ТОПИН.Лекции, задания / ТОППиН_часть1 / глава 1234

где my – математическое ожидание; σy – среднеквадратическое отклонение. Случайную функцию можно также определить как функцию своего аргу-

мента, значение которой при любом значении ее аргумента является случайной величиной.

Характеристиками случайных функций, в отличие от числовых характеристик случайных величин, представляющих собой определенные числа, являются в общем случае не числа, а функции.

Математическое ожидание M[y(x)] случайной функции y(x) есть неслучайная функция my(x), которая при каждом значении аргумента x равна математическому ожиданию (МО) соответствующего сечения случайной функции

[ y(x)] my (x) y f ( y,x) dy,

где f(y, x) – одномерная плотность вероятностей семейства реализаций случайных функций.

По смыслу МО случайной функции есть некоторая средняя функция, около которой группируются и относительно которой колеблются все реализации случайных функций.

Дисперсия случайной функции y(x) есть неслучайная функция Dy(x), значение которой для каждого x равно дисперсии соответствующего сечения случайной функции

Дисперсия Dy(x) характеризует разброс реализаций в семействе относительно МО my(x).

Среднеквадратичное отклонение случайной функции

y (x) Dy (x).

Одномерная плотность распределения f(y, x) позволяет найти среднее значение случайной функции и ее дисперсию, но не содержит информации о поведении случайной функции. Например, две случайные функции обладают одинаковыми средними значениями, но одна из них представляет плавно меняющиеся случайные функции, а другая сильно перемешанные. У первой из них сильно связанные значения y для сечений x1 и x2 (рис. 4.3, а), у другой эти значения независимы (рис. 4.3, б).

51

Следовательно, если в качестве аргумента используется время, то имеем дело со случайными процессами.

Реализации случайного процесса называются траекториями. Все что говорилось о случайных функциях полностью относится к случайным процессам с аргументом t. Характеристики случайных процессов аналогичны характеристикам случайных функций: МО, D, σ, АКФ, ВКФ случайных процессов.

В качестве дополнительной характеристики для стационарных случайных процессов (процессов, которые протекают во времени приблизительно однородно) используют интервал корреляции

k Ry ( ) d ,

0

где Ry(τ) – нормированная АКФ процесса.

Это позволяет более просто, хотя и более грубо, описать быстротечность процесса.

Величина τk дает ориентировочное представление о том, на каких интервалах времени в среднем имеет место существенная корреляция между значениями случайного процесса. Максимальный интервал корреляции τkмакс – такой интервал, за пределами которого корреляция между значениями случайного про-

цесса пренебрежимо мала, т.е. Ry k макс , где α= 0,1,…, 0,01 – некоторая малая, наперед заданная величина.

Втеории случайных процессов принято классифицировать их по тем или иным признакам, учитывая плавность или скачкообразность реализации, фиксированность или случайность моментов, в которые могут происходить скачки

ит.д., вид закона распределения отдельного сечения процесса или совокупности его сечений и т.д. Самая элементарная классификация случайных процессов

– «по времени» и «по состояниям».

Случайный процесс с дискретным временем – это процесс в системе, кото-

рая может менять свои состояния только в отдельные моменты времени t1, t2 и т.д.

Случайный процесс с непрерывным временем – если переходы из одного состояния в другое могут происходить в любой момент времени.

Случайный процесс с непрерывными состояниями, если его сечение в любой момент времени представляет собой непрерывную случайную величину и, значит, множество ее значений несчетно.

Случайный процесс с дискретными состояниями, если в любой момент времени множество его состояний конечно или счетно, т.е. случайная величина в сечении дискретна.

Всоответствии с вышеизложенным приведем одну из классификаций случайных процессов (четыре класса):

I. Параметр t дискретен и множество состояний дискретно. II. Параметр t непрерывен, множество состояний дискретно. III. Параметр t дискретен, множество состояний непрерывно.

