gotovaya_shpora

Монотонность и локальные экстремумы функции. Критерии монотонности функции. Теорема о необходимом условии локального экстремума функции. Три достаточных признака существования экстремума функции. Функция f(x), заданная на множестве F наз. cтрого возраст. (убыв), если Vx₁x₂€X, x₁<x₂ =>f(x₁)<f(x₂) (f(x₁)<f(x₂)). Теорема: если f(x) непрерывна на [a;b] и диф. На (a;b), то для возрастания (убывания) функции надо, чтобы f(x)≥0 (f(x)≤0), Vx€(a;b); для строгого возрастания (убывания) f(x)>0 (f(x)<0), Vx€(a;b). Док-во: Пусть F’(x)>0 на x€(a;b), тогда для Vz€(a;b) F’(z)>0. Поэтому для V(x₁;x₂): x₁<x₂ по теор. Лагранджа. f(x₁)-f(x₂)=F’(z)(x₂-x₁)>0, т.е. f(x) воpрастает на (a;b). Геометр. cмысл: касательная к графику, возрастающей (убывающей) на (a;b) функции F’(x)>0 (F’(x)<0) составляет острый (тупой) угол с осью Ox. Если f(x)=const, то F’(const)=0, то касательная // Ox. Точка x₀ наз. Точной локального максимума f(x), если сущ. Такая дельта(д)-окрестность этой точки, что (x-x₀-д;x0+д), что для Vx€( x-x₀-д;x0+д) и при условии, что x не =x₀, будет: f(x₀)>f(x) –макс (f(x₀)<f(x) –мин). Локальный максимум или минимум наз. экстремумом. Наиб.и наим. Значения функции на [a;b] наз. абсолютным экстремумом. Теорема: если f(x) диф. в окрестности точки x₀ (исключая x₀) и имеет в т.x₀ локальный экстремум, то её производная в этой точке =0 или не сущ. Точки, в которых произв.=0 или не сущ., наз. критическими. Геометр смысл: в точках экстремума f(x) касательная к графику //Ox, если сущ. производная=0. Сущ. несовпадающие левые и правые касательные, если F’(x₀-0) не = F’(x₀+0). Выяснить, какая из крит. точек функции будет точкой экстремума можно с помощью трёх достаточных условий сущ функции. Теор1: пусть x₀ крит.точка непрерывной f(x), тогда, если f’(x) при переходе в x₀ меняет знак с + (-) на – (+), то x₀-максимум (минимум). Теор2: если в Крит точке x₀ функция f(x) дважды диф и 2-ая производная в x₀<0 (x₀>0), то f(x) имеет в x₀ максимум (минимум). Теор3: пусть f(x) n-раз диф. в x₀, т.е. F’(x₀)=F’’(x₀)=F^(n-1)(x₀)=0, а Fⁿ(x₀) не =0, тогда если n чётная и Fⁿ(x₀)<0 (Fⁿ(x₀)>0), то x₀-максимум (минимум); если n-нечётная, то x₀- не точка экстремума.

Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функций и построения их графиков. График дифференциальной функции y=f(x) называется выпуклым вниз (вверх) на (a;b), если дуга кривой y=f(x) при Vx€(a;b) расположена выше (ниже) касательной к графику. Точка M(x₀;f(x₀)) дифференцируемого графика y=f(x), которая в направлении выпуклости меняется на противоположное, называется точкой перегиба. Теорема (достаточный признак выпуклости): если f(x) на (a;b) дважды дифференцируем и F’’(x)<0 (F’’(x)>0), то график – выпуклый вниз (вверх). Теорема: если для f(x) F’’(x) в x₀=0 или не существует, то при переходе через неё меняет знак и M(x₀;f(x₀)) – точка перегиба. При исследовании поведения функции на бесконечности или вблизи разрыва 2-ого порядка, порой оказывается, что расстояние между точками графика и точками прямой с теми же абсциссами называются асимптотами графика. Виды: наклонные, вертикальные, горизонтальные (ч.с. наклонной). Прямаяx=x₀ наз. Вертикальной асимптотой, если один из односторонних пределов в x₀=беск; lim при x->x₀f(x)=+/- беск. Замечание: непрерывные на множестве R функции вертикальных асимптот не имеют. Для опускания вертикальных асимптот надо определить те значения x, при которых хотя бы один из односторонних пределов бесконечен. Опред. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой (если k=0, то горизонтальной) при x->k+/- беск если f(x) представим в виде f(x)=kx+b+p(x), где p(x)->0 при x-> -беск (+беск). Теорема: для того чтобы y=f(x) имел наклонную асимптоту y=kx+b надо, чтобы существовали конечные пределы lim при x->x₀f(x)/x=k и lim при x->x₀ (f(x)-kx). Замечание: при нахождении наклонных асимптот возможны три случая: 1) оба предела существуют и не зависят от знака бесконечности, тогда y=kx+b – двухсторонняя асимптота; 2) оба предела существуют, но при x->k+/- беск они различны, тогда имеем две односторонние асимптоты; 3) хотя бы один из пределов не существует, то асимптот нет.

