Шпоры 2 семестр / Экзамен / 22-48

1) в которойрешение задачи Коши.

2) Пусть и решение задачи Коши, тогда в .

Определение: Пусть дано , решение данного уравнения. Кривая на соответствующая называется интегральной кривой.

Геометрическая интерпретация теоремы о единственности: через каждую точкупроходит единственная интегральная кривая.

Пример: , . Легко видеть что решение . (рис.) На прямой не выполняется теорема о единственности, т.к данная ф-ция не является непрерывной при .

38)Опред: Диф. Ур-ия первого порядка разрешенной относительно производной :

1)Диф Ур-ия с разделяющимися переменными , . Для решения надо знать что Пример: ,

2)Однородные диф Ур-ия: Замена ;,;. Пример: ;,,,.

39) Линейные уравнения: где, - линейное однородное.линейное не однородное.

Решение линеиного Ур-ия ,, ,;, .

, ,,, .

Пример: ;

;;

,,,;.

40) Ур-ие в полных дифференциалах

инепрерывны и дифференцируемы в области . Если выполняется условие то ,.

При решении ДУ вида сначала проверяем выполнение условия . Затем используя равенства инаходим ф-цию такую что .

Пример: ; ;; ,, ,Они должны быть равны. ;.

41)Определение: Линейное однородное дифференциальное Ур-ие порядка . где, ,.

Линейное неоднородное дифференциальное Ур-ие порядка . где, ,.

Теорема: Пусть и решения ЛОДУ, тогда- решение ЛОДУ.

Док-во: Теорема: Пусть и решения ЛНДУ, тогда- решение ЛОДУ.

Док-во: .

Теорема: общее решение ЛНДУ есть сумма общего решения ЛОДУ и частного решения ЛНДУ

Рассмотрим:где ,,. Это ЛОДУ порядка с постоянными коэффициентами.

Определение: Система линейно независимых решении ЛОДУ называется фундаментальной системой решении.

Определение: называется характеристическим Ур-ием.

Если частные решения ЛОДУ образуют ФСР то общим решение этого ур-ия будет .

42)Теорема: ФРС ЛОДУ(подразумеваем с постоянными коэффициентами) в случае простых вещественных корней характеристическое Ур-ие имеет вид.

Определение: Пусть ФСР ЛОДУ тогда решение этого Ур-ия где ,.

Пример:, .;; Таким образом ФСР ,..

Рассмотрим: ,число называется кратностью корняЕслито корень называется простым.

43)Рассмотрим: ,число называется кратностью корняЕслито корень называется простым.

Теорема: Вещественному корнюхарактеристического многочлена кратности соответствуют -ф-ции ФСР: .

Пример: ;. ФСР ;.

44)Теорема: Пусть многочлен степени с вещественным коэффициентом и корень данного многочлена тогда сопряженная- корень.

Теорема: простой корень характеристического Ур-ия ;() тогда паре корней и соответствует 2 эл-та ФСР. ,.

Теорема: Пусть (следовательно и )корень кратности характеристического Ур-ия. Тогда паре исоответствуют ф-ции являющиеся Эл-тами ФСР. ,(где )

45)Теорема: общее решение ЛНДУ есть сумма общего решения ЛОДУ и частного решения ЛНДУ

Опр: Ф-ция или где имногочлены степени n называются квазимногочленами.

Теорема: Пусть дано ЛНДУ с правой частью квазимногочленом. Тогда Если число не является корнем характеристического уравнения то частное решение

46) Теорема: общее решение ЛНДУ есть сумма общего решения ЛОДУ и частного решения ЛНДУ

Опр: Ф-ция или где имногочлены степени n называются квазимногочленами.

Теорема: Пусть дано ЛНДУ с правой частью квазимногочленом. Тогда Если число является корнем характеристического уравнения кратности k то частное решение

48) Система функций называется линейно зависимой на интервале , если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на : для .

Пример: Линейно зависимой системы ф-ции на . ,,.

Определение: Система ф-ции , называется линейно независимой на если ,.

Линейно независимая система ,где всеразличны.