IV. Параметр t непрерывен и множество состояний непрерывно.

53

К I типу можно отнести дискретные цепи Маркова, последовательности дискретных случайных величин. К II типу – Марковские цепи с непрерывным множеством состояний. Тип III представляет процесс Пуассона. В IV тип входит броуновское движение, сюда же относятся случайные процессы общего типа.

На рис. 4.4 представлены диаграммы:

а) дискретной случайной последовательности (х и t – дискретны);

б) дискретного случайного процесса (х – дискретно, t – непрерывно);

в) непрерывной случайной последовательности (х – непрерывно, t – дискретно);

г) непрерывного случайного процесса (х и t – непрерывны).

Все процессы можно также классифицировать и из других соображений, например:

1.стационарные – нестационарные;

2.гауссовские – негауссовские;

3.марковские – немарковские

ит.д.

Некоторые из случайных процессов (стационарный, Марковский и др.) широко используются в теории надежности, так как позволяют с достаточной точностью описать процессы, происходящие в элементах и системах.

4.2Марковский случайный процесс. Дифференциальные уравнения Колмогорова

Основными математическими методами анализа функционирования систем являются марковские процессы.

Марковские процессы могут быть процессами, как с дискретным, так и с непрерывным временем.

54

Важным частным случаем марковского процесса является процесс Пуассона. Основные виды марковских процессов:

–марковская цепь (дискретный марковский процесс с дискретным временем);

–марковская последовательность (непрерывный марковский процесс с дискретным временем;

–разрывной марковский процесс (дискретный марковский процесс с непрерывным временем);

–непрерывный марковский процесс (непрерывный марковский процесс с непрерывным временем);

–дискретный марковский процесс (дискретно-непрерывный марковский процесс).

Среди марковских процессов выделяются процессы, которые получили название «процессы гибели и размножения».

Марковский случайный процесс – это процесс, у которого в каждый момент времени вероятность любого состояния объекта в будущем зависит только от его состояния в настоящий момент времени и не зависит от того, каким образом объект пришел в это состояние. Следовательно, вероятность будущего состояния объекта не зависит от вероятности прошлого состояния, а только от вероятности настоящего состояния, состояния в данный момент времени. Таким образом, марковский процесс – это случайный процесс без последействия.

Рассмотрим систему, которая может находиться в трех состояниях (рис. 4.5). Это марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.

L(t)

α1

α2

α3

Рис. 4.5

Процесс L(t) может принимать только дискретные значения α1, α2, α3. Моменты времени t1, t2 – моменты переходов из одного состояния в другое. Переход из одного состояния в другое происходит за время t. Не может быть перехода из одного крайнего состояния в другое, крайнее состояние, например, из а1

в а3, и наоборот.

Наиболее подходящим способом представления процесса перехода системы в различные состояния является граф переходов (состояний) (рис. 4.6), в котором вершины (узлы) соответствуют состояниям системы, а дуги указывают все возможные переходы системы из одного состояния в другое.

55

t0

Дифференциальные уравнения Колмогорова для однородного марковского процесса принимают вид:

Чтобы решить дифференциальные уравнения Колмогорова и найти вероятности состояний, прежде всего надо задать начальные условия. Если мы точно знаем начальное состояние системы, то в начальный момент времени (при t = 0) Р0(0) = 1, а все остальные начальные вероятности равны нулю: Р1(0) = Р2(0) = 0.

Для любого момента времени выполняется нормировочное условие

n

Pi (t) 1 при t ≥0.

i0

Марковский процесс называется однородным, если закономерности его поведения на любом интервале времени t2 – t1, не зависят от расположения этого интервала на оси времени.

Дифференциальные уравнения можно составлять непосредственно по графу переходов по следующему правилу.

В левой части каждого уравнения записывается dPi (t) dt , а в правой части

столько членов сколько стрелок связано с данным состоянием. Каждый член равен произведению интенсивности перехода ( ij или ji ), переводящей си-

стему по данной стрелке, на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Знак перед каждым членом зависит от направления перехода: если стрелка направлена в данное состояние (стрелка входит), то ставится знак плюс, если из данного состояния (стрелка выходит), то минус.

