2.5 Формулы для расчета хода лучей через многокомпонентную идеальную оптическую систему.

Большинство оптических систем являются сложными. Каждую из частей такой системы, можно рассматривать как отдельную оптическую систему. Разделение сложной системы на ряд простых, упрощает рассмотрение ее свойств, но вместе с тем требует решения следующей задачи: дано несколько простых оптических систем с одной общей оптической осью; необходимо найти параметры системы, действие которой эквивалентно совокупности заданных систем.

Чтобы найти эквивалентную систему, надо определить положение кардинальных точек, а именно, фокусов и главных точек оптической системы (или главных плоскостей).

Рассмотрим оптическую систему, состоящую из ряда простых компонентов. Обычно бывают известны положения главных плоскостей и величины фокусных расстояний простых систем, а также их взаимное расположение (см. рисунок).

Рис.

Возьмем произвольный луч , проходящий через точку предмета, расположенную на оптической оси. Внутри системы этот луч будет проходить через соответствующее изображение точки:,, …,. Расчет хода лучей может быть проведен по формуле Гаусса. Нетрудно определить отрезок(положение точки),. Переход к следующей поверхности производится по формуле:. Далее

, …,(44)

где .

В результате расчета находятся отрезки ,,,, …,и. Линейное ли поперечное увеличение эквивалентной системы вычисляется по формуле (21)

,

где - угловое увеличение, равное(см (19)). Вернемся кв следующем виде:

(45)

Такое возможно, поскольку углы ,, …,.Рассмотрими, заменим отношения тангенсов на отношение отрезкови получим:

(46)

Для системы в воздухе

()

Фокусное расстояние системы определяется по результатам расчета луча при () по формуле:

(47)

В большинстве случаев расчет хода луча производится по формулам, в которых не требуется вычислять промежуточные значения координат ,,,, …,и. Пока в большинстве случаев расчет хода луча производится по формулам, в которых не требуется вычислять промежуточные значения координат,,,,и т.д., покажем это. Умножим обе части формулы Гауссанаи произведем замену,, получим для первого компонента

,

откуда

(48)

()

Далее, применим формулы (48) к каждому компоненту и получим

(49)

По формулам (49) можно определить также положение фокусов и фокусное расстояние, а следовательно, и положение главных плоскостей эквивалентной системы. Покажем это.

Известно, что луч, параллельный оптической оси в пространстве предметов, пересекает оптическую ось в пространстве изображений в точке заднего фокуса . Рассмотрим рисунок.

Рис. Ход луча, параллельный оптической оси, через сложную систему.

Возьмем луч , параллельный оптической оси в пространстве предметов. В этом случаеи формулы (49) примут вид:

(50)

где - расстояние от задней главной плоскости последней системы до заднего фокуса эквивалентной системы. Продолжая лучдо пересечения его с продолжением луча, найдем заднюю главную плоскость эквивалентной системы. Заднее фокусное расстояние сложной системы будет равно:

Передняя главная плоскость и переднее фокусное расстояние определяется расчетом хода луча в обратном направлении, т.е. слева направо.

Зная ,,илегко определив,. (Из рисунка следует:,).

Если система находится в однородной среде, например, в воздухе то и,, …,. Заменяя в (48) фокусные расстояния через оптические силы, получим.

()

Итак, по формулам (49) и (50) по заданным ,,,,, …,,,,, …,рассчитывается ход луча на некоторой высоте, параллельный оптической оси. Определяются величины:,,, а такжеи(линейное увеличение системы). Затем, рассчитывается ход луча в обратном направлении, прии определяются,,одновременно контролируется.

В формулах (49) и (50) высота выбирается произвольно, следовательно, произвольными будут и углы, но их величины не оказывают влияния на отрезки. Поэтому выражения (49) и (50) называютформулами произвольных тангенсов.