- •Вычислительные методы и компьютерная алгебра
- •Общие сведения Сведения об эумк
- •Методические рекомендации по изучению дисциплины
- •Рабочая учебная программа для специальности
- •Пояснительная записка
- •Содержание дисциплины
- •1. Название тем лекционных занятий, их содержание, объем в часах
- •2. Перечень тем лабораторных занятий, их наименование и объем в часах
- •3. Литература
- •3.1. Основная
- •3.2. Дополнительная
- •4. Перечень компьютерных программ, наглядных и других пособий, методических указаний и материалов к техническим средствам обучения
- •Протокол согласования учЕбной программы по изучаемой учебной дисциплине с другими дисциплинами специальности
- •Дополнения и изменения к учебной программе
- •Предисловие ко второму изданию
- •1 Математические модели. Численные методы. Погрешности вычислений
- •1.1 Математические модели и моделирование
- •1.2 Этапы численного решения задач на эвм
- •1.3 Виды погрешностей решения задач
- •1.4 Погрешности арифметических операций
- •1.5 Графы арифметических операций
- •1.6 Распространение погрешностей в вычислениях
- •2 Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1 Постановка задачи. Методы решения
- •2.2 Метод Гаусса
- •2.2.1 Описание метода Гаусса
- •2.2.2 Расчетные формулы метода Гаусса
- •2.2.3 Погрешность метода Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •2.3 Вычислительная сложность метода Гаусса
- •2.4 Обращение матрицы
- •2.5 Метод lu-разложения
- •2.6 Метод квадратного корня решения симметричных слау
- •2.7 Метод Гаусса–Зейделя
- •2.7.1 Расчетные формулы метода Гаусса–Зейделя
- •2.7.2 Сходимость метода Гаусса–Зейделя
- •2.7.3 Графическая иллюстрация метода Гаусса–Зейделя
- •3 Аппроксимация функций
- •3.1 Понятие аппроксимации функций
- •3.2 Постановка задачи интерполирования функций
- •3.3 Интерполяционный полином Лагранжа
- •3.4 Вычисление значений полиномов
- •3.5 Вычислительная сложность задачи интерполирования
- •3.6 Конечные и разделенные разности функции
- •3.7 Интерполяционный полином Ньютона
- •3.8 Погрешность интерполирования
- •3.9 Полиномы Чебышева 1-го рода
- •3.10 Наилучший выбор узлов интерполирования
- •4 Численное интегрирование
- •4.1 Постановка задачи численного интегрирования
- •4.2 Метод прямоугольников
- •4.3 Погрешность метода прямоугольников
- •4.4 Метод трапеций
- •4.5 Погрешность метода трапеций
- •4.6 Метод Симпсона
- •4.7 Погрешность метода Симпсона
- •4.8 Интерполяционные квадратурные формулы
- •4.9 Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса)
- •4.9.1 Квадратурная формула Гаусса–Лежандра
- •4.9.2 Квадратурная формула Гаусса–Лагерра
- •4.9.3 Квадратурная формула Гаусса–Эрмита
- •5 Решение нелинейных уравнений
- •5.1 Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений
- •5.2 Метод деления отрезка пополам
- •5.3 Метод хорд
- •5.4 Метод простой итерации
- •5.5 Метод Ньютона
- •5.6 Метод секущих
- •6 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.1 Постановка задачи
- •6.2 Метод рядов Тейлора
- •6.3 Метод Эйлера
- •6.4 Метод Рунге–Кутта 2-го порядка
- •6.5 Метод Рунге–Кутта 4-го порядка
- •7 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.1 Постановка задачи
- •7.2 Приведение дифференциального уравнения -го порядка к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •7.3 Метод Эйлера
- •8.2 Выполнение символьных операций в Matlab
- •8.3 Создание символьных переменных
- •8.4 Создание группы символьных переменных
- •8.5 Создание списка символьных переменных
- •8.6 Вывод символьного выражения
- •8.7 Упрощение выражений
- •8.8 Вычисление производных
- •8.9 Вычисление интегралов
- •8.10 Вычисление сумм рядов
- •8.11 Вычисление пределов
- •8.12 Разложение функции в ряд Тейлора
- •8.13 Вычисление определителя матрицы, обращение матрицы
- •9 Дополнение
- •9.1 Вычисление корней полиномов
- •9.2 Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона
- •9.3 Решение систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей (метод прогонки)
- •9.4 Интерполирование функций сплайнами
- •Практический раздел Указания к выбору варианта
- •Лабораторная работа № 1. Работа в системе Matlab
- •1.1. Цель работы
