка=0 надо чтобы rangA<n; 2)чтобы опред n-ого порядка не =0 надо чтобы строки и столбцы были лин независ, т.е. rang=n; 3)чтобы векторы Uⁿ=(a₁₁,a₁₂…a_1n)…Uⁿ=(a_n1,a_n2…a_nn) были лин завис надо чтобы определитель матрицы, строками с столбцами которой служ эти векторы, =0. Опред: базисными строками (столбцами) матрицы наз её любые R-независимых строк, где R –rang матрицы. Эти строки и стобцы наз базисными. Элементы матрицы, стоящие на пересеч фикс k-строк и k-столбцов образ квадр матрицу порядка K. Её определитель наз минором k-ого порядка (базисным). Теорема: для того чтобы ранг матрицы был равен R необходимо чтобы существовал не =0 минор порядка R, а минор (R+1)-ого порядка был =0. Методы. 1)с помощью преобразований любую матрицу можно преобраз к виду, когда каждый из её рядов будет состоять только из 0-ей или из 0-ей и единицы. Тогда число оставшихся единиц опр ранд. 2)Минор М_k+1-ого порядка, содерж в себе минор порядка k, наз окаймляющий минор М_к. Если у матрицы А сущ минор М_k не =0, а все окаймляющие=0, то rangA=K.

Решение СЛАУ. Правило Крамера. Матричный метод.

Система уравнений наз совместной, если имеет хотя бы одно решение, иначе она несовместна. Совместная система наз определённой, если она имеет единственное решение. Опред: системы наз равносильными, если они имеют одно и то же решение. Опред: cистема лин алг уравнений наз однородной, если все свободные члены=0.

Пусть дана система n-лин ур с n неизвестными A*X=B. Если опред системы не=0, то система невыражденная. Надём решение при условии, что опред не=0. Умножим обе части ур-ия слева на матрицу A^-1 и получим: X=A^-1*B– это есть матричный способ реш СУ. Формула Крамера x_i=∆i/∆, i=[1,n](∆-основной, ∆i-вспомогательный)Док: A*X=B, если detA не=0 =>сущ !A^(-1); X=A^-1*B=1/detA*C *B))…

Вывод: невырожденная система n-линейных ур-ий с n-неизвестными имеет единственное решение, которое находится матричным способом (1), либо по формуле Крамера.

Линейные операторы. Матрицы линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Пусть V и W –два лин пр-ва. Оператором f? действующим из V в Wназ отображение вида: f:V->W или y=f(x). При этом вектор y-наз образом вектора x. Оператор fназ линейным, если вып: 1)f(x₁+x₂)= f(x₁)+f(x₂); 2)f(λx)= λf(x), Vx₁,x₂,x€V, Vλ€R. Если V,W,L где V=W=L, то лин оператор, действующий из L в Vназ лин преобраз пр-ва L. Пусть f- это лин оператор в конечном мерном пр-ве L_n, а некоторый l_i, - это его базис пр-ва L_n. Разложим векторы f(l_k) по базисам. Тогда матрица А наз матрицей оператора f в базисе l_i. Если задана матрица оператора f, то он определяется однозначно: если y=f(x), то Y=A*X, где X и Y- столбцы координат векторов. А-матрица оператора f базиса l_i; А – матрица оператора f базиса l_i. Если A и A’-матрицы оператора f базиса l_i и l_i’, а T- матрица перехода от l_i к l_i’, то имеем A’=T^-1*A*T. Суммой f₁+f₂, произведением f₁*f₂ двух лин пеобраз f₁ и f₂ и произведением числа λ и лин преобраз f пр-ва L_nназ преобраз вида: (f₁+f₂)*(x)= f₁(x)+f₂(x); (f₁*f₂)*(x)= f₁(f₂(x))=f₁(x)*f₂(x); λ(f(x))= λ*f(x). Собственные чсила. Пусть число λ и вектор x€L, где x не=0, таковы, что f(x)= λx. Тогда λ наз собственным числом лин опер f, а вектор x –собств вектор этого опрератора, который соотв собств числу λ. В конечномерном пр-ве векторное равенство f(x)= λx эквивалентно матричному равенству (A- λE)*x=0 (1), где A-матрица оператора f, x не=0. Отсюда =>λ-собственное число оператора f тогда, когда (1) имеет ненулевые решения, т.е. когда P(λ)=det(A- λE)=0, тогда λ-корень многочлена. Собственными числами оператора могут быть только корни характерист ур-ия. Но не всякий корень этого ур-ия явл собственным числом лин преобразования действительного лин пр-ва. Замечание: комплексное хар-ое число не может быть собственным числом лин преобраз действ лин пр-ва. Собсв число назm-кратным, если оно явл m-кратным корнем характеристического ур-ия и простым, если оно явл простым корнем хар-ого ур. Собственны векторы лин преобраз действ лин пр-ва можно найти след образ: 1)выбираем в пр-ве базис; 2)находим матрицу А данного преобраз в базисе; 3)определим корни det(A- λE)=0. выбираем только λ€ данному лин преобраз. Замечание: 1)если хар-их числе нет, то и не сущ собственных векторов.

