3.6. Воздействие сигналов на нелинейные элементы

Основные преобразования сигналов осуществляются с помощью либо нелинейных электрических цепей, либо линейных цепей с переменными параметрами. Однако последние реализуются тоже с помощью нелинейных элементов (например, емкость р-п-перехода в полупроводниковом диоде).

Следует различать резистивные (сопротивления) и реактивные (индуктивности, емкости) нелинейные элементы.

Наиболее характерными и распространенными резистивными нелинейными элементами являются полупроводниковые, ламповые и любые другие приборы, используемые для усиления или преобразования сигналов и имеющие нелинейную вольтамперную характеристику. Важным параметром резистивного нелинейного элемента является крутизна его характеристики. На рис 3.11 приведены различные режимы работы нелинейного элемента.

Рис. 3.11. Различные режимы работы нелинейного элемента

На рис. 3.11а в рассматриваемой рабочей точке U₀ действует слабый сигнал е(t). Это соответствует линейному режиму работы нелинейного элемента, которая характеризуется дифференциальной крутизной:

. (3.47)

При воздействии сильного сигнала (рис. 3.11 б), что соответствует существенно нелинейному режиму работы элемента, вводится понятие средней крутизны. Средняя крутизна определятся с учетом формы вольтамперной характеристики нелинейного элемента в широких пределах, зависящих от амплитуды входного сигнала.

Примером нелинейной емкости может служит любое устройство с нелинейной вольткулонной характеристикой q(и) или вольтфарадной характеристикой с(и)= q(и) / и.В качестве нелинейной индуктивности L(i)может быть использована катушка с ферромагнитным сердечником, обтекаемая сильным током, доводящим сердечник до магнитного насыщения.

Для анализа нелинейных цепей необходимо задать вольтамперные или иные аналогичные характеристики нелинейных элементов в аналитической форме. Реальные характеристики обычно имеют сложный вид, что затрудняет точное их описание с помощью достаточно простого аналитического выражения.

Широкое распространение получили способы представления характеристик относительно простыми функциями лишь приближенно отображающими истинные характеристики. Замена истинной характеристики приближенно представляющей её функцией называется аппроксимацией характеристики.

Оптимальный выбор способа аппроксимации зависит от вида нелинейной характеристики, а также от режима работы нелинейного элемента. Одним из наиболее распространенных способов является аппроксимация степенным полиномом.

Запишем аппроксимирующий степенной полином в форме:

i(и)= i(U₀ ) + a₁(и - U₀ ) + a₂ (и - U₀ )² + a₃ (и - U₀ ) ³ + … (3.48)

Коэффициенты a₁, a₂, a₃, …– определяются выражениями:

,

,

. (3.49)

Нетрудно видеть, что a₁ представляет собой крутизну характеристики в точке и = U₀, a₂– первую производную крутизны (с коэффициентом 1/2!), a₃– вторую производную крутизны (с коэффициентом 1/3!) и т.д. При заданной форме вольтамперной характеристики коэффициенты a₁, a₂, a₃, …существенно зависят от U₀, т.е. от положения рабочей точки на характеристике.

При очень больших амплитудах сигнала часто удобнее заменять реальную характеристику идеализированной, линейно-ломаной, составленной из отрезков прямых линий. Такое представление характеристики называется кусочно-линейной аппроксимацией (см. 3.12).

Рис. 3.12. Пример кусочно-линейной аппроксимации характеристики

Следует особо подчеркнуть, что замена реальной нелинейной характеристики линейными отрезками не означает линеаризации цепи. Например, несмотря на то, что на участке b-c (рис.3.12) характеристика линейна по отношению к сигналу, захватывающему область изменения а-с, система в целом является существенно нелинейной.

Рассмотрим воздействие узкополосного радиосигнала на безынерционный нелинейный элемент. Под безынерционным нелинейным элементом подразумевается любой электронный прибор с нелинейной вольтамперной характеристикой при использовании его в диапазоне частот, на которых можно пренебречь влиянием паразитных параметров (внутренних емкостей и индуктивностей).

