Решение. Естественной областью определения функции f(x) = √x2 − 2x − 3 является множество значений аргумента для которых
x2 − 2x − 3 ≥ 0.
Корнями квадратного уравнения x2−2x−3 = 0 являются числа (−1) и 3 (см. раздел 3.2.2) и
неравенство x2 − 2x − 3 ≥ 0 выполняется на множестве (−∞, −1] S[3, +∞).
Ответ: domf = (−∞, −1] S[3, +∞).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 37. Задана функция
v |
|
|
2 |
π |
|
u |
|
|
|
|
|
f(x) = u |
sin |
|
|
|
. |
|
|
u− |
|
|
|
x |
u |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
t
Найти естественную область определения функции f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Естественной областью определения
|
|
v |
|
2 π |
является множество |
функции f(x) = u sin |
|
x |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значений аргумента для которых |
|
|
|
|
|
|
|
− sin |
2 π |
≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Итак |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dom f = {x R | sin |
2 π |
|
|
|
|
|
|
= 0} = |
|
|
x |
π |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
{x R | |
|
= nπ, n |
Z} = {xn = |
|
, n Z}. |
x |
n |
Следовательно, dom f |
|
– множество изолиро- |
ванных точек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: domf = {xn = n1 , n Z}.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 38. Задана функция
f(x, y) = ln (9 − x2 − y2).
Найти естественную область определения функции f.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Естественной областью определения функции f(x, y) = ln (9 − x2 − y2) являет-
ся множество точек (x, y) R2 для которых 9 − x2 − y2 > 0 (см. раздел 3.2.5).
Ответ: domf = {(x, y) R2 | x2 + y2 < (3)2} –
круг радиуса 3 с центром в начале координат.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.9. Кусочно - элементарные функции одной переменной.
Функция f называется кусочно - элементарной, если её область определения можно представить в виде объединения интервалов (сегментов, полусегментов) не нулевой длины, на каждом из которых функция f уже элемен-
тарная.
Кусочно - элементарные функции часто задаются с помощью операции {.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Примеры.
x, если x < 0
1) f(x) = 1 , если x > 0
x
Область определения функции f можно представить как объединение двух интервалов (−∞, 0) и (0, +∞), на каждом из которых соответствующие функции y = x и y = x1 элементарные.
2) Функция y = [x] - целая часть x, равная наибольшему целому числу, не превышающему x, является кусочно - элементарной.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3) Функция Хевисайда, заданная формулой
0, если x < 0,
η(x) =
1, если x ≥ 0,
является кусочно-элементарной.
4) Функция Дирихле, заданная формулой
|
|
1, |
если x рационально , |
|
|
|
|
f(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если x иррационально , |
|
|
0, |
|
|
|
|
не является кусочно - элементарной. Это пример неэлементарной функции.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
КУСОЧНО-ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 
Кусочно-элементарные функции конструируются из элементарных функций с помощью кнопок и движков.
Движками "first rule change" и "second rule change" делим ось абсцисс на три подобласти. Кнопками "function in region 1", "function in region 2" и "function in region 3" выбираем формулы, по которым вычисляются значения функций в каждой подобласти.
Приведены графики сконструированных кусочно-элементарных функций.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Функциональная символика, область определения функций.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
