2.4.2. Уравнения с регулярными коэффициентами

При работе с языками часто удобно пользоваться уравнениями, коэффициентами и неизвестными которых служат множества. Такие уравнения будем называть уравнениями с регулярными коэффициентами

X = aX + b,

где aиb– регулярные выражения. Можно проверить прямой подстановкой, что решением этого уравнения будетa^*b:

aa^*b + b = (aa^* + e)b = a^*b,

т.е. получаем одно и то же множество. Таким же образом можно установить и решение системы уравнений.

Регулярные множества – множества, определенные регулярными выражениями. Регулярные множества являются языками, порождаемыми пра­во­ли­ней­нымиграмматиками.

Определение. Систему уравнений с регулярными коэффициентами назовемстандартной системойс множеством неизвестныхΔ = {X₁, X₂, …, X_n}, если она имеет вид:

X₁ = α₁₀ + α₁₁X₁ + α₁₂X₂ + … + α_1nX_n

X₂ = α₂₀ + α₂₁X₁ + α₂₂X₂ + … + α_2nX_n

………………………………………

X_n = α_n0 + α_n1X₁ + α_n2X₂ + … + α_nnX_n

где α_ij– регулярные выражения в алфавите, не пересекающемся сΔ. Коэффициентами уравнения являются выраженияα_ij.

Если α_ij = , то в уравнении дляX_iнет члена, содержащегоX_j. Аналогично, еслиα_ij = e, то в уравнении дляX_iчлен, содержащийX_j– это простоX_j. Иными словами,играет роль коэффициента 0, аe– роль коэффициента 1 в обычных системах линейных уравнений.

Алгоритм решения:

Вход. Стандартная системаQуравнений с регулярными коэффициентами в алфавитеΣи множеством неизвестныхΔ = {X₁, X₂, …, X_n}.

Выход. Решение системыQ.

Метод: Аналог метода решения системы линейных уравнений методом исключения Гаусса.

Шаг 1. Положить i = 1.

Шаг 2. Если i = n, перейти к шагу 4. В противном случае с помощью тождеств леммы записать уравнения дляX_iв виде

X_i = αX_i + β,

где α– регулярное выражение в алфавитеΣ, аβ– регулярное выражение вида

β₀ + β_i+1X_i+1 + … + β_nX_n,

причем все β_i– регулярные выражения в алфавитеΣ. Затем в правых частях для уравненийX_i+1, …, X_nзаменим X_iрегулярным выражениемα^*β.

Шаг 3. Увеличить iна 1 и вернуться к шагу 2.

Шаг 4. Записать уравнение для X_nв видеX_n = αX_n + β, гдеαиβ– регулярные выражения в алфавитеΣ. Перейти к шагу 5 (при этомi = n).

Шаг 5. Уравнение для X_iимеет видX_i = αX_i + β, гдеαиβ– регулярные выражения в алфавитеΣ. Записать на выходеX_i = α^*β, в уравнениях дляX_i–1, …, X₁подставляяα^*βвместоX_i.

Шаг 6. Если i = 1, остановиться, в противном случае уменьшитьiна 1 и вернуться к шагу 5.

Однако следует отметить, что не все уравнения с регулярными коэффициентами обладают единственным решением. Например, если

X = αX + β

является уравнением с регулярными коэффициентами и αозначает множество, содержащее пустую цепочку, тоX = α^*(β + γ)будет решением этого уравнения для любого γ. Таким образом, уравнение имеет бесконечно много решений. В ситуациях такого рода мы будем брать наименьшее решение, которое назовемнаименьшей неподвижной точкой. В нашем случае наименьшая неподвижная точка –α^*β.