Рассмотрим режим работы, при котором вольтамперная характеристика i(и) удовлетворительно аппроксимируется степенным полиномом (3.48).

Сигнал е(t) зададим в форме гармонического колебания:

е(t) = Е cos(ω₁ t +₁) = Е cosψ₁(t),(3.50)

подставив в (3.48) и - U₀=e(t), получим:

i(и)= i(U₀ ) + a₁Е cos ψ₁ (t) + a₂ Е² cos ²ψ₁ (t) + a₃ Е³ cos ³ψ₁ (t) + … (3.51)

С помощью тригонометрических соотношений:

cos² х = 1/2 + 1/2cos2 х,

cos³ х = 3/4cos х + 1/4cos3 х,

cos⁴ х = 3/8 + 1/2cos2 х + 1/8cos4 х,

cos⁵ х = 5/8cos х +5/16cos3 х + 1/16cos5 х,и т.д.,

выражение (3.51) приводим к виду:

i (t) = [i(U₀ ) +1/2 a₂ Е² + 3/8 a₄ Е⁴ + …] + ( a₁ Е +3/4 a₃ Е³ +

+ 5/8 a₅ Е⁵ +…) cos ψ₁ (t) + (1/2 a₂ Е² +1/2 a₄ Е⁴ + …) cos 2ψ₁ (t) +

+ (1/4 a₃ Е³ +5/16 a₅ Е⁵ +…) cos 3ψ₁ (t) +

+ (1/8 a₄ Е⁴ + …) cos 4ψ₁ (t) + (1/16 a₅ Е⁵ + …) cos 5ψ₁ (t) + …=

= I₀ + I₁ cos ψ₁ (t) + I₂ cos 2ψ₁ (t) + I₃ cos 3ψ₁ (t )+ … (3.52)

Из этого выражения видны следующие проявления линейности вольтамперной характеристики при гармоническом воздействии:

 ток покоя i(U₀ )получает приращение, обусловленное коэффициентами a₂ ,a₄ , … при четных степенях полинома (3.48):

I₀ = i(U₀ ) + 1/2 a₂ Е² + 3/8 a₄ Е⁴ + …; (3.53)

 амплитуда I₁гармоники основной частоты ω₁ связана с амплитудой возбуждения Е нелинейным соотношением, обусловленным нечетными степенями полинома (3.48):

I₁ = a₁ Е + 5/8 a₃ Е³ +… (3.54)

 i(t)ток содержит высшие гармоники с частотами 2ω₁, 4ω₁, … обусловленные четными степенями, а гармоники с частотами 3ω₁, 5ω₁, … – нечетными степенями полинома (3.48).

Очевидны такие следующие положения:

 наивысший порядок гармоник совпадает со степенью k полинома, аппроксимирующего характеристику нелинейного элемента;

 полная фаза n-й гармоники: ψ_n(t) =nω₁ t +n₁.

Выражения (3.51) – (3.54) полностью сохраняют свою структуру при замене постоянной начальной фазы ₁, модулированной фазой ₁(t) =_1maх s (t). Из этого следует, что сформулированные выше положения можно распространить также и на воздействие частотно-модулированного сигнала на безынерционный нелинейный элемент (при постоянной амплитуде). Необходимо лишь каждую из гармоник тока с амплитудой I_n трактовать как несущее колебание, модулированное по углу. Это объясняется тем, что при угловой модуляции амплитуда колебания, несмотря на возникновение спектра боковых частот, остается неизменной.

Для первой (основной) гармоники индекс угловой модуляции совпадает с _1maх=m₁,а для высших гармоник индекс _1maх=nm₁. Соответственно в nраз увеличивается и девиация частоты.

Сказанное иллюстрируется рис. 3.13, где частота модуляции Ω<<ω₁. С увеличением номера гармоники ширина спектра боковых частот возрастает, но, как отмечалось выше, амплитуда суммарного колебания остается равной I_п.

Рис. 3.13. Спектр тока при гармоническом воздействии на резистивный элемент (а) и то же при частотной модуляции (б)

Для амплитудно-модулированного колебания, когда Е = Е (t) , нелинейность характеристики может коренным образом исказить форму передаваемого сигнала (нелинейное резонансное усиление, амплитудное ограничение и т.д.).