Можно пользоваться другим правилом: производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, идущих из другого состояния

вданное, минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния

вдругое

58

где n – количество вершин графа (состояний), из которых стрелки (переходы) идут в данное (i) состояние; m – количество вершин графа (состояний), в которые направлены стрелки (переходы) из данного (i) состояния; Рi(t) – вероятность данного i-го состояния; Рj(t) – вероятности состояний, из которых стрелки (переходы) идут в данное (i) состояние.

Решение полученной системы уравнений, т.е. нахождение вероятностей состояний Р0(t) и Р1(t), производится с помощью преобразования Лапласа. При этом проводится замена

Р(t) → Р(z)

dP(t) z P(z) P(t 0). dt

Если число уравнений больше двух – трех, то обычно их решают численно

– вручную или на ЭВМ.

Решение существенно упрощается, если рассматриваемый процесс являет-

ся марковским стационарным процессом, для которого dPi (t) dt 0 , т.е. веро-

ятности состояний становятся постоянными Рi(t) = Рi = const. В этом случае система дифференциальных уравнений становится системой алгебраических уравнений.

Отметим, что описание функционирования системы можно выполнять с помощью интегральных уравнений [36].

4.3 Потоки событий

Поток событий – это последовательность событий, при которой они происходят одно за другим в случайные моменты времени. Случайный поток можно также назвать случайным точечным процессом, так как реализации такого процесса представляют собой случайную последовательность точек на временной оси.

Случайный точечный процесс, удовлетворяющий трем условиям: ординарности, стационарности и отсутствию последействий, называется простейшим или пуассоновским процессом или потоком.

Свойства простейшего потока событий.

Стационарность – свойство потока событий, заключающееся в том, что вероятность появления определенного числа событий за фиксированный промежуток времени не зависит от положения этого промежутка на оси времени, а зависит только он его длины, т.е. плотность потока появления событий постоянна во времени.

Ординарность – свойство потока, заключающееся в том, что события возникают поодиночке, а не группами, и практически невозможно одновременное появление двух и более событий.

Отсутствие последействия – свойство потока, заключающееся в том, что вероятность появления определенного числа событий в течение некоторого промежутка времени не зависит от числа и характера возникновения событий

59

до начала этого промежутка времени, т.е. события взаимно независимы и случайные промежутки времени между соседними событиями также взаимно независимы.

На практике не всегда одновременно выполняются все три свойства, но простейший поток очень удобен для решения различных задач.

Важным понятием является интенсивность потока (t) – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Для стационарного потока событий его интенсивность есть величина постоянная, т.е. (t) = = соnst.

Простейший (стационарный пуассоновский) поток описывается распределением (законом) Пуассона

p(k) ak e a , где а = λ t, k!

т.е. p(k) ( t)k e t , (k 0,1, 2,...), k!

здесь k – число событий на интервале t; р(k) – вероятность появления k событий за интервал времени t.

Оценка параметра а выполняется следующим образом. Если п – число проведенных испытаний и ki – число событий, появившихся в i-м испытании, то

i1 n

На рис. 4.8 приведено семейство распределений Пуассона для различных значений параметра а.

Для простейшего потока с интенсивностью интервал Т между соседними

событиями имеет показательное распределение с плотностью f (t) e t .

Если отсутствует свойство стационарности, то имеет место нестационарный пуассоновский поток ( – зависит от времени), у которого интервал между появлениями событий уже не подчиняются показательному закону распределения.

Стационарный поток с ограниченным последействием называется потоком Пальма (или рекуррентным). Для такого потока интервалы Т1, Т2, … между событиями представляют собой последовательности независимых случайных величин с одинаковым произвольным распределением. При показательном распределении интервалов между событиями поток Пальма становится простейшим потоком.

60