3.3. Угловая модуляция

Рассмотрим теперь частотную и фазовую модуляции гармонического носителя информации. При изменении частоты всегда меняется фаза колебаний, а при изменении фазы меняется частота. Этим определяется общий характер частотной (ЧМ) и фазовой (ФМ) модуляции. Поэтому их часто объединяют под общим названием угловой модуляции.

Для простого гармонического колебания:

s (t) =А₀ cos(ω₀ t + ₀ ) = А₀cos ψ (t);

набег фазы (изменение фазы) за какой-либо конечный промежуток времени от t=t₁до t=t₂ равен:

ψ(t₂)-ψ(t₁) = (ω₀t₂+₀ ) - (ω₀t₁+₀ ) = ω₀(t₂-t₁) (3.7)

Отсюда видно, что при постоянной угловой частоте набег фазы за какой-либо промежуток времени пропорционален длительности этого промежутка.

С другой стороны, если известно, что набег фазы за время (t₂-t₁)равен ψ(t₂) -ψ(t₁),то угловую частоту можно определить как отношение:

(3.8)

Отсюда видно, что угловая частота есть не что иное, как скорость изменения фазы колебания.

В случае сложного колебания, частота которого меняется во времени, равенства (3.7) и (3.8) следует заменить интегральными и дифференциальными соотношениями:

(3.9)

_(3.10)

В этих выражениях ω(t) =2 πf(t) – мгновенная угловая частота колебания; f(t) – мгновенная частота.

Согласно выражениям (3.9), (3.10) полную фазу высокочастотного колебания в момент t можно определить как:

(3.11)

где первое слагаемое в правой части определяет набег фазы за время от начала отсчета до рассматриваемого момента t. ₀ – начальная фаза колебания (в момент t= 0 ).

Полную фазу колебания можно представить в виде:

ψ(t) =ω₀(t) + (t) +₀ .

Тогда общее выражение для высокочастотного колебания, амплитуда которого постоянна, т.е. А (t) =А₀ , а аргумент ψ(t)модулирован, записывается в следующей форме:

s (t) =А₀ cos [ω₀ t + (t) + ₀]. (3.12)

Соотношения (3.10), (3.11), устанавливающие связь между изменениями частоты и фазы, указывают на общность двух разновидностей угловой модуляции - частотной и фазовой.

Поясним эти соотношения на примере простейшей гармонической ЧМ, когда мгновенная частота колебания определяется выражением:

ω(t) =ω₀+ωcosΩt, (3.13)

где ω=2 πf представляет собой амплитуду частотного отклонения. Для краткости  в дальнейшем будем называть девиацией частоты или просто девиацией. Через ω₀и Ω,как и при АМ, обозначены несущая и модулирующая частоты.

Составим выражение для мгновенного значения колебания (тока или напряжения), частота которого изменяется по закону (3.13) а амплитуда постоянна.

Подставляя в (3.11) (t) из уравнения (3.13), получаем:

(3.14)

Таким образом:

(3.15)

Фаза колебания s (t) наряду с линейно возрастающим слагаемым ω₀t содержит

еще периодическое слагаемое . Это позволяет рассматривать s(t)как

колебание, модулированное по фазе. Закон этой модуляции является интегральным по отношению к закону изменения частоты. Именно модуляция частоты по закону

_дcosΩt приводит к модуляции фазы по закону . Амплитуду изменения

фазы

(3.16)

называют индексом угловой модуляции.

Заметим, что индекс модуляции совершенно не зависит от средней (немодулированной) частоты ω₀, а определяется исключительно девиацией ω_ди модулирующей частотой Ω.

Рассмотрим теперь противоположный случай, когда стабильное по частоте и фазе колебание пропускается через устройство, осуществляющее периодическую модуляцию фазы по закону (t) = _maх sinΩt, так что колебание на выходе устройства имеет вид:

s (t) =А₀ cos [ω₀ t + _maх sinΩt + ₀]. (3.17)

Используя выражение (3.10), находим частоту этого колебания:

(3.18)

Учитывая соотношение (3.16), приходим к выводу, что _maх Ω=ω_д.Таким образом, гармоническая модуляция фазы с индексом _max эквивалентна частотной модуляции с девиацией _д =_maх Ω.

Из приведенного примера видно, что при гармонической угловой модуляции по характеру колебания нельзя заключить, с какой модуляцией мы имеем дело – с частотной или фазовой. Иное положение при негармонической модулирующей функции. В этом случае вид модуляции – частотной или фазовой – можно установить непосредственно по характеру изменения частоты и фазы во времени.

