Лекция 1 Введение

Дисциплина посвящена проблеме теоретического описания вычислительных процессов, а также теории языков программирования и методов трансляции. Существует достаточно большое количество вариантов организации вычислительного процесса.

Однако всем этим схемам присуща общая технологическая цепочка – «лексический анализ → синтаксический анализ → генерация кода → оптимизация кода».

1. Предварительные сведения

1.1. Множества

Атом a.

Множество A.

Атомы являются элементами множества, aA.

Таким образом, множество состоит из элементов (атомов или других множеств): A = {a₁, a₂, …, a_n}. Если множествоBпринадлежит множествуA, то пишутBA.

Атому ничего не принадлежит.

Утверждение #A=nозначает, что множествоAимеетnэлементов. Символобозначает пустое множество, т.е. множество, в котором нет элементов. При этом атом тоже не имеет элементов, но пустое множество не атом и атом не является пустым множеством.

Один из способов определения множества – определение с помощью предиката. Предикат – это утверждение, состоящее из нескольких переменных и принимающее значение 0 или 1 («ложь» или «истина»). Множество, определяемое с помощью предиката, состоит из тех элементов, для которых предикат истинен.

1.2. Операции и отношения

1.2.1. Операции на множествах

Объединение AB= {x|xAилиxB}

(диаграмма)

Пересечение AB= {x|xAиxB}

(диаграмма)

Разность A–B= {x|xAиxB}

(диаграмма)

Декартово произведение AB= {(a,b) |aAиbB}

Примеры на и т.д.

1.2.2. Отношения на множествах

Пусть AиB– множества. Отношением изAвBназывается любое подмножество множествAB.

Если A=B, то отношение задано (определено) наA.

Если R– отношение изAвBи (a,b)R, то пишутaRb.

Пример.A–множествоцелых чисел. ОтношениеLпредставляет множество {(a,b) |a<b} илиa<b(aLb).

Определение. Отношение {(b,a) | (a,b)R} называют обратным к отношениюR, т.е.R^–1.

Определение. ПустьA– множество,R– отношение на A. ТогдаRназывают:

1) рефлексивным, еслиaRaдля всех пар изA;

2) симметричным, еслиaRbвлечетbRaдля всехaиbизA;

3) транзитивным, еслиaRbиbRсвлекутaRсдляa,b,cизA.

Определение. Степень отношения RнаAобозначаетсяkи определяется следующим образом:

1) aR¹bтогда и только тогда, когдаaRb;

2) aRⁱbдляi > 1тогда и только тогда, когда существует такоеcA, чтоaRcиcR^i–1b.

Это пример рекурсивного определения:

[aR⁴b → aRc₁ и c₁R³b → c₁Rc₂ и c₂R²b → c₂Rc₃ и c₃R¹b].

Транзитивное замыканиеотношения множестваRнаA(R⁺) определяется так:аR⁺bтогда и только тогда, когдаaRⁱbдлянекоторогоi  1.

Расшифровка понятия транзитивного замыкания: аR⁺b, если существует последовательностьc₁, c₂, …, c_n, состоящая из 0 или более элементов, принадлежащихA, такая, чтоaRc₁, c₁Rc₂, …, c_n–1Rc_n, c_nRb. Еслиn= 0, тоаRb.

Рефлексивное и транзитивное замыканиеотношенияR(R^*) на множествеAопределяется следующим образом:

1) aR^*a для всех aA;

2)аR^*b, еслиаR⁺b;

3) в R^*нет ничего другого, кроме того, что содержится в 1) и 2).

Если определить R⁰, сказав, чтоaR⁰bтогда и только тогда, когдаa=b, тоаR^*bтогда и только тогда, когдаaRⁱbдляне­ко­то­ро­гоi  0.

Единственное различие между R⁺иR^*состоит в том, чтоaR^*aистиннодля всехaA, ноаR⁺aможет быть, а может и не быть истинным.

1.3. Множества цепочек

1.3.1. Цепочки

Алфавитомбудем называть любое множество символов (оно не обязательно конечно и дажесчетно), но в наших приложениях оно конечно. Предполагается, что слово «символ» имеет достаточно ясный интуитивный смысл.

Символ– элемент алфавита (синонимы: буква, знак).

Пример: 01011 – цепочка в бинарном алфавите {0, 1}.

Особый вид цепочки – пустая цепочка, обозначается как e. Пустая цепочка не содержит символов.

Соглашения:

• Прописные буквы греческого алфавита – алфавиты.

• a,b,cиd– отдельные символы.

• t,u,v,w,x,yиz– цепочка символов.

Если цепочку из iсимволов обозначитьa→aⁱ, тогдаa⁰=e– пустая цепочка.

Определение. Цепочки в алфавитеΣопределяются следующим образом:

1) e– цепочкавΣ;

2) если xцепочка вΣиaΣ, тоxa– цепочкавΣ;

3) y– цепочкавΣтогда и только тогда, когдаонаявляется таковой в силу 1) и 2).