ТР 10 и 11 - одномерная и двумерная выборка
.docxМинистерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра вычислительных методов и программирования
Типовой расчет по дисциплине
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Задачи №10, 11: статистическая обработка и анализ одномерных и двумерных случайных величин
Проверил: Выполнил:
Прощеряков А.А. студент группы 921901
Петунин А.С.
Минск 2011
Задание №10. Вариант 18
Одномерная выборка
|
0,6 |
9,62 |
0,74 |
1,9 |
6,64 |
0,11 |
9,56 |
|
3,25 |
3,75 |
0,42 |
0,22 |
0,52 |
5,71 |
0,02 |
|
1,13 |
1,52 |
2,1 |
0,18 |
4,01 |
1,26 |
1,49 |
|
1,8 |
2,99 |
1,34 |
2,67 |
0,68 |
3,13 |
1 |
|
4,07 |
3,36 |
1,94 |
1,86 |
0,22 |
1,33 |
0,38 |
|
4,42 |
1,12 |
0,18 |
3,94 |
0,39 |
1,17 |
3,87 |
|
0,19 |
4 |
0,03 |
3,68 |
0,03 |
6,15 |
0,3 |
Построим вариационный ряд:
|
0,02 |
0,03 |
0,03 |
0,11 |
0,18 |
0,18 |
0,19 |
|
0,22 |
0,22 |
0,30 |
0,38 |
0,39 |
0,42 |
0,52 |
|
0,60 |
0,68 |
0,74 |
1,00 |
1,12 |
1,13 |
1,17 |
|
1,26 |
1,33 |
1,34 |
1,49 |
1,52 |
1,80 |
1,86 |
|
1,90 |
1,94 |
2,10 |
2,67 |
2,99 |
3,13 |
3,25 |
|
3,36 |
3,68 |
3,75 |
3,87 |
3,94 |
4,00 |
4,01 |
|
4,07 |
4,42 |
5,71 |
6,15 |
6,64 |
9,56 |
9,62 |
Сделаем таблицу для построения графика эмпирической функции F*(x), которая определяется формулой:
|
m |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
x |
0,02 |
0,03 |
0,11 |
0,18 |
0,19 |
0,22 |
0,3 |
0,38 |
|
F*(x) |
0,020408 |
0,040816 |
0,081633 |
0,102041 |
0,142857 |
0,163265 |
0,204082 |
0,22449 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
x |
0,39 |
0,42 |
0,52 |
0,6 |
0,68 |
0,74 |
1 |
1,12 |
|
F*(x) |
0,244898 |
0,265306 |
0,285714 |
0,306122 |
0,326531 |
0,346939 |
0,367347 |
0,387755 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
x |
1,13 |
1,17 |
1,26 |
1,33 |
1,34 |
1,49 |
1,52 |
1,8 |
|
F*(x) |
0,408163 |
0,428571 |
0,44898 |
0,469388 |
0,489796 |
0,510204 |
0,530612 |
0,55102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
|
x |
1,86 |
1,9 |
1,94 |
2,1 |
2,67 |
2,99 |
3,13 |
3,25 |
|
F*(x) |
0,571429 |
0,591837 |
0,612245 |
0,632653 |
0,653061 |
0,673469 |
0,693878 |
0,714286 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
|
x |
3,36 |
3,68 |
3,75 |
3,87 |
3,94 |
4 |
4,01 |
4,07 |
|
F*(x) |
0,734694 |
0,755102 |
0,77551 |
0,795918 |
0,816327 |
0,836735 |
0,857143 |
0,877551 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
|
|
|
x |
4,42 |
5,71 |
6,15 |
6,64 |
9,56 |
9,62 |
|
|
|
F*(x) |
0,897959 |
0,918367 |
0,938776 |
0,959184 |
0,979592 |
1 |
|
|
m – номер числа в вариационном ряду.
График эмпирической функции, совмещённый с графиком гипотетической функции, представлен в конце задания на миллиметровой бумаге.