Прямая на пл-ти. Различные формы ур-я прямой. Расстояние от точки до прямой.

(y-y₁)=k(x-x₁)- у-е прямой проход через 1 точку

k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁); (y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁) - у-е прямой проход через 2 точки

x/a+y/b=1 – у-е прямой отрезка

Ax+By+C=0 - общее у-е прямой

tgφ=(k1-k2)/(1+k1*k2) угол между прямыми

|| =>k1=k2 ┴=>k1=-1/k2

d=|Ax+By+C|/(A²+B²)^0.5 – расст от точки до прямой

Вопрос 2

Прямая в пространстве. Различные формы Ур-я прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости.

{A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0прямая как линия пересеч 2 плоскостей

{A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

каноническое Ур-е

S{m,n,p} – направл вектор

у-е прямой, проход через 2 точки

- между прямыми в пространстве

s1(m1,n1,p1) направл вектор

pq<=>A₁/A₂=B₁/B₂ p┴q<=> A₁A₂+B₁B₂=0

прямаяипл-ть

|| - [S,n]=Am+Bn+Cp=0 ┴ - A/m=B/n=C/p

Вопрос 3

Плоскость. Различные формы Ур-я пл-ти. Расстояние от точки до пл-ти(вывод).

Ax+By+Сz+D=0

A(x-x₀)+B(y-y₀)+С(z-z₀)=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку вектору(n).

|x-x1 y-y1 z-z1| проход |x1-x2 y1-y2 z1-z2|=0 - через 3 |x2-x3 y2-y3 z2-z3| точки

x*cosα +y*cosβ+z*cosγ-p=0 где n(cos,cos,cos)направл косинусы n

междупл-тями

pq<=>A₁/A₂=B₁/B₂ p||q<=> A₁A₂+B₁B₂=0

вывод d=|r1-r2,n0|,n0(x1-x0,y1-y0,z1-z0)

Вопрос4

Кривые второго порядка. Ок-ть, эллипс, гипербола, парабола.

Ax²+By²+Cy²+Dx+Ey+F=0, A²+B²+C² не =0 – окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Ур-ие окружности(геометрич место точек в плоскости равноудаленных от одной точки) (x-a)²+(y-b)²=R², где (a,b)- коорд центра.

Эллипс(множество точек пл-ти для каждой из которых сумма расстояний до 2ух заданных точек(фокусов) есть величина постоянная, большая, чем расст между фокусами).фокусы F₁(C,0) и F₂(-C,0), а О(0,0) совпадает с серед отрезка F₁F₂, x²/a²+y²/b²=1, b2=(C²-a²), C=(a²+b²)^0.5. Эксцентриситет (мера сжатости e)->e=С(фокусное расстояние)/a(большая ось) и e=(a²-b²)^0.5/a, 0<C<a и 0<e<1.

