1)Опред. Пусть f(x) определена на xR. Ф-ция F(x) называется первообразной для f(x), если xX

Теорема. 1)Пусть F(x) первообразная для f(x), тогда F(x)+С также первообразная для f(x), где С – const

Обратно. 2) Если Ф(x)-первообразная для f(x), то Ф(x) можно представить в виде F(x)+С

Док-во. 1)= F(x)+С- первообразная для f(x).

2)Ф(x)-первообразная= f(x) Ф(x) и F(x) имеют одинаковую производную, то Ф(x) - F(x) = С Ф(x)= F(x) + С

Опред. Совокупность всех первообразных для ф-ции f(x), называется неопределенным интегралом

Теорема.(линейность неопределенного интервала )

Пусть f(x) и q(x) задана на ХR. -const, тогда

1)

2)

Док-во. 1) = =f(x)

2) ==f(x)+q(x)

Следствие. = +, где ,- const

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

2)Замена переменной в неопределенном интеграле.

Пусть и q(x) непрерывна. =;-непрерывна; и непрерывна . G(t)=G(). По теореме о производной сложной функции имеем =.

Примеры.

1. ====

2. ====

3.= ==

4. =

7. ===+С

=

8. =

9.== =

10.===”Высокий логарифм”

12.==== ”Длинный логарифм”

Формула для интегрирования по частям

Пусть U=f(x), V=q(x), , определены и непрерывны на XR

d(uv)=udv+vdu, udv=d(uv)-vdu,=uv

Примеры:

1.= =

2.===

3.=====

3)Интегрирование рациональных функции и элементарных дробей

1. 2. 3. 4. где A, M, N, p, q, a , nи n>1 ур. не имеет вещественных корней.

1. =

2. ==

3.

=

Положим , , т.е ,.

=

====

4)

Как и в 3-ем ,

====

Пример: =, nN ====,

== Т.к ==можно наитии

Интегрирование рациональных функции

Опр. 1. где и ,

2. Число а называется корнем многочлена если

3.Число а называется корнем многочлена кратности n если где многочлен и

4.Степенью многочлена называется наибольший показатель степени переменной х .

5.Рациональной функцией называется дробь где -множители

6.Дробь называется правильной если <

Теорема. всякий многочлен с вещественным коэффициентом на множестве вещественных чисел единственным образом представляется в виде где квадратный трехчлен не имеет вещественных корней все коэффициенты вещественные и

Теорема. Всякая правильная рациональная дробь где единственным образом представляется в виде

Пример:

;

5)Некоторые способы интегрирования некоторых иррациональных выражении

1. ,где рациональная функция, и

Пусть , , .

, , -рациональная функция

Пример: .

6) Предположим что не является полным квадратом.

Подстановки Эйлера

I. a>0

= или

=

.=,

II. C>0

= или

=,

.=

III =, и

=, ==

,

=

,=

Пример .

,,.

7) , , не является полным квадратом,многочлен степени m.

, где .

Рассмотрим.

==,

При ,

При , , , ,

Пример:

;,

8), . ===.=. Пример: .

9)Интегрирование тригонометрических выражении.

. Универсальная тригонометрическая подстановка - тогда . . . Следовательно . Пример: .

Если =. Аналогично=. Пример: =. Пример:

Замечание: существуют интегралы которые в элементарных функциях не выражаются.

10)Определенные интегралы.

(рис.) Рассмотрим отрезок задана на . Напроизвольно выбираем точки . Точки задают разбиение отрезка.

. На произвольно выбирается точка . Интегральная сумма - . Если конечный предел независящий от разбиения и значенийто этот предел I называют определенным интегралом ф-ции на и записывают .

Классы интегрирования ф-ции.

1. Непрерывная на , интегрируема.

2. Ограниченная на , с конечным числом точек разрыва - интегрируема.

3.Монотонно ограниченная ф-ция на - интегрируема.

11)Св-ва интегрируемой функции и определенного интеграла.

1. Пустьи интегрируемы на и тогда . Док-во: по условию и конечны и (где-интегральная сумма дляаналогично с ) интеграл будет если такой предел что

2. Пустьинтегрируема натогдаиинтегрируемы на,

3. Пустьиинтегрируемы натогда ,интегрируемы на.Замечание: если предположить чтоинепрерывны натогда , ,,непрерывны наинтегрируемы.