12Момент импульса и момент силы относительно точки и оси. Уравнение моментов.

Момента импульса механической системы относительно некоторой точки О как векторную сумму моментов импульса ее отдельных частиц: L=(сумм)i Li, где все векторы определены относительно одной и той же точки О заданной системы отсчета. Момент импульса системы – величина аддитивная: момент

импульса системы равен векторной сумме моментов импульсов ее отдельных частей независимо от того, взаимодействуют ли они между собой. Момент импульса системы может изменяться только под

действием суммарного момента всех внешних сил.

Моментом импульса механической системы относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса системы относительно любой точки, выбранной на данной оси.

Моментом силы F относительно некоторой точки О называется физическая величина, численно равная векторному произведению радиус-вектора r , проведенного из точки О в точку приложения силы А, на силу F. M=[r,F]. Вектор M направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы r и F.

Модуль момента силы равен M = lF, где l = rsina – плечо вектора силы F относительно точки О.

Уравнение моментов. Найдем скорость изменения момента импульса тела.

dL/dt = ([dr_i/dt·p_i] + [r_i·dp_i/dt]).           (7.4)

Первое слагаемое в выражении (7.4) равняется нулю, поскольку производная от радиуса по времени, являющаяся скоростью i^ой части тела, параллельна ее импульсу. Второе слагаемое преобразуем, воспользовавшись 2^ым законом Ньютона:

dp_i/dt = F_i + F_ik*, где F_i и F_ik* - соответственно сумма внешних и внутренних силы, действующие на i^ый элемент тела.

Подставив это выражение в (7.4), получим, что скорость изменения момента импульса равняется сумме моментов внешних M_i и внутренних M_ik* сил. Причем, последний из них равен нулю. Таким образом,

dL/dt = (M_i + M_i*) = M_i = M.     (7.5)

Следовательно, скорость изменения момента импульса вращающегося тела равняется суммарному моменту внешних сил, действующих на него.

Уравнение (7.5) называется уравнением вращательного движения в форме моментов (уравнением моментов).

13 Момент инерции твердого тела.

14Уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим произвольное тело, ось вращения которого закреплена в неподвижных подшипниках. Разобьём тело на элементарные массы , модуль момента импульса которых. Тогда момент импульса точки относительно оси OZ. Момент импульса всего тела относительно осиOZ. Момент инерции твёрдого тела - сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояния до произвольно выбранной оси. Момент инерции зависит от выбора оси и распределения массы тела. Воспользуемся уравнением моментов . Спроецируем это уравнение на ось OZ и подставим в полученную формулу для : - основное уравнение динамики вращательного движения, – угловое ускорение тела.является аналогом и характеризует инертность тела по отношению к вращению. Если суммарный момент внешних сил = 0, а в пределах тела происходит перемещение масс, то проекция момента импульса сохраняется . если распределение массы несимметрично относительно оси вращения, то момент импульса тела будет образовывать некоторый угол с. при вращении тела вращается, образуя некоторый конус. Если распределение масс симметрично, ,вместо.