3.2. Построение множества символов-предшественников

Пусть G = (N, Σ, P, S)– КС-грамматика. Для произвольной цепочкиαопределимS(α) как множество терминалов, с которых начинаются строки, выводимыеизα. Еслиα ^* e, тоeтакже принадлежитS(α).

Алгоритм:

Пусть α = X₁ X₂ … X_n.

1) Положить S(α) = 

2) i = 1

3) Вычисляем S(X_i)

3.1) Если X_i  Σ  {e}, тоS(X_i) = {X_i}

3.2) Иначе {X_j  β_j}  P, j = 1, 2, …, m,

3.3) S(α) = S(α)  (S(X_i) – {e})

3.4) Если e  S(X_i)

3.4.1) Если i < n, тоi = i + 1, переход на шаг 3

3.4.2) Иначе S(α) = S(α)  {e}, переход на шаг 4

3.5) Иначе переход на шаг 4

4) Конец алгоритма

Чтобы вычислить S(α)для всехнетерминаловграмматики, необходимо, пока удается добавлять новые элементы в какое-либо множествоS(A), A  N, повторять алгоритм для каждогоA  N. Это позводит в будущем более просто находить множество символов-предшественников для любой цепочки, т.к. упростится выполнение шага 3.

Пример:

S(E) = S(T) = {(, id}

S(E₁´) = {+}

S(E₂´) = {e}

S(T₁´) = {*}

S(T₂´) = {e}

S(F₁) = {(}

S(F₂) = {id}

3.3. Построение множества символов-последователей

Пусть G = (N, Σ, P, S)– КС-грамматика. ДлянетерминалаA  NопределимF(A)как множество терминалов, с которых начинаются строки, выводимые в грамматике послеA.

Алгоритм:

Пусть X  N.

1) Положить F(X) = 

2) Положить F(S) = {$}

3) Пока удается добавлять новые элементы в какое-либо множество F(X), повторять

3.1) Пусть {A  αBβ}  P, B  N, α, β  (N  Σ)^*иβ ≠ e, тогдаF(B) = F(B)  (S(β) – {e})

3.2) Если β = eилиe  S(β)(т.е.β ^* e), тоF(B) = F(B)  F(A)

Пример:

F(E) = F(E´) = {), $}

F(T) = F(T´) = {+, ), $}

F(F) = {+, *, ), $}

3.4. Построение таблицы разбора

Имея множества символов-предшественников и множества символов-последователей, легко построить множества направляющих символов T(X):

T(X) = (S(X) – {e})  {F(X) | e  S(X)}.

Пример:

T(E) = T(T) = {(, id}

T(E₁´) = {+}

T(E₂´) = {), $}

T(T₁´) = {*}

T(T₂´) = {+, ), $}

T(F₁) = {(}

T(F₂) = {id}

Также легко проверить, является ли грамматика грамматикой типа LL(1): если имеются альтернативы A_i  α_i, i = 1, 2, …, n, то грамматика будет относиться к типу LL(1), если

T(A_i)  T(A_j) = , i ≠ j.

Пример:

T(E₁´)  T(E₂´) = 

T(T₁´)  T(T₂´) = 

Построение таблицы разбора:

1) Помечаем грамматику

Пусть P_i– правило с номеромiиз множестваP,i = 1, 2, …, n. Тогда:

1) Полагаем i = 1, count = 0

2) Пусть P_i+k–1 = A_k  α_k, k = 1, 2, …, p, тогда

2.1) I(A_k) = count + k, count = count + p

2.2) Для каждой цепочки α_k = X₁, X₂, …, X_m, гдеm = |α_k|, полагаем

2.2.1) I(X_j) = count + j, j = 1, 2, …, m

2.2.2) count = count + m

3) i = i + 1

4) Если i < n, переход на шаг 2, иначе – конец алгоритма

Для рассмотренного выше примера

(1) E ⁽¹⁾  T ⁽²⁾ E´ ⁽³⁾

(2) E´ ⁽⁴⁾  + ⁽⁶⁾ T ⁽⁷⁾ E´ ⁽⁸⁾

(3) E´ ⁽⁵⁾  e ⁽⁹⁾

(4) T ⁽¹⁰⁾  F ⁽¹¹⁾ T´ ⁽¹²⁾

(5) T´ ⁽¹³⁾  * ⁽¹⁵⁾ F ⁽¹⁶⁾ T´ ⁽¹⁷⁾

(6) T´ ⁽¹⁴⁾  e ⁽¹⁸⁾

(7) F ⁽¹⁹⁾  ( ⁽²¹⁾ E ⁽²²⁾ ) ⁽²³⁾

(8) F ⁽²⁰⁾  id ⁽²⁴⁾

2)Строим множестваT(X)

3) Заполняем таблицу

Введем множество индексов элементов правил, стоящих по левую сторону от знака вывода (L). В нашем случаеL = {1, 4, 5, 10, 13, 14, 19, 20}. Введем также множество индексов элементов правил, являющихся самыми правыми в своем правиле (R). В нашем случаеR = {3, 8, 9, 12, 17, 18, 23, 24}.

Тогда

ID	X	Terminals	Jump	Accept	Stack	Return	Error
1	E 	(, id	2
2	T	(, id	10		true
3	E´	+, ), $	4
4	E´ 	+	6				false
5	E´ 	), $	9
6	+	+	7	true
7	T	(, id	10		true
8	E´	+, ), $	4
9	e	), $	0			true
10	T 	(, id	11
11	F	(, id	19		true
12	T´	+, *, ), $	13
13	T´ 	*	15				false
14	T´ 	+, ), $	18
15	*	*	16	true
16	F	(, id	19		true
17	T´	+, *, ), $	13
18	e	+, ), $	0			true
19	F 	(	21				false
20	F 	id	24
21	(	(	22	true
22	E	(, id	1		true
23	)	)	0	true		true
24	id	id	0	true		true