Определим количество непересекающихся и примыкающих друг к другу интервалов:
Построим гистограмму равноинтервальным методом. Определим длину интервала:
|
i |
Ai |
Bi |
hi |
vi |
Pi* |
fi* |
|
1 |
0,02 |
1,39 |
1,371429 |
24 |
0,489796 |
0,357143 |
|
2 |
1,39 |
2,76 |
1,371429 |
8 |
0,163265 |
0,119048 |
|
3 |
2,76 |
4,13 |
1,371429 |
11 |
0,22449 |
0,16369 |
|
4 |
4,13 |
5,51 |
1,371429 |
1 |
0,020408 |
0,014881 |
|
5 |
5,51 |
6,88 |
1,371429 |
3 |
0,061224 |
0,044643 |
|
6 |
6,88 |
8,25 |
1,371429 |
0 |
0 |
0 |
|
7 |
8,25 |
9,62 |
1,371429 |
2 |
0,040816 |
0,029762 |
Построим гистограмму равновероятностным методом.
|
i |
Ai |
Bi |
hi |
vi |
Pi* |
fi* |
|
1 |
0,02 |
0,205 |
0,185 |
7 |
0,142857 |
0,772201 |
|
2 |
0,205 |
0,56 |
0,355 |
7 |
0,142857 |
0,402414 |
|
3 |
0,56 |
1,215 |
0,655 |
7 |
0,142857 |
0,218103 |
|
4 |
1,215 |
1,88 |
0,665 |
7 |
0,142857 |
0,214823 |
|
5 |
1,88 |
3,305 |
1,425 |
7 |
0,142857 |
0,100251 |
|
6 |
3,305 |
4,04 |
0,735 |
7 |
0,142857 |
0,194363 |
|
7 |
4,04 |
9,62 |
5,58 |
7 |
0,142857 |
0,025602 |
Вычислим точечные оценки числовых характеристик.
Состоятельная оценка математического ожидания:
Несмещенная состоятельная оценка дисперсии:
Несмещенная состоятельная оценка среднеквадратического отклонения:
Вычислим интервальные оценки математического ожидания и дисперсии с надежностью =0.95.
Доверительный интервал для математического ожидания.
Согласно центральной предельной теореме при достаточно большом n закон распределения можно считать нормальным, поэтому воспользуемся следующей формулой для случайной величины X с неизвестным законом распределения:
где z=arg(/2)=arg(0.475)=1.96 - значение аргумента функции Лапласа, тогда интервал равен:
Доверительный интервал для дисперсии:
Выдвинем двухальтернативную гипотезу о законе распределения случайной величины:
H0 – величина X распределена по экспоненциальному закону.
H1 – величина X не распределена по экспоненциальному закону.
Определим оценки неизвестных параметров гипотетического закона распределения:
Проверим гипотезу с помощью критерия 2. Вычислим значения критерия 2 на основе равноинтервального статистического ряда. Теоретические вероятности попадания случайной величины вычислим по формуле:
Данные для расчета теоретических вероятностей представлены в таблице:
|
i |
Ai |
Bi |
F0(Ai) |
F0(Bi) |
pj |
pj* |
((pj*-pj)^2)/pj |
|
1 |
0,02 |
1,39 |
0 |
0,458975 |
0,458975 |
0,489796 |
0,002069691 |
|
2 |
1,39 |
2,76 |
0,458975 |
0,704696 |
0,245721 |
0,163265 |
0,02766935 |
|
3 |
2,76 |
4,13 |
0,704696 |
0,838816 |
0,13412 |
0,22449 |
0,060890548 |
|
4 |
4,13 |
5,51 |
0,838816 |
0,912022 |
0,073206 |
0,020408 |
0,038078965 |
|
5 |
5,51 |
6,88 |
0,912022 |
0,95198 |
0,039958 |
0,061224 |
0,011319122 |
|
6 |
6,88 |
8,25 |
0,95198 |
0,973789 |
0,02181 |
0 |
0,021809746 |
|
7 |
8,25 |
9,62 |
0,973789 |
1 |
0,026211 |
0,040816 |
0,008138892 |
|
|
|
|
|
Сумма: |
1 |
1 |
0,169976315 |