mathanaliz

как всякий раз возникали трудности, связанные с вопросом о существовании предела и о способах эффективного его нахождения. Подобные трудности существовали долго, до конца XIX в., когда был создан “ε, δ - аппарат" теории пределов.

Вучебниках Коши (1789-1857) точкой отправления служит понятие предела функции. В них впервые вводится бесконечно малая величина как переменная, предел которой равен нулю.

Непрерывность функции рассматривается как наличие соответствия бесконечно малого приращения функции бесконечно малому приращению аргумента. Через предел вводится понятие производной и определённого интеграла. Здесь еще нет ε, δ -аппарата, но существо дела уже выражено.

Вотношении интегрирования работы Коши представляют собой возврат к здоровым традициям античности и первой половины XVII в., но опираются на еще недостаточные технические средства. Определенный интеграл, который слишком долго оставался на втором плане, определяется Коши как предел интегральных

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

сумм и становится понятием первостепенного значения. Для определённого интеграла Коши окончательно устанавливает обозначение Rab f(x) dx, предложенное Фурье (1768-1830).

Анализ Коши уже во многом напоминает современное изложение основ математического анализа.

В 1861 году Вейерштрасс (1815-1897) ввёл в математический анализ современное определение предела, основанное на аппарате неравенств с ε и δ.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Глава 1

Арифметическое

пространство

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

высказывание может быть либо истинным либо ложным (закон исключённого третьего). Никакое высказывание не может быть истинным и ложным одновременно (закон противоречия). Для сокращения записи высказывания обозначают одной буквой, например, высказывание “Сегодня первое сентября” можно обозначить p.

Отрицанием высказывания p называется высказывание “ p не имеет места”, которое обозначается ¬p и читается: “не p”. Очевидно, что если p истинно, то ¬p - ложно, и наоборот.

Пусть p и q - два высказывания. Конъюнкцией высказываний p

иq (обозначение p q) называется высказывание, истинное тогда,

итолько тогда, когда истинны оба высказывания. Высказывание p q читается: “ p и q ”.

Дизъюнкцией высказываний p и q (обозначение p q) называется высказывание, истинное тогда, и только тогда, когда по крайней мере, одно из высказываний p или q истинно. Высказывание p q читается: “ p или q ”.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

высказывание lg x > 1. Тогда p(x) является истинным при x > 10 и ложным, если 0 < x ≤ 10.

Теоремы - это высказывания. Например:

Теорема 1. Если x A имеет место p(x), то имеет место и q(x).

Краткая запись теоремы 1:

( x A : p(x) = q(x)).

Теорема 2. ( x A : p(x) q(x)).

Введём сокращение: вместо n (n > N = p(n)) будем писать

n > N : p(n).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1.2.Множества.

Понятие множества является первичным и определению не подлежит, его можно лишь пояснить примерами. Например, можно говорить о множестве цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, о множестве

натуральных чисел, о множестве букв русского алфавита и т.д. Множество, являясь с одной стороны, собранием некоторых раз-

личных объектов, которые называют элементами множества, в то же время само рассматривается как единое целое, как один предмет. Объединяя предметы в множество и создавая тем самым новый предмет, мы игнорируем все свойства множества, зависящие от свойств входящих в него предметов, кроме свойства отличаться от всех других множеств, если в нём есть хотя бы один элемент, не содержащийся в другом множестве, или если в нём нет хотя бы одного элемента, присутствующего в другом множестве. Множество считается заданным, если относительно любого объекта можно установить является он элементом этого множества

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

или нет. Множество задают либо перечислением его элементов, либо указанием свойства, которым обладают элементы этого множества и не обладают объекты, не являющиеся его элементами (характеристическое свойство). Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается . Считается, что каждый элемент связан с содержащим его множеством отношением включения, которое обозначается символом . Запись a A означает, что a является элементом множества A или a принадлежит множеству A.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1.2.1. Операции над множеством.

Говорят, что множество A входит в множество B (обозначается A B), если x A = x B. В этом случае множество A называют подмножеством множества B. Если же множество A не является подмножеством множества B, то в множестве A есть, по крайней мере, один элемент не принадлежащий множеству B. Поэтому полагают, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Если A B и B A, то множества A и B состоят из одних и тех же элементов. В этом случае говорят, что множество A равно множеству B и пишут A = B.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit