![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Вычислительные методы и компьютерная алгебра
- •Общие сведения Сведения об эумк
- •Методические рекомендации по изучению дисциплины
- •Рабочая учебная программа для специальности
- •Пояснительная записка
- •Содержание дисциплины
- •1. Название тем лекционных занятий, их содержание, объем в часах
- •2. Перечень тем лабораторных занятий, их наименование и объем в часах
- •3. Литература
- •3.1. Основная
- •3.2. Дополнительная
- •4. Перечень компьютерных программ, наглядных и других пособий, методических указаний и материалов к техническим средствам обучения
- •Протокол согласования учЕбной программы по изучаемой учебной дисциплине с другими дисциплинами специальности
- •Дополнения и изменения к учебной программе
- •Предисловие ко второму изданию
- •1 Математические модели. Численные методы. Погрешности вычислений
- •1.1 Математические модели и моделирование
- •1.2 Этапы численного решения задач на эвм
- •1.3 Виды погрешностей решения задач
- •1.4 Погрешности арифметических операций
- •1.5 Графы арифметических операций
- •1.6 Распространение погрешностей в вычислениях
- •2 Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1 Постановка задачи. Методы решения
- •2.2 Метод Гаусса
- •2.2.1 Описание метода Гаусса
- •2.2.2 Расчетные формулы метода Гаусса
- •2.2.3 Погрешность метода Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •2.3 Вычислительная сложность метода Гаусса
- •2.4 Обращение матрицы
- •2.5 Метод lu-разложения
- •2.6 Метод квадратного корня решения симметричных слау
- •2.7 Метод Гаусса–Зейделя
- •2.7.1 Расчетные формулы метода Гаусса–Зейделя
- •2.7.2 Сходимость метода Гаусса–Зейделя
- •2.7.3 Графическая иллюстрация метода Гаусса–Зейделя
- •3 Аппроксимация функций
- •3.1 Понятие аппроксимации функций
- •3.2 Постановка задачи интерполирования функций
- •3.3 Интерполяционный полином Лагранжа
- •3.4 Вычисление значений полиномов
- •3.5 Вычислительная сложность задачи интерполирования
- •3.6 Конечные и разделенные разности функции
- •3.7 Интерполяционный полином Ньютона
- •3.8 Погрешность интерполирования
- •3.9 Полиномы Чебышева 1-го рода
- •3.10 Наилучший выбор узлов интерполирования
- •4 Численное интегрирование
- •4.1 Постановка задачи численного интегрирования
- •4.2 Метод прямоугольников
- •4.3 Погрешность метода прямоугольников
- •4.4 Метод трапеций
- •4.5 Погрешность метода трапеций
- •4.6 Метод Симпсона
- •4.7 Погрешность метода Симпсона
- •4.8 Интерполяционные квадратурные формулы
- •4.9 Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса)
- •4.9.1 Квадратурная формула Гаусса–Лежандра
- •4.9.2 Квадратурная формула Гаусса–Лагерра
- •4.9.3 Квадратурная формула Гаусса–Эрмита
- •5 Решение нелинейных уравнений
- •5.1 Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений
- •5.2 Метод деления отрезка пополам
- •5.3 Метод хорд
- •5.4 Метод простой итерации
- •5.5 Метод Ньютона
- •5.6 Метод секущих
- •6 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.1 Постановка задачи
- •6.2 Метод рядов Тейлора
- •6.3 Метод Эйлера
- •6.4 Метод Рунге–Кутта 2-го порядка
- •6.5 Метод Рунге–Кутта 4-го порядка
- •7 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.1 Постановка задачи
- •7.2 Приведение дифференциального уравнения -го порядка к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка
- •7.3 Метод Эйлера
- •8.2 Выполнение символьных операций в Matlab
- •8.3 Создание символьных переменных
- •8.4 Создание группы символьных переменных
- •8.5 Создание списка символьных переменных
- •8.6 Вывод символьного выражения
- •8.7 Упрощение выражений
- •8.8 Вычисление производных
- •8.9 Вычисление интегралов
- •8.10 Вычисление сумм рядов
- •8.11 Вычисление пределов
- •8.12 Разложение функции в ряд Тейлора
- •8.13 Вычисление определителя матрицы, обращение матрицы
- •9 Дополнение
- •9.1 Вычисление корней полиномов
- •9.2 Решение систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона
- •9.3 Решение систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей (метод прогонки)
- •9.4 Интерполирование функций сплайнами
- •Практический раздел Указания к выбору варианта
- •Лабораторная работа № 1. Работа в системе Matlab
- •1.1. Цель работы
- •1.2. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа № 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Цель работы
- •2.2. Теоретические положения
- •2.3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа № 3. Аппроксимация функций
- •3.1. Цель работы
- •3.2. Теоретические положения
- •3.3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа № 4. Численное интегрирование
- •4.1. Цель работы
- •4.2. Теоретические положения
- •4.3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа № 5. Решение нелинейных уравнений
- •5.1. Цель работы
- •5.2. Теоретические положения
- •5.3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.1. Цель работы
- •6.2. Теоретические положения
- •6.3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа № 7. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений
- •7.1. Цель работы
- •7.2. Теоретические положения
- •7.3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа № 8. Выполнение символьных операций
- •8.1. Цель работы
- •8.2. Теоретические сведения
- •8.3. Порядок выполнения работы
- •Литература
- •Литература
4.6 Метод Симпсона
В основе метода Симпсона лежит следующая лемма.
Лемма.
Если
или
,
то
.
