3.10.Предел отображения по Коши.
Пусть A Rk, B Rm и A0 - множество всех предельных точек множества A.
Определение 50. Точка a Rm называется
пределом отображения f : A → B при x → x0 A0, если ε > 0 δ > 0 такое, что x A \ {x0} имеем: d(x0; x) < δ = d(a; f(x)) < ε.
Предел функции по Коши обозначим через
(C) lim f(x).
x→x0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 51. Множество
Uε (x0) = Uε(x0) \ {x0}
называется проколотой ε− окрестностью точки x0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 52. Точка a Rm называется
пределом отображения f : A → B при x →
x0 A0, если ε > 0 δ > 0 такое, что x A ∩ Uδ (x0) : f(x) Uε(a).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
T
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
В дальнейшем тренажёры такого вида будем запускать на выполнение с помощью кнопок:
ТРЕНАЖЁР
f : A → Rm, A Rn,
lim f(x) = a Rm
x→x0
ТРЕНАЖЁР
f : A → Rm, A R,
lim f(x) = a Rm
x→x0
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A Rn,
lim f(x) = a R
x→x0
ТРЕНАЖЁР
f : A → R, A R,
lim f(x) = a
x→x0
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО КОШИ
Иллюстрация того, что, по определению, limx→4 x2 + 3 = 5. Движком "ε" фиксируйте произвольное ε > 0.
Перемещая движок "δ", выберите δ так, чтобы для все x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − 4| < δ, выполнялось неравенство
|f(x) − 5| < ε.
Обратите внимание, что, если Вы нашли одно δ, то меньшее δ тоже является решением задачи. Итак, для каждого ε > 0 нужно найти δ > 0 (не обязательно самое большое) такое, что . . ..
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 39. Показать, что
(C) lim sin x = 0.
x→0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. |
|
|
|
|
lim sin x = 0 |
50 ( ε > 0 |
δ > 0 такое, |
|
|
→ |
0 |
|
|
|
(C) x |
|
|
|
|
что x ((0 < |x| < δ) = (| sin x| < ε))) .
Фиксируем произвольное ε > 0.
Цель наших дальнейших рассуждений состоит в выделении Uδ(0), в которой выполняется неравенство
| sin x| < ε.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Первый способ выделения Uδ(0).
a) Если ε > 1, то неравенство | sin x| ≤ 1 < ε
выполняется для всех x R и можно положить δ = 1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
b) Пусть ε ≤ 1. Произведем сначала ряд тождественных преобразований.
10.16 arcsin
(| sin x| < ε) (−ε < sin x < ε)
(arcsin (−ε) < x < arcsin ε) íå÷¼òíàÿ
10.16
(− arcsin ε < x < arcsin ε) (|x| < arcsin ε)
(3.1)
Выберем δ = arcsin (ε).
Тогда, в силу (3.1), имеем, что
x ((0 < |x| < δ = arcsin ε) = (| sin x| < ε)) .
Из выделенного синим цветом следует, по
определению 50, что (C) lim sin x = 0.
x→0
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
