2. Графический способ.
Определение 49. Пусть f : A → B. Множество
graff = {(x, f(x))|x A}
назовем графиком отображения f.
Если A, B R, то график отображения состоит из точек (x, f(x)) пространства R2. Это позволяет задать график отображения на чертеже.
Если заданы множества A и B, а также график graff отображения f, то говорят, что функция f задана графически.
Графический способ удобен своей наглядностью и возможностью увидеть поведение функции во всей области определения. Его недостатком является невысокая точность построения и чтения графика.
Этот способ задания функций является единственно возможным в ряде случаев (кардиограммы, сейсмограммы).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3. Алгоритмический способ.
Говорят, что функция f задана алгоритмически, если задан способ вычислений, позволяющий по заданному значению аргумента в конечное число шагов получить значение функции. Алгоритмический способ вычисления функции реализован в виде встроенных программ вычисления значений функций в компьютерах, калькуляторах.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
4. Табличный способ.
В прошлом очень распространенный способ (обширные таблицы логарифмов и т.д.).
С развитием математического анализа появляются новые способы задания функций.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.1.2.Простейшая классификация отображений.
Про отображение f : A → B говорят, что оно
сюръективно (или есть отображение A на B), если f(A) = B;
инъективно (или есть вложение, инъекция), если для любых элементов x1, x2 множества A
(f(x1) = f(x2)) = (x1 = x2),
т.е. различные элементы имеют различные образы;
биективно (или взаимно однозначно), если оно сюръективно и инъективно одновременно.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
КЛАССИФИКАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ 
Обозначим через L множество упорядоченных пар (x, y) R2, которое на иллюстрации имеет вид гладкой кривой. Движками "polynomial terms:" можно изменить вид этого множества, а движком "zoom" масштаб его отображения.
Вертикальную и горизонтальную тест-линии можно передвигать движками "horizontal" и "vertical", соответственно. При этом линии окрашиваются в зелёный или красный цвет.
Обозначим через D множество точек оси абсцисс, проходя через которые вертикальная линия пересекает кривую L и окрашивается в зелёный цвет. Это множество является областью определения функции f : D −→ R и graff L.
Обозначим через B множество значений функции f.
Если горизонтальные линии проходящие через каждую точку y B пересекают graff в единственной точке, то функция f : D −→ B биекция. В противном случае отображение f : D −→ B сюръективно.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.1.3.Обратное отображение.
Если отображение f : A → B биективно, то отображение
f−1 : B → A
определим следующим образом:
f |
f−1 |
если x → y, то y |
→ x, т.е. элементу y B ставится в соответствие |
тот элемент x A, образом которого при отображении f является y. Отображение f−1 : B → A называется обратным по отношению к исходному отображению f : A → B (см. рис. 3.2).
Рис. 3.2 Обратное отображение
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Если же отображение f : A → B не является биективным, то для любого y0 f(A) B необходимо найдётся такое x0 A, что
f(x0) = y0,
но подобных значений x0 может оказаться и несколько. В этих случаях говорят, что обратное отображение многозначное.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Во многих случаях можно выбрать подмножества A1 A и B1 B так, что отображение f : A1 → B1 будет биективным (см. рис. 3.3).
|
|
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
π |
π |
3π |
|
−2 |
2 |
|
2π |
π |
|
|
−32π−π |
0 2 |
2π x |
|
|
|
−1 |
|
Рис. 3.3 График функции y = sin x
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.1.3.1. О графиках прямой и обратной функции.
Пусть A, B R и f : A → B – биекция. Тогда можно определить обратную ей функцию
f−1 : B → A. Рассмотрим их графики graff, graff−1 R2, заданные уравнениями: y = f(x), y = f−1(x). Имеем:
|
49 |
|
|
3.1.3 |
((x1, y1) graff) (y1 |
= f(x1)) |
x1 |
= f−1(y1) 49 (y1, x1) |
|
graff−1 . |
|
|
|
|
Итак:
((x1, y1) graff) (y1, x1) graff−1 .
Это означает, что графики прямой и обратной функции симметричны относительно биссектрисы 1-3 координатных углов (см. Рис. 3.4).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
y |
|
|
graff−1 |
|
graff |
0 |
x |
Рис. 3.4 Графики прямой и обрат- |
ной функций
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