(4.5)
Выполним
доказательство лишь для квадратичной
параболы. Подставим функцию
под интеграл в (4.5) и вычислим его. Получим
.
(4.6)
С другой стороны,
,
,
.
Сложив три последних выражения, мы получим выражение (4.6), что и доказывает лемму.
Перейдем
к изложению метода Симпсона. Разделим
точки
,
разбивающие отрезок интегрирования
на частичные отрезки с равномерным
шагом
,
на тройки точек
,
,…,
.
Для такого разбиения число отрезков
необходимо выбрать четным. На отрезке,
определяемом
-й
тройкой точек
,
,
заменим подынтегральную функцию
параболой второго порядка
,
проходящей через точки
,
,
,
и заменим точное значение интеграла на
этом отрезке интегралом
от полученной параболы. На основании
леммы можно записать, что
.
Приближенное
значение интеграла на всем отрезке
интегрирования
получим как сумму этих частичных
интегралов:
.
(4.7)
Мы
видим, что в методе Симпсона крайние
значения функции
суммируются с весом 1, значения
с нечетным номером
– с весом
и значения
с четным номером
– с весом
.
Суммы значений функции с различными
весами удобно вычислить отдельно, а
затем их сложить, умножить на шаг
и разделить на 3.
4.7 Погрешность метода Симпсона
Абсолютная погрешность формулы Симпсона (4.7) определяется выражением
.
Она
складывается из частичных погрешностей
,
полученных на каждой тройке точек,
используемых для аппроксимации:
.
Частичная погрешность здесь определяется выражением
.
Оценка общей погрешности имеет вид
.
(4.8)
Получим оценки сначала для частичной, а затем и для полной погрешностей. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию
,
.
При
и
эта функция совпадает с
.
Кроме того,
.
Найдем производные функции
до 3-го порядка включительно. Поскольку
,
то, используя правила дифференцирования интеграла по нижнему и верхнему пределам, получим
,
а также
,
.
Выполняя последовательное дифференцирование, будем иметь
,
,
,
.
Применяя
к
теорему Лагранжа, т.е. используя равенство
,
,
получим
.
Обозначая
максимальное по модулю значение четвертой
производной подынтегральной функции
на отрезке интегрирования
,
,
получим
оценку для 3-й производной функции
:
.
Поскольку
,
то
.
Аналогично получаем
,
,
,
.
Поскольку
,
то для частичной погрешности
получаем оценку
.
Выражение
(4.8) имеет
слагаемых, следовательно, абсолютная
погрешность формулы Симпсона будет
оцениваться выражением
.
Из
последней формулы видно, что абсолютная
погрешность метода Симпсона имеет тот
же порядок, что и
.
Формула Симпсона точна для полиномов
третьей степени, поскольку для полинома
3-й степени
.
Это является следствием того, что лемма
(4.5) справедлива также для полинома 3-й
степени.
4.8 Интерполяционные квадратурные формулы
Рассмотрим вычисление следующего интеграла:
,
(4.9)
где
– некоторая достаточно гладкая функция,
которую назовем подынтегральной,
– некоторая неотрицательная интегрируемая
функция, которая называется весовой.
Этот
интеграл является более общим по
сравнению с рассматриваемым ранее
интегралом (4.1). Интеграл вида (4.1) получим
из (4.9) при весовой функции
.
Для
вычисления интеграла (4.9) применим
следующий подход: выберем на отрезке
точек
.
В отличие от предыдущих методов, не
будем вычислять интегралы на частичных
отрезках, а заменим подынтегральную
функцию на всем отрезке
интерполяционным полиномом (3.7),
построенным
по узлам
.
В результате получим следующую
квадратурную формулу:
,
(4.10)
где
,
(4.11)
,
и
– полином влияния
-го
узла (3.6).
Формула (4.10), в которой коэффициенты определяются по выражению (4.11), называется интерполяционной квадратурной формулой.
Рассмотрим
вопрос погрешности интерполяционной
квадратурной формулы. Заменяя
подынтегральную функцию
полиномом Лагранжа
,
получаем абсолютную грешность
(3.27). Представим функцию
виде
и найдем интеграл (4.9)
.
Ясно, что второе слагаемое правой части этого выражения есть абсолютная погрешность интерполяционной квадратурной формулы:
.
Подставляя
сюда выражение (3.27) для погрешности
,
получим следующую формулу абсолютной
погрешности интерполяционной квадратурной
формулы (4.10):
.
Если обозначить
,
то для оценки абсолютной погрешности интерполяционной квадратурной формулы (4.10) получим выражение
.
Из
полученных выражений для погрешности
видно, что интерполяционная квадратурная
формула (4.10) точна для полиномов
-й
степени, поскольку в этом случае
.
О такой квадратурной формуле говорят,
что ее степень точности равна
.
Таким
образом, квадратурная формула
интерполяционного типа (4.10), построенная
по
узлам
,
является точной для полиномов
-й
степени. Справедливо также и обратное
утверждение, которое сформулируем в
виде теоремы.
Теорема. Если квадратурная формула
(4.12)
точна
для полинома степени
,
то она является интерполяционной.
Для
доказательства достаточно показать,
что если
– полином степени
,
то коэффициенты
определяются формулой (4.11), т.е.
.
Выберем в качестве такого полинома
полином влияния
-го
узла
(3.6). Тогда по условию теоремы квадратурная
формула (4.12) для него будет точной, т.е.
,
.
Полином влияния обладает свойством
в связи с чем предыдущий интеграл будет равен
.
Левая
часть последнего равенства есть
,
т.е.
,
,
и теорема доказана.