Системы линейных уравнений. Основные понятия. Теорема Кронекера-Капелли. Решение произвольной системы линейных уравнений.. Решением системы назn значений неизвестных x₁=c₁ … x_n=c_n, при подстановке которых все ур-ия системы обращаются в верное равенство. Опред: система уравнений наз совместной, если имеет хотя бы одно решение, иначе она несовместна. Совместная система наз определённой, если она имеет единственное решение. Опред: системы наз равносильными, если они имеют одно и то же решение. Замечание: эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях при условии, что преобраз вып только под строками. Опред: cистема лин алг уравнений наз однородной, если все свободные члены=0. Теорема К-К: система лин алг ур-ий совместна, когда rangA=rangA с крышечкой.доказ:пусть система совместн.докажем что rangA=rangAA.. т.к система совместн. То сущ. С1бс2бСт которое обращает ур.системы. в ветное тождества с1a1+c2a2…cnan=B

Где B-столбец свободных член.

b последнй столбец А(с черточкой

Явл. Линейной комбинацией первых ее n столбцов.

Вычитая из последнего столбца B получаем нулевой

Столбец следоват. rangA1=rangA(черточка)=rangA

Пусть rangA=rangA(черт) на основ.Т.о базисном миноре любой ряд матрицы явл. Лин.комбинац. параллельных emy базисных рядом. Послед. Столбец А(черт) явл. Лин.

Комбинац. R базисных столбцов следовател. Всех столбцов матрицы A

Решение произвольных лау..

Осн теоремыТеорема Кронекера-Копелли: система лин алг ур-ий совместна, когда rangA=rangA с крышечкой. Теорема: если rang совместной системы= числу неизвестных, то система имеет одно решение. Теорема: если ранг совмест сист < числа неизвестных, то система имеет бесконеч решений. Правило решения СУ. 1)найти ранг основной и расширенной матрицы (если rA не =rA с крыш, то система несовместна. 2) если rA=rA с крыш и =r, то система совместна и надо найти базисный минор порядка r. 3)Берём r ур-ий из коэф которых составлен базисн минор. Остальные ур-ия отбрасываем. Неизвестные, коэф которых входят в минор наз главными. Из оставл слева, а остальные (n-r) – справа. 4)Найти выражения главных неизв через свободные. Получено общее решение системы 5)Придавая свободным низвестным произвольное значение, получим соотв значения главн неизв, т.е. найдём частные решения

Вопрос 4

Скалярное произведение векторов. Свойства. Вычисление. Приложение.

Скалярным произв векторов наз число = произвед длин на косинус между ними. СПВ равно сумме произ их соотв координат. Скалярное произ 2х векторов = модулю одного умноженного на проекцию другого на соноправленную с 1-ым вектором ось. Св-ва: a*b=b*a; (C*a)*b=C*(a*b); a(b+c)=a*c+b*c; 2)(a)^0.5=|a|; 5)aперпенлbиaне =0, bне=0, то |a|*|b|=0. Приложения. Cosσ=(a*b)/(|a|*|b|). Замечание: условие перпендикулярности двух ненулевых векторов: a перп ba_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0. Проекция вектора: пр_ba=(a*b)/|b|.

Вопрос 5

Векторное произведение векторов. Свойства. Вычисление. Приложение.

Три некомпланарных вектора a, b, с взяты в указанном порядке и образуют правую тройку, если с конца 3-его вектора с кратчайший поворот от 1-ого a ко 2-ому b видим совершающийся против часовой стрелки, и левую – если по часовой. Опред: векторным произвед вектора a на bназc, который имеет длину, численно равную |c|=|a|*|b|*sinσ; и этот вектор ортогонален векторам a и b,векторы a, b, с образ правую тройку. Пункты: 1)условие коллиниарности: a||b =>[a*b]=0; 2)нахождение S параллелограмма и S треуг. Sпар=|a|*|b|*sinσ. Sтр=0,5*|a*b|. ;[a,b]=определитель |I,j,k:x,y,z(a);x,y,z(b)|

Вопрос 6

Смешанное произведение векторов. Свойства. Вычисление. Приложение.

СПВ (a,b,c) наз число полученное след образом: (a,b,c)=([a,b],c). Смешанное произведение 3х векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятого со знаком + (-), если эти векторы образуют правую (левую) тройку. Смешанное произ векторов равно определителю 3-его порядка, составленного из координа перемноженных векторов. Приложение. 1)определение взаимных ориентаций векторов в пр-ве: если abc>0 (abc<0), то правая (левая) тройка векторов abc. 2) abc компланарны(лежат в одной пл-ти), когда их произв =0. 3)Геометр смысл: Vпараллелепипеда= abc. Vтр=1/6(abc).

Системы однородных линейных уравнений. Нормированная фундаментальная система решений. Однородная система лин ур в матричн форме имеет вид A*X=0, где A- основная матрица системы (x₁,…,x_n)^T €R. Однород сист всегда совместна. Теорема: для того чтобы однородая система имела не нулевое решена надо, чтобы rangA<n, где n-число её столбцов или неизвестных. Следствие: 1)чтобы однородная система n*n имела не нулевое решение надо, чтобы определитель матрицы |A|=0, т.е. когда r(A)<n. 2)чтобы однородная система n*n имела одно ненулевое решение, надо, чтобы r(a)=n или |A| не=0; Теорема: множество решений однородной системы образует подпространство лин пространства Rⁿ, размерность которого =(n-r(A)). Пусть r(A)<n. Если число решений = размерности пространства решений, то их можно брать в качестве базиса этого пространства. Совокупность (n-r) лин нез решений однород системы наз фундаментальной системой решений. => всякий вектор решения X есть лин комбинация векторов E обознач X=Сумма от 1 до n-1 CiEi, где Ci- постоянная, а Ei –лин независ сист реш. (1) Решение X (1) наз общим решением лин однор систем a*x=0.

. Производная функции в точке. Механический и геометрический смысл производной. Опред: производной функции y=f(x) в произвольной точке x₀наз предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее ->0: y’(x₀)=lim при ∆x->0 (f(x₀+∆x)-f(x₀))/∆x. Из св-ва пределов следует, что если функция f, определённая в некоторой окрестности в x₀ имеет конечную производную F’(x₀), то сущ производная слева и справа: F’(x₀)=F’(x₀-0)=F’(x₀+0). Мех смысл. Производная – это мат модель скорости процесса, описываемого функцией. Если аргумент x₀ функции получает приращение ∆x, что x₀+∆x с той же окрестностью т. x₀, то соответствующее приращение ∆f(x₀)=f(x₀+∆x)-f(x₀). Средняя скорость <Vср>=∆f(x₀)/∆x. Мгновенная скорость Vмг=lim при ∆x->0 ∆f(x₀)/∆x=F’(x₀). Скорости протекания процессов: 1)Мгновенная скорость движения мат точки М в момент времени t₀ есть предел пути по времени: V=lim при ∆t->0 (S(t₀+∆t)-S(t₀)/∆t; 2)Мгновенное ускорение мат точки в фиксир момент времени есть V’: a=lim при ∆t->0 (V(t₀+∆t)-V(t₀)/∆t; 3) теплоёмкость тела – производная от Q/T: C=dQ/dT; 4) линейная плотность неоднородного тонкого стержня в x₀: p(x₀)=dm/dx; 5)мгновенное значение электродвижущей силы – индукции=скорости изменения магн потока: E=dФ/dt; 6)сила тока в контуре в момент времени t равна произ заряда по времени: I=dq/dt. Геометр. Производная y’ функции y(x) представляет собой tg угла наклона к графику функции; Ур-ние касательной к прямой: y-y₀=F’(x₀)(x-x₀).

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции. Основные правила дифференцирования функций. Производные основных элементарных функций. Опред: функция y=f(x) наз диф в x₀, если её приращение в этой точке может быть представлено в виде A∆x+0(∆x), где A€R; O(∆x) –беск мал функц более высокого порядка малости, чем ∆ч при ∆x->0. Таким образом дифференциальность функции в точке x₀ означает, что с точностью до беск малой более высокого порядка, чем приращ ∆x приращ функции придставимо лин функц ∆x. Теорема: для того, чтобы функция f(x) в x₀ была диф надо, чтобы в x₀сущ конечная производная. Теорема: если функция f(x) диф в точке, то она непрерывна в этой точке. Если y=f(x) диф в точке x₀€[a;b], то говорят, что она диф на отрезке ab. Пусть U(x) и V(x) имеют производные в x₀ и в некоторой её окрестности, тогда основные правила диф: 1)(CU)’=CU’; 2) (U/C)’=1/C*U’; 3)(U+V)’=U’+V’; 4)(U*V)’=U’V+V’U; 5)(U/V)’=(U’V-V’U)/V². Производные основных элем функций: 1)(x^α)’=α*x^α-1, α€R; 2)(a^x)’=a^x*lna; 3)(shx)'=chx; 4) (chx)’=shx; 5)(thx)’=1/ch²x; 6) (cthx)’=-1/sh²x.

Производная сложной, обратной, заданной параметрически функций. Если y=f(u), а u зависит от произвольного аргумента x, то y’=F’(u)*u’(x); (uⁿ)’=n*u^n-1*u’. Если для y=f(x) сущx=F’(y) причём в точке ч производная функция y=f(x) не =0, то для производной обратной функции соотв. точки y справедливо: (F^-1(y))’=1/F’(x) или dy/dx=(1/dx)/dy.

51. Логарифмическое дифференцирование. Производная функции, заданной неявно. Заключается в том, что сначала логариф. данную функцию, а потом диф. Производную от логарифма y=f(x), которая >0 и имеет производную x€Xназ её логарифмической производной в точке x и равняется: (ln(f(x)))’=F’(x)/f(x) или lny=y’/y. Используем при нахожд показат функции виды y=u(x)^v(x), а также, если функц содержит операции умнож, деление, в степень, корень. Диф неявных функций. Пусть ур-ие F задает y, как неявную функцию x. Дифференц. его по x считается, что y есть функция от x. Получаем ур-ие, содерж x,y,y’. Выражая из него y’ находим произв. Функции y=f(x), котор задана в неявном виде. Диффер функции задан параметрически. Пусть y=y(x) задана параметрически x=γ(t) и y=φ(t), где t€T, тогда производная равна: y’(x)= φ’(t)/ γ’(t), x=γ(t) =>dy/dx=y’(t)/x’(t), x=γ(t)/ Воспользуемся для x=acost и y=bsint и получим y’(x)=bcost/-asint=-b/a*ctgt, x=acost.

Дифференциал функции. Инвариантность формы дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Опред: если приращ функции y=f(x) в т. x€X может быть представлено в виде A∆x+0(∆x), то главная часть этого приращения линейно относительно ∆xназ дифференциал функции y=f(x) в т. x и dy=A∆x. dy=F’(x)* ∆x т.к. dx=x, то dx=∆x и тогда dy=F’(x)dx. Отсюда следует, что задача нахожд. Диф. функции f(x) равносильна нахожд её производной. Формулы: 1) d(CU)=CdU; 2) d(U+/-V)=dU+/-dV; 3) d(V*U)=VdU+UdV; 4) d(U/V)=(VdU-UdV)/V², V не =0. Геометр. Интерпритация диф функции. Из определения ∆f(x₀)=df(x₀)+Ө(∆x), т.е. диффер функции в x₀ отличается от соотв приращения функции на бесконеч малую величину более высокого порядка малости, чем ∆x->0. т.к. F’(x)=tgα, то диф функции измер отрезком, т.е. dy функции y=f(x) в x₀ изображается приращением ординаты в точке касательной, проведённой касательной к М с корд М(x;f(x₀)) и линии y=f(x). Применение диф в приближ вычислениях. ∆y=dy; f(x₀+∆x)=f(x₀)+F’(x₀)*∆x. Инвариантность. Диф функции равен произв функции на дифференц аргумента независимо явл ли этот аргумент независ переменной или функц независ перемен. Форма дифференц може быть сохр тогда, если преждняя независ переменная заменена 1-ой.

