4.9 Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса)

Точность интерполяционной квадратурной формулы (4.10) можно существенно увеличить путем рационального выбора узлов . Задача получения более точной квадратурной формулы формулируется следующим образом: построить квадратурную формулу

, (4.13)

которая при заданном была бы точной для полиномов возможно большей степени. Построение такой формулы заключается в надлежащем выборе коэффициентови узлов.

Для решения задачи потребуем, чтобы формула (4.13) была точна для любого полинома степени . Это эквивалентно требованию, чтобы формула была точна для однородных полиномов,. Отсюда получаем условия

, , (4.14)

которые представляют собой систему нелинейных уравнений относительнонеизвестных,. Для того, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, необходимо выполнение равенства, откуда получаем. Оказывается, что приэта система уравнений имеет единственное решение. Таким образом, существует квадратурная формула (4.13), точная для полиномов степени. Степень точности этой формулы более чем в 2 раза выше степени точности интерполяционной квадратурной формулы. Для получения этой формулы необходимо определить ее параметры,путем решения системы нелинейных уравнений (4.14) при. Однако существует другой путь определения этих параметров, который содержится в следующей теореме.

Теорема. Квадратурная формула (4.13) точна для любого полинома степени тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1. формула является формулой интерполяционного типа, т.е. ее коэффициенты определяются выражением (4.11);

2. полином в (4.11) ортогонален с весомлюбому многочленустепенименьше:

, ,

что равносильно требованию

, . (4.15)

Теорему принимаем без доказательства.

Замечание 1. Полином , удовлетворяющий условиям (4.15), называется ортогональных полиномом нас весом.

Замечание 2. Поскольку полином имеет вид, то ясно, что точкиявляются корнями этого ортогонального полинома.

Таким образом, для любых существует, притом единственная, квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точностивида (4.13). Узлы этой формулы совпадают с корнями ортогонального нас весомполинома степени, а коэффициенты определяются формулой (4.11). Интерполяционная квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности называется также квадратурной формулой Гаусса–Кристоффеля или квадратурной формулой Гаусса. Узлыи соответствующие им весаквадратурной формулы Гаусса рассчитываются заранее для различных весовых функцийи сводятся в таблицы [8,9]. В следующих разделах приведены примеры квадратурных формул Гаусса.

4.9.1 Квадратурная формула Гаусса–Лежандра

Квадратурная формула Гаусса–Лежандра используется для вычисления интеграла с единичной весовой функцией на конечном отрезке, т.е. интеграла вида

.

Этот интеграл линейной заменой переменных

приводится к виду

.

На отрезке ортогональны с весомполиномы Лежандра

.

Первые четыре полинома Лежандра имеют вид

, ,

, .

Узлы квадратурной формулы в этом случае выбираются равными корням полинома Лежандра. Квадратурная формула имеет вид

.

В таблице 4.1 в качестве примера приведены узлы и коэффициенты для этой формулы при использовании от одного до четырех узлов.

Таблица 4.1 – Узлы и коэффициенты квадратурной формулы Гаусса–Лежандра

Число узлов	Значения узлов	Значения весовых коэффициентов
1
2
3
4