5.2.4. Построение изображений

Построение изображения:

Для того чтобы найти изображение точки , необходимо построить хотя бы два вспомогательных луча, на пересечении которых и будет находиться точка. Вспомогательный лучможно провести через точкупараллельно оптической оси, тогда в пространстве изображений лучпройдет через задний фокус оптической системы. Вспомогательный лучможно провести через точкуи передний фокус оптической системы, тогда в пространстве изображений лучпойдет параллельно оптической оси. На пересечении лучейибудет находиться изображение точки.

Построение хода луча :

1 способ.Можно построить вспомогательный луч, параллельный данному и проходящий через передний фокус (луч). В пространстве изображений лучбудет идти параллельно оптической оси, лучиидолжны пересекаться в задней фокальной плоскости. 2 способ.Можно построить вспомогательный луч, идущий параллельно оптической оси и проходящий через точку пересечения лучаи передней фокальной плоскости (луч). Соответствующий ему луч в пространстве изображений (луч) будет проходить через задний фокус. Тогда лучиидолжны идти параллельно.

5.3. Основные соотношения параксиальной оптики

Основные соотношения параксиальной оптикисвязывают между собой фокусные расстояния, положение и размеры предмета и изображения, угловое, линейное и продольное увеличения.

5.3.1. Зависимость между положением и размером предмета и изображения

Линейное увеличение: или Формула Ньютона: Формула отрезков или формула Гаусса:

5.3.2. Угловое увеличение и узловые точки

Выражение для вычисления углового увеличения: Узловые точки– это точки, в которых угловое увеличение равно единице.

Чтобы найти узловые точки и, от переднего фокуса откладывается заднее фокусное расстояние, а от заднего фокуса откладывается переднее фокусное расстояние. Отрезкииравны. Если, то узловые точки совпадают с главными.

Линейное и угловое увеличение связаны соотношением:

5.3.3. Частные случаи положения предмета и изображения

Рассмотрим различные положения предмета и изображения (различные и):

• :,,. Предмет и изображение – этоглавные плоскости.

• :,,. Предмет и изображение – этоузловые точки.

• :,,. Предмет находится на двойном фокусном расстоянии.

• :,,. Предмет находится впереднем фокусе, а изображение – в бесконечности.

• :,,. Предмет находится на бесконечности, а изображение – взаднем фокусе.

5.3.4. Связь продольного увеличения с поперечным и угловым

Продольное увеличение: Угловое увеличение:

Если оптическая система находится в однородной среде (), то:,.

5.3.5. Диоптрийное исчисление

Диоптрийное исчисление– это измерение продольных отрезков в обратных единицах (диоптриях):,, где– приведенная длина. Одна диоптрия соответствует приведенному отрезку в 1м. Если отрезок измеряется в мм, то обратный отрезок измеряется в килодиоптриях.

Соотношение для приведенных отрезков в пространстве предметов () и изображений () иоптической силы, измеряемых в диоптриях:

5.3.6. Инвариант Лагранжа-Гельмгольца

Инвариант Лагранжа-Гельмгольца связывает линейный размер предмета и угловой размер пучка лучей. Эта величина инвариантна, то есть неизменна в любом пространстве:

Инвариант Лагранжа-Гельмгольца характеризует информационную емкость оптической системы, то есть величину пространства, которое может быть отображено оптической системой. Этот инвариант математически выражает закон сохранения информации в геометрической оптике

5.4 Двухкомпонентная оптическая система с общей осью симметрии

Большинство оптических систем являются сложными. Каждую из такой оптической системы (ОС) можно рассматривать как отдельную ОС. Разделение сложной ОС на ряд простых упрощает рассмотрение ее свойств, но вместе с этим, требует решения следующей задачи:

Дано несколько простых ОС с одной общей оптической осью. Необходимо найти параметры системы, действие которой эквивалентно совокупности заданных систем.

Применим теорию идеальной ОС к случаю двухкомпонентной ОС, т.е. состоящей из двух простых ОС.

Рисунок 1.

Заданы ,,,и(оптический интервал). Найдем положение кардинальных точек системы:,,,, а также линейное увеличение и оптическую силу.

