24Расчет электрического поля длинной прямой равномерно заряженной нити на основе поля точечного заряда.

Поле равномерно заряженной нити (цилиндра).

В данном случае электрическое поле обладает аксиальной симметрией – не зависит от азимутального угла φ и координаты z и направлено вдоль радиус-вектора Поэтому для потока вектора через выбранную цилиндрическую поверхность с осью, совпадающей с заряженной нитью, имеем: , где - элемент цилиндрической поверхности; l – длина произвольного участка нити.

С другой стороны, по теореме Гаусса этот поток равен: причем ,- линейная плотность заряда нити.

Поле равномерно заряженной нити.

Отсюда находим: .

Искомая напряженность электрического поля равномерно заряженной нити:

25Поток вектора напряженности электростатического поля. Теорема Гаусса. Интегральная и дифференциальная формы.

Поток вектора напряженности электрического поля. Пусть небольшую площадку S (рис.1.2) пересекают силовые линии электрического поля, направление которых составляет с нормалью n к этой площадке угол . Полагая, что вектор напряженности Е не меняется в пределах площадки S, определим поток вектора напряженности через площадку S как

_E = E S cos .       (1.3)

Поскольку густота силовых линий равна численному значению напряжённости E, то количество силовых линий, пересекающих площадку S, будет численно равно значению потока _E через поверхность S. Представим правую часть выражения (1.3) как скалярное произведение векторов E и S = n S, где n – единичный вектор нормали к поверхности S. Для элементарной площадки dS выражение (1.3) принимает вид

d_E = E dS

Через всю площадку S поток вектора напряженности вычисляется как интеграл по поверхности

Теорема Гаусса. Рассмотрим точечный положительный электрический заряд q, находящийся внутри произвольной замкнутой поверхности S (рис. 1.3). Поток вектора индукции через элемент поверхности dS равен    (1.4)

Составляющую dS_D = dS cos элемента поверхности dS в направлении вектора индукции D рассматриваем как элемент сферической поверхности радиусаr, в центре которой расположен заряд q.

Учитывая, что dS_D / r² равен элементарному телесному углу d, под которым из точки нахождения заряда q виден элемент поверхности dS, преобразуем выражение (1.4) к виду d_D = qd / 4, откуда после интегрирования по всему окружающему заряд пространству, т. е. в пределах телесного угла от 0 до 4, получим

_D = q.

Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен заряду, заключенному внутри этой поверхности.

Если произвольная замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q (рис. 1.4), то, построив коническую поверхность с вершиной в точке нахождения заряда, разделим поверхность S на две части: S₁ и S₂. Поток вектора Dчерез поверхность S найдем как алгебраическую сумму потоков через поверхности S₁ и S₂:

.

Обе поверхности из точки нахождения заряда q видны под одним телесным углом. Поэтому потоки равны

.

Поскольку при вычислении потока через замкнутую поверхность используетсявнешняя нормаль к поверхности, легко видеть, что поток Ф_1D < 0, тогда как поток Ф_2D > 0. Суммарный поток Ф_D = 0. Это означает, что поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы не зависит от зарядов, расположенных вне этой поверхности.

Если электрическое поле создаётся системой точечных зарядов q₁, q₂,, q_n, которая охватывается замкнутой поверхностью S, то, в соответствии с принципом суперпозиции, поток вектора индукции через эту поверхность определяется как сумма потоков, создаваемых каждым из зарядов. Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью:

     (1.5)

Следует отметить, что заряды q_i не обязательно должны быть точечными, необходимое условие - заряженная область должна полностью охватываться поверхностью. Если в пространстве, ограниченном замкнутой поверхностью S, электрический заряд распределен непрерывно, то следует считать, что каждый элементарный объём dV имеет заряд . В этом случае в правой части выражения (1.5) алгебраическое суммирование зарядов заменяется интегрированием по объёму, заключённому внутри замкнутой поверхности S:

    (1.6)

Выражение (1.6) является наиболее общей формулировкой теоремы Гаусса:поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен суммарному заряду в объеме, охваченном этой поверхностью, и не зависит от зарядов, расположенных вне рассматриваемой поверхности. Теорему Гаусса можно записать и для потока вектора напряженности электрического поля:

 _.

Из теоремы Гаусса следует важное свойство электрического поля: силовые линии начинаются или заканчиваются только на электрических зарядах или уходят в бесконечность. Еще раз подчеркнем, что, несмотря на то, что напряжённость электрического поля E и электрическая индукция D зависят от расположения в пространстве всех зарядов, потоки этих векторов через произвольную замкнутую поверхность S определяются только теми зарядами, которые расположены внутри поверхности S.

Дифференциальная форма теоремы Гаусса. Отметим, что интегральная форма теоремы Гаусса характеризует соотношения между источниками электрического поля (зарядами) и характеристиками электрического поля (напряженностью или индукцией) в объеме V произвольной, но достаточной для формирования интегральных соотношений, величины. Производя деление объема Vна малые объемы V_i , получим выражение

справедливое как в целом, так и для каждого слагаемого. Преобразуем полученное выражение следующим образом:

     (1.7)

и рассмотрим предел, к которому стремится выражение в правой части равенства, заключенное в фигурных скобках, при неограниченном делении объема V. В математике этот предел называют дивергенцией вектора (в данном случае вектора электрической индукции D):

Дивергенция вектора D в декартовых координатах:

Таким образом выражение (1.7) преобразуется к виду:

 _.

Учитывая, что при неограниченном делении сумма в левой части последнего выражения переходит в объемный интеграл, получим

Полученное соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если значения подынтегральных функций в каждой точке пространства одинаковы. Следовательно, дивергенция вектора D связана с плотностью заряда в той же точке равенством

или для вектора напряженности электростатического поля

.

Эти равенства выражают теорему Гаусса в дифференциальной форме.

Отметим, что в процессе перехода к дифференциальной форме теоремы Гаусса получается соотношение, которое имеет общий характер:

_.

Выражение называется формулой Гаусса - Остроградского и связывает интеграл по объему от дивергенции вектора с потоком этого вектора сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую объем.