Рассмотрим воздействие суммы гармонических сигналов на нелинейный резистивный элемент.

Представим колебание в виде суммы:

е(t) = Е₁ cos(ω₁t+₁) + Е₂ cos(ω₂t+₂) = Е₁ cosψ₁(t) + Е₂ cosψ₂(t). (3.55)

Подстановка (3.55) в ряд (3.48) приводит к следующим результатам:

 для линейного члена ряда:

а₁ е(t) = а₁Е₁ cosψ₁(t) + а₂ Е₂ cosψ₂(t); (3.56)

 для квадратичного члена ряда:

а₂ е²(t) = а₂[ Е₁ cosψ₁(t) + Е₂ cosψ₂ (t)]² =

= а₂Е₁ ² cos² ψ₁(t) + а₂ Е₂² cos² ψ₂ (t) + 2 а₂ Е₁ Е₂ cosψ₁(t) cosψ₂ (t) =

= 1/2 а₂ (Е₁ ²+ Е₂²) + 1/2 а₂ Е₁ ² cos² (ω₁t+₁) +

+ 1/2 а₂ Е₂ ² cos 2(ω₂t+₂) + а₂ Е₁ Е₂ {cos[(ω₁ +ω₂)t+

+ (₁ + ₂)] + cos [ (ω₁ - ω₂ ) t + (₁ - ₂)] }. (3.57)

Первое слагаемое, не зависящее от времени, определяет приращение постоянного тока. Слагаемые с частотами 2ω₁ и 2ω₂ представляют собой вторые гармоники от соответствующих компонентов входного сигнала. Слагаемые же с частотами ω₁ +ω₂и ω₁ -ω₂представляют комбинационные колебания.

Частоты, образуемые квадратичным слагаемым а₂ е²(t), можно записать в форме:

ω = mω₁ ± nω₂,

где коэффициенты mи nмогут принимать следующие значения:

–гармоники второго порядка,

–комбинационные частоты второго

порядка.

Проделав преобразование, аналогичное (3.57), над кубическим слагаемым а₃е³(t), убедимся, что это слагаемое вносит в спектр частоты ω =mω₁ ±nω₂ при следующих значениях mи n:

–гармоники первого порядка,

–гармоники третьего порядка,

–комбинационные частоты

третьего порядка.

Приведенных выражений достаточно для установления закономерности образования частот гармоник и комбинационных колебаний при воздействии двух гармонических составляющих на нелинейный элемент:

 слагаемые ряда (3.48) четной степени вносят в спектр тока гармоники и комбинационные частоты четных порядков;

 слагаемые ряда (3.48) нечетной степени вносят в спектр тока гармоники и комбинационные частоты нечетных порядков;

 число р = m+nопределяет порядок колебаний, причем максимально возможный порядок р_maх=k, где k – степень полинома, аппроксимирующего нелинейную характеристику.

Полученные результаты могут быть обобщены и на случай воздействия суммы большого числа гармонических составляющих на нелинейный элемент.

Содержание настоящего параграфа показывает, что нелинейная цепь преобразует спектр входного сигнала: возникают гармоники на кратных частотах и различные комбинационные колебания.

Принцип работы многих устройств преобразования сигналов основан на использовании тех или иных составляющих спектра тока на выходе безынерционного нелинейного элемента. Обобщенную структурную схему подобных устройств можно представить в виде сочетания нелинейной цепи и линейного фильтра (рис. 3.14).

Рис. 3.14. Нелинейный четырехполюсник и избирательная цепь для выделения полезных составляющих спектра

На рис. (3.14) изображена схема, соответствующая «развязанным» нелинейному и линейному элементам, когда отсутствует обратная реакция выходного сигнала на ток в нелинейной цепи. Нелинейная функция f(е), описывающая характеристику нелинейного элемента, зависит от его устройства и от режима работы. Через z (ω) обозначено сопротивление (комплексное) линейной частотно-избирательной цепи. Структура этой цепи, частотная характеристика и полоса пропускания выбираются в зависимости от назначения устройства.