Вывод ((x+c)²+y²)^0.5 +((x-c)²+y²)^0.5 =2a (*возводим в квадрат*)

a((x-c)²+y²)^0.5 = a²-xc

x²(a²- c²)- a² (a²- c²)+ a² y²=0 (a²- c²)= b²

…делим на a²b² получаемx²/a²+y²/b²=1

Директрисы (D) x=+/-a/e

Гипербола –множество точек в пл-ти, для каждой из которых модуль разности расстояний до 2х заданных точек(фокусов), есть величина постоянная <чем расстояние между фокусами. e=c/a=(1+(b/a)²)^0.5. Длягиперболы c>a =>e>1, x²/a²-y²/b²=1 вывод ((x+c)²+y²)^0.5 -((x-c)²+y²)^0.5 =±2a)

Директрисы (D) x=+/-a/e

Парабола – множество точек в пл-ти равноудаленных от данной прямой директрисы и данной точки фокуса. y²=2px. Вывод(x+p/2=((x-p/2)²+y²)^0.5) симметричная оси Ox и проход чрез начало коорд; Директрисы x=-p/2. Фокус F(p/2;0). Число p>0 наз параметром параболы; О-вершиной. Если осью симметрии для параболы служит Oy, то x²=2pyD=-p/2.

Вопрос 5

Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.

Цилиндрич пов-ть образуется перемещением образующей вдоль некоторой прямой(направляющей)

x²/a²+y²/b²=1 – эллиптич цилиндр

x²/a²-y²/b²=1 – гиперболич цилиндр

y²=2px – пароболический цилиндр

Эллипсоид - множество точек в пространстве, опред Ур-емx²/a²+y²/b² + z²/c²=1

Симметрична относительно всех осей и О(0.0), расположен внутри прямоуг пар-пипеда со старанами 2a,2b,2c

Метод сечений (z=h)

|h|<c эллипсы

|h|=cM1(0,0,c) M2(0,0,-c)

|h|>cy=h1 эллипсы, точки (0,b,0) (0,-b,0)

x=h2 (a,0,0) (-a,0,0) – вершины эллипсоида

Конус опред след ф-лой x²/a²+y²/b² -z²/c²=0

z=h не =0 эллипсы

z=0 O(0,0,0) вершина конуса

y=h1 гиперболы

x=h2 гиперболы

x=0, y=0 пара пересек прямых

Гиперболоиды

Однополостный двуполостный

x²/a²+y²/b² - z²/c²=1 x²/a²+y²/b² -z²/c²=-1

z=h эллипсы |h|<= >|c| эллипсы

z=0 горловой эллипс

y/x=h г и п е р б о л ы

y=b/x=c пара пересек прямых |

Параболоид

Эллиптический гиперболический

x²/p+y²/q=2zx²/p - y²/q=2z

z=0 вершина z=0 пара пересек.прямых

ось симетриии ОzO(0,0,0) € пов-ти

z=h эллипсы

x=y=0 п а р а б о л а

x=y=h п а р а б о л ы

Вопрос 1

Числовые последовательности. Предел последовательности. Определение. Свойства.

Пусть задано множество X,N-ми натуральных чисел. Если каждому знач из N соотв некоторое знач из X,(X↔N) то говорят, что задана последовательность {X_n}.

Число а наз пределом последовательности {X_n} (a=limX_n), если для любого сколь угодно малого числа ε найдется такой номер N, что для всех номеров n>N больших этого N не выполняется.

|X_n-a|< ε

Последовательность имеющая предел наз сходящейся, не имеющая – расходящейся.

Последовательность наз ограниченной, если сущ такое положительное m, что для всех элементов последовательности |X_n|<= m для лбых n €N

Последовательности: убывающие, возрастающие, постоянные, (не) ограниченные

Теорема 1:Если постедовательность имеет предел, то он единственный. ((От противного: предположим, что сущ 2 предела а не= b, покроем а и b интервалами так, чтобы они не пересекались.—(-1а-)---(-2b-)—тогда т.к. а есть предел, то бесконечное число элементов попадает в 1, Т.к b тоже предел,то бесконечное число элементов должно попадать и в 2,но это невозможно,т.к. одному числу соотв одна точка.))

Теорема 2: Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Теорема 3: Пусть limX_n=a(n->0) limY_n=b и X_n<= Y_n ,то это же неравенство справедливо для a<=b

Теорема 4: {X_n}->a(n->∞); {Y_n}->a(n->∞); X_n<=Z_n<=Y_n то {Z_n}->a(n->∞)

Теорема 5: Если все элементы {X_n} принадлежат отрезку [c,d] и {X_n}->a(n->∞); то a €[c,d]

Теорема 6: если limX_n=a, limY_n=b(n->0) 1) lim(X_n± Y_n)=A±B; 2)lim(X_n*Y_n)=A*B; 3)limc*X_n=c*limX_n; 4)lim(X_n/Y_n)=A/B;

Вопрос2

Монотонные последовательности. Принцип вложенных отрезков.

Последовательность {X_n}наз возрастающ х1<x2<..<xn; невозрастающ x1<=x2<=..<=xn+убывающие

Общее название – монотонные

Теорема 1: Если последовательность не убывает/возрастает и ограничена сверху(число M)/снизу(m), то сущ такое а, к которому последовательность сходится.(имеет предел) limX_n=a<=M/>=m

Теорема 2: (принцип вложенных отрезков) Пусть задана последовательность отрезков δ_n=[an,bn],n=1,2.. вложенных друг в друга, дляны которых ->0. |bn-an|->0(n->∞) Тогда сущ ! точка с €δn для Ұ n€N

Вопрос 3

Предел ф-и. Определение. Основные теоремы о пределах.

число А наз пределом функции y=f(x) x->x₀, если f(x) определена в окрестности точки x₀ , за исключением самой этой точки и для любого сколь угодно малого положительного числа ε сущ такое число δ>0, что для всех х удовлетворяющих 0<|x-x0|<δ выполняется |f(x)-А|< ε

Теорема 1(об огран ф-и): Если y=f(x)имеет конечный предел в некоторой окрестности точки х0,то она ограничена на этой окрестности. ((пусть ф-я имеет предел, это означает,что для всех х из δ-окр точки х0, выполняется |f(x)-А|< ε. Выберем ε=1, преобразуем неравенство:1> |f(x)-А|>|f(x)|-|А =>|f(x)|< 1+|A|,т.е любые х€U δ(x0) |f(x)|<M,где М=1+|A|,это и означает, что f(x) ограничена в окрестности точки х0))

Теорема 2: Если сущ предел ф-и f(x)=В при х->х0 и В не=0, то ф-я 1/ f(x) явл ограниченной.

Теорема 3:Пусть предел f(x)=А при х->х0 и предел g(x)=B при х->х0 тогда имеет место след равенств:1) если f(x)<= g(x), то A<=B; 2) lim(f(x)±g(x))=A±B; 3)lim(f(x)* g(x))=A*B; 4)limc* f(x)=c*limf(x); 5)lim(f(x)/g(x))=A/B; 6)lim (f(x))^n=A^n; 7)lim (f(x))^ g(x)=A^B; 8)если limf(x)=A,lim φ(x)=A, f(x)<=g(x)<=φ(x) то limg(x)=A

Вопрос 4

Бесконечно малые ф-и. Определение. Свойства. Сравнение бмф.

Опред: функция f(x) наз беск малой (большой) при x->x₀, если lim при x->x₀=0(∞)

Теорема 1: Для того чтобы y=f(x) имеет предел А при x->x₀< =>f(x) можно записать как f(x)=A+α(ч), где α(x) –беск малая величина при x->x₀. Теорема 2: конечная сумма беск малых функций есть беск малая функция. Теорема 3: Если α(x) бмф,то обратная к ней ф-я f(x)=1/α(x) Теорема 4: произв беск мал функ на огранич функ есть беск малая функц. Теорема 5: произв бмф на бмф = бмф; Теорема 6: произв бмф на const = бмф.Теорема 7: Частное от деления бмф на ф-ю, предел которой отличен от нуля, есть бмф. Сравнение бмф. Чтобы сравнить бмф, находят предел отношения этих величин: 1) lim при x->x0 α(x)/β(x)=0, то α(x)- бмф более высокого порядка. 2) lim при x->x0 α(x)/β(x)=беск, то α(x)- бмф низшего порядка. 3) lim при x->x0 α(x)/β(x)=1, то α(x) и β(x)- эквивалентные и бмф при x->x₀.

Вопрос 5

Iзамечательный предел. Вывод.