- •1.2. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа № 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Цель работы
- •2.2. Теоретические положения
- •2.3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа № 3. Аппроксимация функций
- •3.1. Цель работы
- •3.2. Теоретические положения
- •3.3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа № 4. Численное интегрирование
- •4.1. Цель работы
- •4.2. Теоретические положения
- •4.3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа № 5. Решение нелинейных уравнений
- •5.1. Цель работы
- •5.2. Теоретические положения
- •5.3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.1. Цель работы
- •6.2. Теоретические положения
- •6.3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа № 7. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.1. Цель работы
- •7.2. Теоретические положения
- •7.3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа № 8. Выполнение символьных операций
- •8.1. Цель работы
- •8.2. Теоретические сведения
- •8.3. Порядок выполнения работы
- •Литература
- •Литература
3.8 Погрешность интерполирования
Абсолютная погрешность интерполяционного полинома Лагранжа – это разность , где – интерполируемая функция,– интерполяционный полином Лагранжа. Поскольку абсолютная погрешность интерполирования равна нулю в узлах интерполирования, то ее можно представить в виде
, (3.25)
где – полином (3.5). Будем считать, что на отрезке интерполированияфункцияимеет производные до-го порядка включительно. Введем вспомогательную функцию
. (3.26)
Функция , очевидно, имееткорень в точках. Подберем коэффициентв выражении (3.26) так, чтобыимела-й корень в некоторой точкеотрезка, не совпадающей с узлами интерполирования. Для этого достаточно положить
.
Так как в предполагаемой точке , то этот коэффициент вполне определяется последним уравнением. При таком значении коэффициентафункцияимееткорня на отрезкеи обращается в нуль на концах каждого из следующихотрезков:,,…,,,…,. Применяя к каждому из этих отрезков теорему Ролля1, убеждаемся, что производнаяне менеераза обращается в нуль на. Применяя теорему Ролля к производной, убеждаемся, что вторая производнаяне менеераз обращается в нуль на. Продолжая эти рассуждения, приходим к заключению, что производнаяхотя бы 1 раз обращается в нуль на. Это значит, что существует точка, для которой
.
Из формулы (3.26) получаем
.
Так как производные
, ,
то
,
а в точке
Отсюда
,
и из выражения (3.25) получим следующую формулу для абсолютной погрешности интерполяционного полинома Лагранжа:
. (3.27)
Из последнего выражения получаем оценку абсолютной погрешности интерполирования в виде
, (3.28)
где – максимальное по модулю значение-й производной функциина отрезке интерполирования.
3.9 Полиномы Чебышева 1-го рода
Полиномы Чебышева 1-го рода встречаются в задаче наилучшего выбора узлов интерполирования, рассмотренной далее в п. 3.10.
Рассмотрим следующую задачу: среди всех полиномов степенисо старшим коэффициентом, равным единице, найти такой, для которого величина
является минимальной. Такой полином называется полиномом, наименее уклоняющимся от нуля на отрезке . Поставленная задача была решена русским математиком П. Л. Чебышевым. Найденный Чебышевым полином, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке, получил название полинома Чебышева 1-го рода.
Полиномом Чебышева 1-го рода степени называется функция вида
, ,.
Обозначив , получим
,
,
,
,
.
Так как по формуле суммы косинусов
,
то справедливо соотношение . Отсюда получаем рекуррентную формулу для полиномов Чебышева:
. (3.29)
По этой формуле, в частности, имеем:
,
,
,
,
,
.
Из рекуррентной формулы (3.29) следует, что коэффициент при старшей степени полинома равен. Нормированным полиномом Чебышева 1-го рода степениназывается полином
. (3.30)
Коэффициент при старшей степени нормированного полинома Чебышева равен единице. Если,, – корни полинома, то
, . (3.31)
Из определения полинома ясно, что. Тогда
, .
Можно доказать, что это максимальное значение на отрезке достигается, т.е.
. (3.32)
Полиномы Чебышева 1-го рода ортогональны на отрезке по весу
,
т.е.
Они также являются ортогональными на системе точек , т.е.
, .