При гармоническом модулирующем сигнале различие между ЧМ и ФМ можно выявить, только изменяя частоту модуляции.

При ЧМ девиация ω_д пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты модуляции.Это означает, что индекс модуляции m (3.16) прямо пропорционален амплитуде модулирующего колебания и обратно пропорционален его частоте.

При ФМ величина _maх пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты модуляции. Таким образом, при фазовой модуляции девиация частоты пропорциональна m (или амплитуде модулирующего колебания) и частоте модуляции.

Рассмотрим спектр колебания при гармонической угловой модуляции, используя выражение:

s (t) =А₀ cos (ω₀ t + m sinΩt). (3.19)

Эта формула совпадает с (3.15) и (3.17) при модуляции частоты по закону ω(t) =ω₀+ω_дcosΩt.Начальная фаза ₀, а также начальная фаза модулирующей функции γ опущены для упрощения выкладок. В данном случае (t) = m sinΩt.

Преобразуем выражение (3.19) к виду:

s (t) =А₀ cos (m sinΩt) cosω₀ t - А₀ sin (m sinΩt) sinω₀ t (3.20)

Отсюда сразу видно, что модулирующая функция подвергается нелинейному преобразованию (cos (t) и sin (t)). Это означает, что при одном и том же передаваемом сообщении спектр колебания, модулированного по углу, значительно сложнее, чем спектр амплитудно-модулированного колебания. При угловой модуляции спектр модулированного колебания нельзя получить простым сдвигом спектра сообщения на величину несущей частоты ω₀, как это имеет место при АМ. При угловой модуляции связь между спектрами сообщения и модулированного колебания оказывается более сложной.

Учитывая, что множители cos(msinΩt) и sin(msinΩt) являются периодическими функциями времени, разложим их в ряд Фурье.

В теории бесселевых функций доказываются следующие соотношения:

sin (m sinΩt) = 2J₁ (m) Sin Ωt +

+2J₃ (m) sin 3 Ωt + 2J₅ (m) sin 5 Ωt + … (3.21)

cos (m sinΩt) = J₀ (m) + 2J₂ (m) cos 2 Ωt +

+ 2J₄ (m) cos 4 Ωt + … . (3.22)

Здесь J_п(m)– бесселева функция первого рода п-го порядка от аргумента m. С помощью соотношений (3.21) и (3.22) уравнение (3.19) можно привести к следующей форме записи:

s (t) =А₀ cos (ω₀ t + m sin Ωt) = А₀ { J₀ (m) cosω₀ t +

+J₁(m) [cos (ω₀ + Ω)t - cos(ω₀ - Ω)t] +

+J₂(m) [cos (ω₀ +2Ω)t - cos(ω₀ - 2Ω)t] +

+J₃(m) [cos (ω₀ + 3Ω)t - cos(ω₀ - 3 Ω)t] + …}. (3.23)

Таким образом, при частотной и фазовой модуляциях спектр колебания состоит из бесконечного числа боковых частот, расположенных попарно симметрично относительно несущей частоты ω₀ и отличающихся от последней на пΩ, где п – любое целое число. Амплитуда п-й боковой составляющей А_п = =J_п(m)А_{0 ,} где А₀ –амплитуда немодулированного колебания, а m – индекс модуляции. Спектры колебаний при различных индексах модуляции приведены на рис. 3.7.

Рис.3.7. Спектр колебания при угловой модуляции для различных индексов модуляции m

При значительном увеличении индекса модуляции (m>>1 ), оказывается, что величина J_п(m) при nm+ 1быстро убывает до нуля. Это дает возможность определить ширину спектра колебания с угловой модуляцией:

2n _maх Ω2mΩ .

Но m=ω_д /Ω , следовательно, при больших индексах модуляции ширина спектра модулированного колебания близка к удвоенной девиации частоты:

2n _maх Ω≈ 2ω_д . (3.24)

Здесь n _maх – максимальное число спектральных составляющих.

В заключение отметим одно важное для практических приложений следствие. Особенностью спектра частотно-модулированного колебания, в отличие от фазо-модулированного, является практическая независимость его ширины от частоты модуляции. При увеличении Ω индекс модуляции уменьшается пропорционально Ω, а ширина спектра при этом остается постоянной. Причем спектральные составляющие на рис. 3.7 «раздвигаются», а учитываемое их

количество уменьшается. Для фазо-модулированного колебания индекс

модуляции не зависит от Ω.Поэтому с увеличением Ω ширина спектра увеличивается, а спектральные составляющие, не изменяясь по амплитуде и количеству (амплитуды равны А₀ J_n(m), а m=const), «раздвигаются» по частоте.