1-ый замеч предел lim при x->0 (sinx/x)=1; Док-во. Т.к. f(x)=sinx/x – чётная, рассмотрим её на (0;П/2). Докажем, что sinx<x<tgx. На единичной окружности рассмотрим угол AOB, хорду AB и касательную AC к окруж в т.А. Сравним площади S_AOB<S_{секторAOB}<S_AOC. Пусть x- радианная мера угла AOB, тогда |OA|=1 и tgx=|AC| =>0.5|OA|²sinx<0.5|OA|²x<0.5|OA|*|AC|. sinx<x<tgx. Делим на sinx => 1<x/six<1/cosxcosx<sixx/x<1. Т.к. lim при x->0 cosx=1, то sinx/x=1.

Вопрос 6

|| замечательный предел. Вывод.

2-ой замеч предел lim при x->беск (1+1/n)ⁿ=е. Док-во. По бином ньютону (1+1/n)ⁿ=1+1+(1/2!)*(1-1/n)+1/3!*(1-1/n)*(1-2/n)+… +(1/n!)(1-1/n)…(1-(n-1)/n). В этой записи все слагаемые, кроме двух первых возрастают и для x_n+1 добавляется ещё одно слагаемое. =>при n€N выполн x_n<x_n+1=>x_n –возрастающая. =>x_n<1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!<2+1/2+…+1/2^n-1<2+2(1/2-(1/2)ⁿ)<3. => 2<lim при n->беск (1+1/n)ⁿ<3 ч.т.д.

Вопрос 7

Непрерывность ф-и в точке. Определение. Свойства. Классификация точек разрыва.

Функция f(x) наз непрерывной в x₀ если выполняется след условия: 1 ф-я определена в окрестности точки х0, в том числе и в самой точке. 2 сущ предел при x->x_0. 3 этот предел равен знач ф-и при х0. если хотя бы одно из условий не выполнено, то х0 – точка разрыва. Св-ва непрерывных ф-й:1 Если ф-и f(x) и g(x) непрерывны в х0,то в этой точке непрерывны их алгебраическая сумма(f±g) произверение и частное(g(x) не=0).2 непрерывность сложной ф-и. пусть F(x)=F(g(x))=F(U),где U=g(x). Если F(U),непрерывна в точке U0, а U=g(x) непрерывна в х0, то F(g(x)) непрерывна в х0.

Функция f(x) наз разрывной в x₀ если она определена в близких точках, но в самой x₀ не удовлетворяет условию: 1)существуют два конечных односторонних предела не равных друг другу, то x₀- точка разрыва первого порядка; 2)Если один из одностор пределов равен +/- беск или не сущ, то x₀- точка разрыва 2-ого порядка.

Вопрос 8

Основные теоремы о ф-ях непрерывных на отрезках.

Теорема: если f(x) и g(x) непрерывны в x₀, то также непрерывны в этой точке сумма, разность, произведение и частное этих функций. Теорема Вейерштрасса: если f(x) непрерывна на [a;b], то она ограничена и достигает в нём своего наим (наиб) значения в точке a (b), т.е. f(x₁)=m=inff(x) от [a;b] – минимум; f(x₂)=M=supf(x) на [a;b] – максимум. Замечание: функция, непрерывная на интервале, этим св-вом не обладает. Теорема Коши: если f(x) непрерывна на [a;b] и на его концах принимает значение разных знаков,то внутри отрезка сущ точка, значение функции которой =0. (( для док-ва применяется принцип вложенных отрезков. Для этого составим последовательность отрезков, вложенных друг в друга. Хn=[a,b] Разобьем [a,b] попалам,если в середине отрезка значение ф-и равно 0, то т.доказана. иначе выбираем то значение, где знач ф-и имеет разные знаки х0>х1, делим х1 попалам,если знач =0, то т доказанаЮ если нет, то выбираем то знач, где разные знаки и т.д. Получаем последовательность отрезков вложенный друг в друга, Длины которых ->0,Тогда сущ (.)С€Хn для любых n,и в этой точке f(c)=0,т.к если бы f(c) было бы отлично от нуля, то в силу непрерывности ф-и найдется такая окрестность точки с, в которой ф-я сохраняет знак(противоречие) ))