mathanaliz

Посмотрите как меняются графики прямой y = ax, a > 1, (зелёный) и обратной y = loga x = lnln xa, a > 1, (красный) функций в зависимости от параметра a.

Д Графики функций y = ax, a > 1, и

y = loga x = lnln xa, a > 1.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.1.4. Композиция отображений.

Богатым источником новых функций, с одной стороны, и способом расчленения сложных функций на более простые - с другой, является операция композиции отображений.

Если отображение f : A → B и g : B → C таковы, что одно из них (в нашем случае g) определено на множестве значений другого (f), то можно построить новое отображение

g ◦ f : A → C,

значения которого на элементах множества A определяются формулой

(g ◦ f)(x) := g (f(x)) .

Построенное составное отображение g ◦ f : A → C называют композицией отображения f и отображения g (см. рис. 3.5).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

x y

g

g ◦ f

z

C

Рис. 3.5 Композиция отображений

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Синонимы термина композиция отображений есть композиция функций, сложная функция. Очевидно, что если отображение f : A → B биекция и отображение f−1 : B → A обратное отображению f, то

x A : x = f−1 ◦ f(x)

и

y B : y = f ◦ f−1(y).

КОМПОЗИЦИЯ ФУНКЦИЙ Пусть графики функций f и g уже построены.

Показана схема построения графика функции f ◦ g.

При построении точек графика функции f ◦ g используется вспомогательная прямая П : y = x.

Перемещая движок "x value" Вы видите как каждой точке x оси абсцисс сопоставляется точка (x, f ◦ g(x)).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.2.Фундаментальные функции элементарной математики.

Среди функций f : A → B, A, B R выде-

ляют фундаментальные функции. Почти все они содержатся в школьном курсе математи-

ки. К фундаментальным функциям элементар-

ной математики относятся следующие функции:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.2.1. Линейная функция.

Линейная функция y = kx + b, x R, где k и b - вещественные числа. Графиком линейной функции является прямая. Число k называется угловым коэффициентом этой прямой. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона α этой прямой к положительному направлению оси абсцисс: k = tg α. Число b называется начальной ординатой. Прямая определяется двумя точками. Точка M0(0, b) принадлежит графику линейной функции y = kx + b.

На рисунке 3.6 посмотрите графики линейной функции при различных значениях k и b = 2.

Посмотрите как меняется график функции

y = a · x + b в зависимости от параметров a и b.

Д График функции y = a · x + b.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.2.2.Квадратичная функция.

Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, a 6= 0, x R, где a, b, c

-вещественные числа. Графиком квадратичной функции является парабола (см. рис. ??). Ветви параболы при a > 0 направлены в положительном направлении оси ординат (вверх); при a < 0

-в отрицательном направлении оси ординат (вниз). Выражение

=b2 − 4ac называется дискрименантом квадратичной функ-

√√

пересекает ось абсцисс; если = 0, то касается оси абсцисс в точке x0 = −2ab; если = b2 − 4ac < 0, то парабола не имеет общих точек с осью абсцисс.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

y

y = x2

Рис. 3.7 Графики квадратичной функции y = ax2 + bx + c

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

3.2.3. Степенная функция.

Степенная функция y = xα. Если α - иррационально, то область определения степенной функции (0, ∞), так как в элементарной математике степень с иррациональным показателем определена только для положительного основания (см. рис. 3.8). Если же

α = m рационально, то степенная функция y = xm может быть

n

n

задана и на отрицательной полуоси оси абсцисс (см. рис. 3.9).

m √

Записывая y = x n = n xm получаем, что:

при m чётном x (−∞, +∞);

при m нечётном и n нечётном x (−∞, +∞); при m нечётном и n чётном x [0, +∞).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit