3.3.3. Критерий р. Мизеса

 

В качестве меры различия теоретической функции распределения F(x) и эмпирической F*_n(x) по критерию Мизеса (критерию w²) выступает средний квадрат отклонений по всем значениям аргумента x

. (3.12)

Статистика критерия

(3.13)

При неограниченном увеличении n существует предельное распределение статистики nw_n². Задав значение вероятности a можно определить критические значения nw_n²(a). Проверка гипотезы о законе распределения осуществляется обычным образом: если фактическое значение nw_n² окажется больше критического или равно ему, то согласно критерию Мизеса с уровнем значимости a гипотеза Но о том, что закон распределения генеральной совокупности соответствует F(x), должна быть отвергнута.

Пример 3.3. Проверить с помощью критерия Мизеса гипотезу о том, что ЭД, представленные вариационным рядом в табл. подчиняются нормальному распределению при уровне значимости a = 0,1.

Решение.Исходные данные и результаты вычислений представлены в табл. 3.1.

i	xi	Fn(xi)	F(xi)	Di	i	xi	Fn(xi)	F(xi)	Di
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22	25,79 25,98 25,98 26,12 26,13 26,49 26,52 26,60 26,66 26,69 26,74 26,85 26,90 26,91 26,96 27,02 27,11 27,19 27,21 27,28 27,30 27,38	0,011 0,034 0,057 0,080 0,102 0,125 0,148 0,171 0,193 0,216 0,237 0,261 0,284 0,307 0,330 0,352 0,375 0,398 0,421 0,443 0,466 0,489	0,036 0,055 0,055 0,073 0,075 0,144 0,151 0,170 0,188 0,196 0,211 0,246 0,263 0,267 0,284 0,305 0,337 0,371 0,378 0,406 0,412 0,447	0,618 0,429 0,003 0,047 0,726 0,378 0,009 0,000 0,025 0,409 0,742 0,231 0,439 1,572 2,071 2,243 1,467 0,717 1,790 1,391 2,866 1,755	23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44	27,40 27,49 27,64 27,66 27,71 27,78 27,89 27,89 28,01 28,10 28,11 28,37 28,38 28,50 28,63 28,67 28,90 28,99 28,99 29,03 29,12 29,28	0,511 0,534 0,557 0,580 0,602 0,625 0,648 0,671 0,693 0,716 0,739 0,761 0,784 0,807 0,830 0,852 0,875 0,898 0,921 0,943 0,966 0,989	0,456 0,492 0,555 0,561 0,583 0,610 0,656 0,656 0,701 0,731 0,735 0,817 0,819 0,851 0,879 0,888 0,928 0,939 0,940 0,944 0,954 0,968	3,103 1,765 0,003 0,332 0,374 0,216 0,063 0,213 0,067 0,238 0,013 3,090 1,230 1,908 2,461 1,271 2,791 1,737 0,381 0,001 0,149 0,432

В этой таблице:

 F_n(x_i)=(i–0,5)/44 – значение эмпирической функции распределения;

F(x_i) – значение теоретической функции распределения, соответствует значению функции нормального распределения в точке x_i;

D_i =1000[F_n(x_i) – F(x_i)]² . Здесь масштабный множитель 1000 введен для удобства отображения данных в таблице, при расчетах он не используется.

Критическое значение статистики критерия Мизеса при заданном уровне значимости равно 0,347, (таблица приведена в приложении в разделе «Практика»). Фактическое значение статистики

что меньше критического значения. Следовательно, гипотеза Н₀ не противоречит имеющимся данным.

Достоинством критерия Мизеса является быстрая сходимость к предельному закону, для этого достаточно не менее 40 наблюдений в области часто используемых на практике больших значений nw_n (а не несколько сот, как для критерия хи-квадрат).

_{Сопоставляя возможности различных критериев, необходимо отметить следующие особенности. Критерий Пирсона устойчив к отдельным случайным ошибкам в ЭД. Однако его применение требует группирования данных по интервалам, выбор которых относительно произволен и подвержен противоречивым рекомендациям. Критерий Колмогорова слабо чувствителен к виду закона распределения и подвержен влиянию помех в исходной выборке, но прост в применении. Критерий Мизеса имеет ряд общих свойств с критерием Колмогорова: оба основаны непосредственно на результатах наблюдения и не требуют построения статистического ряда, что повышает объективность выводов; оба не учитывают уменьшение числа степеней свободы при определении параметров распределения по выборке, а это ведет к риску принятия ошибочной гипотезы. Их предпочтительно применять в тех случаях, когда параметры закона распределения известны априори, например, при проверке датчиков случайных чисел.}

_{При проверке гипотез о законе распределения следует помнить, что слишком хорошее совпадение с выбранным законом распределения может быть обусловлено некачественным экспериментом («подчистка» ЭД) или предвзятой предварительной обработкой результатов (некоторые результаты отбрасываются или округляются).}

_{Выбор критерия проверки гипотезы относительно произволен. Разные критерии могут давать различные выводы о справедливости гипотезы, окончательное заключение в таком случае принимается на основе неформальных соображений. Точно также нет однозначных рекомендаций по выбору уровня значимости.}

_{Рассмотренный подход к проверке гипотез, основанный на применении сп}ециальных таблиц критических точек распределения, сложился в эпоху "ручной" обработки ЭД, когда наличие таких таблиц существенно снижало трудоемкость вычислений. В настоящее время математические пакеты включают процедуры вычисления стандартных функций распределений, что позволяет отказаться от использования таблиц, но может потребовать изменения правил проверки. Например, соблюдению гипотезы Н₀ соответствует такое значение функции распределения критерия, которое не превышает значение доверительной вероятности 1– a (оценка статистики критерия соответствует доверительному интервалу).