- •Лекции по дисциплине курса «Теория вероятностей и математическая статистика»
- •Часть II
- •Введение
- •1. Закон больших чисел
- •1.2. Неравенства чебышева
- •1.3. Сходимость по вероятности
- •1.4.Теоремы чебышева
- •1.4.1.Первая теорема Чебышева.
- •1.4.2. Вторая теорема Чебышева:
- •1.5. Теорема бернулли
- •1.6. Центральная предельная теорема
- •1.7. Предельные теоремы
- •1.7.1. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
- •1.7.2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •2. Базовые понятия математической статистики
- •2.1. Эмпирическая функция распределения
- •2.2. Гистограмма
- •2.3. Оценки параметров распределения и их свойства
- •2.4. Оценки моментов и квантилей распределения
- •2.5. Точечная оценка параметров распределения
- •2.5.1. Сущность задачи точечного оценивания параметров
- •2.5.2. Метод максимального правдоподобия
- •2.5.3. Метод моментов
- •2.5.4. Метод квантилей
- •3. Проверка статистических гипотез
- •3.1. Сущность задачи проверки статистических гипотез
- •3.2. Типовые распределения
- •3.2.1. Нормальное распределение
- •3.2.2. Распределение χ2 (хи-квадрат)
- •3.2.3. Распределение Стьюдента
- •3.3.4. Распределение Фишера
- •3.3. Проверка гипотез о законе распределения
- •3.3.1. Критерий хи-квадрат к. Пирсона
- •3.3.2. Критерий а.Н. Колмогорова
- •3.3.3. Критерий р. Мизеса
- •4. Интервальная оценка параметров распределения
- •4.1. Сущность задачи интервального оценивания параметров
- •4.2. Общий метод построения доверительных интервалов
- •4.3. Доверительный интервал для математического ожидания
- •4.4. Доверительный интервал для дисперсии
- •4.5. Доверительный интервал для вероятности
- •5. Аппроксимация закона распределения экспериментальных данных
- •5.1. Задачи аппроксимации
- •5.2. Аппроксимация на основе типовых распределений
- •6. Обработка однотипных выборок
- •6.1. Однотипные выборки эд и задачи их обработки
- •6.2. Объединение выборок
- •6.2.1. Объединение однородных выборок
- •6.2.2. Объединение неоднородных выборок
- •6.3. Однофакторный дисперсионный анализ
- •6.3.1. Задачи дисперсионного анализа
- •6.3.2. Проверка однородности совокупности дисперсий
- •6.3.3. Сравнение факторной и остаточной дисперсий
- •7. Корреляционный и регрессионный анализ
- •7.1. Матрица данных
- •7.2. Корреляционный анализ
- •7.3. Регрессионный анализ
- •7.3.1. Постановка задачи
- •7.3.2. Выбор вида уравнения регрессии
- •7.3.4. Вычисление коэффициентов уравнения регрессии
4. Интервальная оценка параметров распределения
4.1. Сущность задачи интервального оценивания параметров
Интервальный метод оценивания параметров распределения случайных величин заключается в определении интервала (а не единичного значения), в котором с заданной степенью достоверности будет заключено значение оцениваемого параметра. Интервальная оценка характеризуется двумя числами – концами интервала, внутри которого предположительно находится истинное значение параметра. Иначе говоря, вместо отдельной точки для оцениваемого параметра можно установить интервал значений, одна из точек которого является своего рода "лучшей" оценкой. Интервальные оценки являются более полными и надежными по сравнению с точечными, они применяются как для больших, так и для малых выборок. Совокупность методов определения промежутка, в котором лежит значение параметра Т, получила название методов интервального оценивания. К их числу принадлежит метод Неймана.
Постановка задачи интервальной оценки параметров заключается в следующем.
Имеется: выборка наблюдений (x1, x2, …, xn) за случайной величиной Х. Объем выборки n фиксирован.
Необходимо с доверительной вероятностью g=1–a определить интервал
θ0 – θ1 (θ0 < θ1),
который накрывает истинное значение неизвестного скалярного параметра Θ (здесь, как и ранее, величина Θ является постоянной, поэтому некорректно говорить, что значение Θ попадает в заданный интервал).
Ограничения: выборка представительная, ее объем достаточен для оценки границ интервала.
Эта задача решается путем построения доверительного утверждения, которое состоит в том, что интервал от θ0 до θ1 накрывает истинное значение параметра Θ с доверительной вероятностью не менее g. Величины θ0 и θ1 называются нижней и верхней доверительными границами (НДГ и ВДГ соответственно). Доверительные границы интервала выбирают так, чтобы выполнялось условие P(θ0≤Θ*≤θ1) = g.
В инженерных задачах доверительную вероятность g назначают в пределах от 0,95 до 0,99. В доверительном утверждении считается, что статистики θ0 и θ1 являются случайными величинами и изменяются от выборки к выборке. Это означает, что доверительные границы определяются неоднозначно, существует бесконечное количество вариантов их установления.
На практике применяют два варианта задания доверительных границ:
устанавливают симметрично относительно оценки параметра, т.е.
θ0 = Θ* – εg, θ1 = Θ* + εg,
где εg выбирают так, чтобы выполнялось доверительное утверждение. Следовательно, величина абсолютной погрешности оценивания εg равна половине доверительного интервала;
устанавливают из условия равенства вероятностей выхода за верхнюю и нижнюю границу
Р(Θ > Θ* + ε1,g )=Р(Θ < Θ* – ε2,g )=a/2.
В общем случае величина ε1,g не равна ε2,g. Для симметричных распределений случайного параметра Θ* в целях минимизации величины интервала значения ε1,g и ε2,g выбирают одинаковыми, следовательно, в таких случаях оба варианта эквивалентны.
Нахождение доверительных интервалов требует знания вида и параметров закона распределения случайной величины Θ*. Для ряда практически важных случаев этот закон можно определить из теоретических соображений.