Шпоры 2 семестр / Экзамен / 22-48

22)Опр: Число А предел функции приесли,лишь только.. Пример: не. Т.к

1., . 2. .

Пр: ;,.

Рассмотрим Фиксируемдалее. Аналогично- это повторный предел.

Пример: ,т.к но не.

23)Опр называется непрерывной в точкеесли.

Теоремы Вейерштрасса:

1)Сумма частное произведение и разность непрерывных ф-ции есть функция непрерывная.

2)Ф-ция непрерывна в точке пространства а ф-ции ,,непрерывны в точке пространства к тому же

,,тогда непрерывна в точке

3)Ф-ция непрерывна в точке и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа в некоторой окрестности точки

4)Пусть ф-ция определена и не прерывна на тогда множество точекгде она удовлетворяет неравенству (или)какой бы ни была постоянная , есть открытое мн-во

24)Опр: Рассмотрим определенных в т. и некоторой ее окрестности и рассмотрим (данное приращение не выходит из окр.) . Аналогично определяются частные производных и других переменных.

Опр: Рассмотрим ,Если то -частные дифференциалы.

Опр: Производные высших порядков.

Рассмотрим функцию , определенную на некотором промежутке . Вычислим производную, которая также является функцией на . Производной второго порядка от функции называется производная от ее производной: . Аналогично определяют производную любого порядка:

Пример: при . ;

.

;.

25)Опред: Приращение функции Далеегде,и зависят от при.

Теорема: пустьОпределена и непрерывна в т. и некоторой ее окрестностии непрерывны,,(в некоторой окр)тогдаи,,.

Док-во: (применяем теорему Лагранжа) . , где. Если положить, ;;

, где при..

Полный дифференциал: где

,,.Полный дифференциал есть сумма частных дифференциалов.

Определение: Функция называется дифференцируемой в точке если или пользуясь доказанной теоремой .Пример: ;; ;непрерывна на.при;при.;.на но не является дифференцируемой в т. при. .Если дифференцируема в т. то .,т.е ,т.е нет стремления к нулю. Значит данная ф-ция не диф-ма в нуле. Существует производная в точке но в ней не является диф-мой. Из дифференцируемости функции следует частной производной, а из частной производной дифференцируемость не следует 

26) Геометрическая интерпретация диф-сти в случае(ф-ция 2-х переменных).

Ф-циядиф-ма в точке где касательная плоскости к поверхности.

Ур-ие касательной к плоскости. .

27)Производная сложной функции. Пусть в открытой области, ,,где принадлежит некоторому интервалу. В области и непрерывна,,. На интервале изменения,,.;. Пусть,,;определены в некоторой открытои области .;. .

28) Теорема: пустьОпределена и непрерывна в т. и некоторой ее окрестностии непрерывны,,(в некоторой окр)тогда формула конечных приращении

и,,.

Док-во: (применяем теорему Лагранжа) . , где. Если положить, ;;

, где при..

29) Производная по направлению.

Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению: , где - направляющие косинусы вектора.

Док-во: .

30)Инвариантность формы первого дифференциала. Пусть диф-ма

. Док-во: Еслине является не зависимыми,, тогда в предположении что функцииявляются диф-мы в этом случае диф-ал записывают

но пользуясь производной сложнои функции. ;;. Для ф-ции многих переменных;;.

31) Теорема Шварца: Пустьзадана в открытой области,,,,в точке . иНепрерывны тогда .

Док-во: Рассмотрим выражение гдеи.

Для определения можно считать что ицеликом в.

Рассмотрим: непрерывна и навыполняются все условия теоремы Лагранжа для.где. где. Если ввести в рассмотрениеи повторить рассуждения то гдепо условию теоремы в точкеиНепрерывны тогда переходя к пределу в равенстве .

32)Дифференциалы высших порядков.

Пусть в областизадана,непрерывны . Легко видеть что дифференциал ф-ция переменных . Предположим что частная производная второго порядка ф-циинепрерывна тогда.Аналогично .

33)Воспоминания: Пусть и производная порядкав точке .

Ф-ла Тейлора: гдеЕсли ,то .

Пр:,..

34)Пусть в областизадана функция и точкавнутренние точки. Определенная точканазывается точкой если целиком лежащая в что (для ).

35)Необходимое условие экстремума. Пусть ти в этой точке и конечна частная производная первого порядкатогда,. Док-во:Так как по условию тточка экстремума то по теореме Фермаи Рассуждения для остальных координат проводятся аналогично.

36)Рассмотрим где,икоординаты Эл-та - функция называется квадратичная форма. .

Кв. форма является положительно определенной если она больше 0. Кв. форма является отрицательно определенной если .

Критерии Сильвестра: кв. форма является положительно определенной (точка min) есливсе главные миноры матрицы кв. формы положительные. Является отрицательно определенной (точка max) если все главные миноры матрицы кв. формы меняют знак начиная с минуса.

Рассмотрим: , ,Значит это можно определить к задаче о нахождении экстремума 

37)Дифференциальные уравнения

Опред: Пусть ;определены и существуют. Тогда -дифференциальное Ур-ие. Порядком Ур-ия называется наивысший порядок производной который является аргумент ф-ции. Решением называется ф-циятакая что при подстановки ее вместе с производными в равенство оно становится верным.

Рассмотрим где определена в .

Теорема(Существования единственности.)

Пусть дана задача Коши. , и непрерывны в.