Производные и дифференциалы высших порядков. Производные высших порядков от функций, заданных неявно, параметрически. Производной 2-ого порядка y=f(x) наз произв от её производной y’=F’(x). Обозначается F’’(x) или d²y/dx². Для нахожд. второй производной на уже найденную 1-ой функцию надо найденную 1-ую продиф по x, считая y-функцией от x. В выражении второй произ войдут x,y,y’. Подставляя вместо y’ её значения находим y’’, которое будет зависеть от x и y. Аналогично для др. порядков. x=k(t), y=p(t) =>y’_x=y’_t/x’_t, x=k(t) =>y’_x=(y’_x)’_t/x’_t=k(t) =>y’x=(y’_x)’_t/x’_t=(y’_tx’_t-y’_tx’’_t)/((x_t)²x’_t)=(y’’_tx’_t-y’_tx’’_t)/(x’_t)³ =>d²y/dx², x=k(t) =>x=t²+2t, y=ln(t-1).

Опред: диф от диф y=f(x) в точке x наз. 2-ым диф. в т. x и обознач d²y или d(dy) В слачае, когда x-независ переменная, то для диф n-ого порядка справедливо: dⁿy=F’’(x)*(dx)ⁿ.

54. Теоремы о среднем значении. Теорема Ролля. Пусть f(x) удовл. след условиям на [a;b]: f(x) определена и непрерывна на [a;b], диф на (a;b) и f(a)=f(b) – тогда сущ хотя бы одна точка N€(a;b) такая, что f(N)=0. Док-во: если f(x)-непрерывна на [a;b], то на нём f(x) принимает наиб и наим знач: 1) если M=m =>f(x)=const =>F’(x)=0; 2) если M>m => хотя бы одно из 2-х знач. M и m функция принимает в некот точке N€[a;b] на основе f(a)=f(b). Пусть f(N)=m =>f(x)≥f(N). Покажем, что F’(N)=0, тогда согласно условию 2 для f(x) сущ конечная производная F’(N)€(a;b). Для VN€(a;b) сущf(N)= lim при x->0 (f(N+∆x)-f(N))/∆x; lim при x->0+0 (f(N+∆x)-f(N))/∆x=lim при x->0-0 (f(N+∆x)-f(N))/∆x. Найдём односторонни пределы. Т.к. M>m, то приращ функции f(N+∆x)-f(N) для VN€(a;b) равно: lim при x->0+0 (f(N+∆x)-f(N))/∆x=F’(N+a) и lim при x->0-0 (f(N+∆x)-f(N))/∆x=F’(N-0) =>F’(N)=0. Геометр интерпретации Роля: если непрерывная на отрезке [a;b] и диф на интервале функ f(x) принимает на концах отрезка равные значения, то найдётся точка С с абсциссой N, в которой касательная // Ox. F(x)=x³ на [-1;1] –она диф во всех точках, но не вып 3-ье условие, но сущ точка N=0, в которой F’(N)=0.

Теоремы о среднем значении. Теорема Лагранжа. Если f(x) непрерывна на [a;b] и диф на (a;b), то сущ точка N€(a;b) и f(b)-f(a)=F’(N)(b-a) (1). Док-во: 1) составим вспомогат функицию p(x)=(b-a)*f(x)-(f(b)-f(a))x; 2) покажем, что p(x) удовл. теореме Роля: p(x) –непрерывна на [a;b], диф на (a;b) и p(a)=b*f(a)-a*f(b); 3) F’(x)=(b-a)*p’(x)-(f(b)-f(a)). Поэтому сущ точка N€(a;b), что p’(N)=0, т.е. (b-a)F’(N)-(f(b)-f(a))=0 =>f(b)-f(a)=F’(N)*(b-a). Теор Лагранджа наз теор о конечных преращениях – F’(N)=(f(b)-f(a))/(b-a), N€(a;b). Геометр смысл. (f(b)-f(a))/(b-a)=k –угловой коэф. хорды AB, af’(N) –угл. коэф. касательной к f(x) в т.С. Поэтому имеем, что между A и B на дуге AB найдётся т. С, в которой касательная // хорде AB при условии, что в каждой точке дуги ФИ сущ. касательная. Если положить, что f(a)=f(b), то получим теорему Роля. Положим в (1) a=x₀, b=x₀+∆x, тогда f(x₀+∆x)*f(x₀)=F’(N)∆x. и x₀≤N≤x₀+∆x.

56. Теоремы о среднем значении. Теорема Коши. Пусть f(x) и g(x) удовл. след.условию: 1)непрерывны на [a;b]; 2) диф. на (a;b) и g’(x)не =0, Vx€(a;b), тогда существует точка N€(a;b) и (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=F’(N)/g’(N). Док-во: 1) p(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*(g(x)-g(a)) и g(b)не =g(a). Замечание: если бы g(b)=g(a), то для g(x) на [a;b] были бы выполнены все условия теоремы Роля. И тогда нашлась бы точка N€[a;b], для которой g’(N)=0, что противоречит условию теоремы Коши. Покажем, что p(x) удовл усл теор Роля: a)p(x) –непрерывна, т.к. явл. суммой непрерыв функ. b)p(x) диф на (a;b); c)p(a)=0 и p(b)=0 =>p(a)=p(b). Найдём p’(x)=F’(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g’(x), Vx€(a;b). Потеор. Ролясущточка N€a(a;b), что p(N)=0. p’(N)=F’(N)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g’(N)=0 => (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=F’(N)/g’(N). Геометр смысл совпад с теор Лаграндже. Обозначим независ переменную через t и будем считать, что y=f(t) и x=f(t) явл параметр.урванением некоторой линии. Когда t проходит отрезок от t₁ до t₂ текущ. точка перемещается по дуге. Начальная точка A(g(t₁);f(t₁)) B(g(t₂);f(t₂)). dy/dx=y’_t/x’_t=f’_t/g’_t=> (f(t₂)-f(t₁))/(g(t₂)-g(t₁))=(F’(N))/(g’(N)). Из этого следует, что если дуга задана в параметр. форумеy=f(t) x=f(t), то на ней есть точка С, в которой касательная // хорде стягивающей эту дугу.

. Правило Лопиталя-Бернулли. Методы раскрытия неопределенностей вида 0*∞, 0⁰, ∞⁰, 1^∞. Теорема: если функции f(x) и g(x) удовл. след условиям: 1) определены и диф на (a;b) за исключением x₀ и g(x)не =0; g’(x)не =0ж Vx€(a;b); 2) предел f(x) при x->x₀ равен пределу g(x) при x->x₀ и =0 (бесконечности); 3) существует предел (конченый и бесконечный) вида lim при x->x₀F’(x)/g(x)=A -, то существует lim при x->x₀f(x)/g(x)=lim при x->x₀F’(x)/g’(x). Док-во: 1) для случая 0/0. Определим функии f и g в x=x₀. Положим f(x₀)=g(x₀)=0. Доопределённые функции непрерывны в x₀. Рассмотрим [x₀;x] где x₀<x<b. На этом отрезке f(x) и g(x) непрерывны, а на [a;x] –диф. Поэтому по теореме Коши точка a<x₀<z<x так, что (f(x)-f(x₀))/(g(x)-g(x₀))=F’(x)/g’(x). Т.к. f(x₀)=g(x₀)=0, то f(x)/g(x)=F’(z)/g’(z). Если x->x₀, то z ->x₀. Смысл правила Лапиталя: оно позволяет свести вычисление предела отношения в случае неопределённости 0/0 или беск/беск, позволяет свести предел функции к пределу отношений производных. Правило Лапиталя справедливо, когда x₀=беск. Если F’(x) и g’(x) удовл. требованиям, что и сами функции f(x) и g(x) и lim при x->x₀F’’(x)/g’’(x) существует, то применив дважды правило Лапиталя получим: lim при x->x₀ f(x)/g(x)=lim при x->x₀F’(x)/g’(x)=lim при x->x₀F’’(x)/g’’(x). Если lim при x->x₀f(x)=0 и lim при x->x₀g(x)=беск., то надо свести к 0/0 или бекс/беск и применить правило Лапиталя. Если имеем беск-бекс и lim при x->x₀ (f(x)-p(x)) при lim при x->x₀f(x)=беск и lim при x->x₀p(x)=беск, тогда с помощью преобразования F’(x)=p(x)=(1/p(x)-1/f(x))/(1/f(x)*p(x)). Если (0⁰, беск⁰, 1⁰), lim при x-> x0 (f(x)^f(x)). Логарифмируем функцию, затем находим логарифм y.

Формула Тейлора. Разложение по формуле Маклорена функций е^х, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)^m. Всякий многочлен в степени n: P_n(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ, (a_n не=0) можно записать по степеням (x-x₀) пользуясь: P_n(x)= P_n(x₀)+ P_n‘(x₀)/1*(x-x₀)+P_n"(x₀)/2!*(x-x₀)²+…+P_n‘ⁿ(x₀)/n!* (x-x₀)ⁿ – формула Тейлора. Если f(x) диф (n+1) раз в некоторой z-окрестности точки x₀, то для Vx она может быть представлена в виде f(x)= f(x₀)+ F‘(x₀)/1*(x-x₀)+F"(x₀)/2!*(x-x₀)²+…+F‘ⁿ(x₀)/n!*(x-x₀)ⁿ+R_n(x), где R_n(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(z)/(n+1)!*(x-x₀)ⁿ⁺¹(1), где z=x₀+Ө(x-x₀) и Ө€(0;1) R_n- означает разность знач. Данной функции f(x) и многочлена (P_n(x)). R_n(x)=f(x)- P_n(x). R_n(x) – остаточный член в формуле Лаграндже. Частный вид формулы Тейлора при x₀=0 наз. формула Макларена, при x₀=0. f(x)= f(0)+ F‘(0)/1*(x-x₀)+F"(0)/2!*(x-x₀)²+…+ F‘ⁿ(0)/n!*(x-x₀)ⁿ+R_n(x), где R_n(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(Өx)/(n+1)!*(x-x₀)ⁿ⁺¹(2). Теорема: если f(x) определена и n -раз диф., то при x-> x₀ имеем: f(x)= f(x₀)+ F‘(x₀)/1*(x-x₀)+F"(x₀)/2!*(x-x₀)²+…+F‘ⁿ(x₀)/n!*(x-x₀)ⁿ+ Ө(x-x₀)ⁿ и f(x)=сумма от k=0 до n (f^(k)(x₀)/k!*(x-x₀)ⁿ⁺Ө(x-x₀)ⁿ, где R_n(x)=Ө(x-x₀)ⁿ. Формула (2) даёт представление функции по степеням независимых переменных.

F(x)=e^x и F(0)=1; … Fⁿ(x)=e^x и Fⁿ(0)=1; Fⁿ⁺¹(x)=e^x и Fⁿ⁺¹(Өx)=e^Өx=>e^x=1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+ R_n(x) где R_n(x)=xⁿ⁺¹/(n+1)!*e^Өx, где Ө€(0;1)

F(x)=sinx и F(0)=0; F’(x)=sin(x+П/2) и F’(0)=1;… Fⁿ(x)=sin(x+n*П/2) и Fⁿ(0)=sin(n*П/2) =>sin(x)=x-x³/3!+x⁵/51-…+xⁿ/n!*sin(n*П/2)+ R_n(x) где R_n(x)= xⁿ⁺¹/(n+1)!*sin(Өx+(n+1)*П/2), где Ө€(0;1)

cosx=1-x²/2!+x⁴/4!-…+xⁿ/n!*cos(n*П/2)+ R_n(x), где R_n(x)= xⁿ⁺¹/(n+1)!*cos(Өx+(n+1)*П/2), где Ө€(0;1)

ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-…+(-1)ⁿ⁺¹*xⁿ/n+R_n(x), где R_n(x)= (-1)ⁿ⁺¹*xⁿ⁺¹/((n+1)*(1+Өx)ⁿ⁺¹), где Ө€(0;1)

(1+x)^m=1+mx+m(m-1)/2!*x²+…+((m-1)m…(m-n+1))/n!*xⁿ+R_n(x), где R_n(x)=(m(m-1)…(m-n))/(n+1)!*(1+Өx)^m-n-1*xⁿ⁺¹ где Ө€(0;1)