В качестве точек отсчета координат вдоль оптической оси возьмем: в пространстве предметов – точку переднего фокуса первого компонента (т. ) и в пространстве изображений точку заднего фокуса второго компонента (т.). Найдем координаты фокусови.

Найдем положение заднего фокуса , как обычно, проведем луч, параллельный оптической оси некоторой высоте. Этот луч, после прохождения первой системы пересечет оптическую ось в ее заднем фокусе. Долее после прохождения второй системы () луч должен пересечь оптическую ось в заднем фокусе сложной системы.

Аналогично найдем положение точки , направив лучпараллельно оптической оси в обратном направлении. Высоту луча выберем, для удобства, той же.

Найдем координату .

Как видно из рисунка, точки и- являются сопряженными для первой системы. Их координаты относительно точек фокусов первой системы связаны между собой формулой Ньютона. Воспользуемся ею для определения координаты.

Для нашего случая в формуле Ньютона надо положить

,,,

Из формулы Ньютона, получим после подстановки указанных величин:

(1)

Поскольку величины ,иизвестны, то (1)однозначно определяет положение переднего фокуса двухкомпонентной системы.

Аналогично определим координату . В этом случае соответствующие величины в формуле Ньютона для точеки, сопряженных относительно второго компонента,

,,,

(2)

Формула (2) однозначно определяет положение заданного фокуса двухкомпонентной системы.

Найдем теперь положение главных плоскостей оптической системы. По определению в этих плоскостях линейное увеличение системы равно .

Продолжим луч до пересечения с лучомв т.. Аналогично найдем точкупересечение лучас лучом. Точкиисопряжены относительно сложной системы, т.к. являются точками пересечения одной пары лучей (и). Обе точки имеют одинаковые ординаты, определяемые равными отрезками, перпендикулярными оптической оси.

Следовательно: отрезкииявляются сопряженными относительно сложной системы, удовлетворяют условию, а значит лежат в ее главных плоскостях. Таким образом, точкииявляются главными точками двухкомпонентной системы.

Зная положение главных точек иможно определить и фокусные расстояния.

Найдем . В прямоугольном треугольнике

(3)

Величина изравна

()

Из прямоугольного треугольника . Найдем

(4)

Точка имеет ординату такой же величины. Поэтому дляиз прямоугольного.

(5)

Окончательно определим , подставив (), (4) и (5) в (3):

. (6)

Аналогично найдем выражение для :

(7)

Найдем теперь координаты главных точек относительно и, а именнои.

Из рисунка имеем:

,(35)

Подставив (28), (29), (33) и (34) в (35)

(36)

(37)

Найдем линейное увеличение сложной системы. Оно должно быть равно произведению линейных увеличений отдельных компонентов, т.к. изображение от первого компонента для второго, является предметом, т.е.(см. рисунок).

Рис.

Действительно:

. Применим это к нашему случаю. Поскольку линейное увеличение зависит от положения предмета относительно системы, зададим положение предмета координатой, отсчитываемой от переднего фокуса первого компонента.

Пусть т. осевая для предмета. Координата т.относительнобудет ().изображение т.первой системы (), а затем изображение второй системы т.. Таким образом т.- есть изображение т., даваемой все системой.

Поскольку линейное увеличение , то для

и

(38)

Из рисунка следует: . Подставим в (38)

(39)

Принимая во внимание формулу Ньютона, получим .

(40)

При определении оптической силы сложной системы ограничимся случаем бесконечно тонких линз. Для них толщину считают пренебрежительно малой по сравнению с радиусами кривизны их поверхностей. Следовательно, расстояния между линзами можно считать равными (см. рисунок).

(41)

Если линзы (система) находится в воздухе, то ,. Заднее фокусное расстояниеопределим по формуле (33).

(42)

Оптическая сила – величина обратно пропорциональная фокусному расстоянию

(43)

Если , линзы расположены вплотную, то, т.е. суммарная светосила равна сумме.

При увеличении в (43) последний член суммы может стать больше первых двух и, следовательно, величинабудет отрицательной при положительныхи.