3.5. Узкополосный сигнал

Современное состояние техники характеризуется непрерывным совершенствованием способов передачи информации. Изыскиваются новые виды сигналов и новые способы их обработки.

Рассмотренные в предыдущих параграфах модулированные колебания являются лишь простейшими видами сигналов. В настоящее время широко применяются сигналы, полученные в результате модуляции амплитуды и частоты (или фазы) колебания по очень сложному закону.

В любом случае предполагается, что заданный сигнал s (t) представляет собой узкополосный процесс. Это означает, что все специальные составляющие сигнала группируются в относительно узкой, по сравнению с некоторой центральной частотой ω₀ , полосе.

При представлении подобных сигналов в форме:

s (t) = А(t)cos ψ(t) (3.26)

возникает неоднозначность в выборе функций А(t) и ψ(t), так как при любой ψ(t)-функции всегда можно удовлетворить уравнению (3.26) надлежащим выбором функции А(t).

Так, простейшее (гармоническое) колебание

s (t) = А₀ cosω₀ t (3.27)

можно представить в форме

s (t) = А (t) cosω t, (3.28)

где ω₀ = ω₀ + ∆ω.

В выражении (3.28) огибающая А (t), в отличие от А₀, является функцией времени, которую можно определить из условия сохранения функции s (t):

А₀ cosω₀ t= А (t) cos(ω₀ + ∆ω)t,

откуда

^(3.29)

Из этого примера видно что при нерациональном выборе ψ(t) (ω tвместо ω₀ t) очень усложнилось выражение для А(t), причем эта новая функция А(t) по существу не является «огибающей» в общепринятом смысле, так как она может пересекать кривую s (t) (вместо касания в точках, где s (t) имеет максимальное значение). Оперирование подобной «огибающей» не имеет смысла, а в некоторых случаях и недопустимо, так как может привести к ошибочным практическим выводам.

Неопределенности можно избежать при представлении А(t) и ψ(t) с помощью следующих соотношений:

, (3.30)

, (3.31)

где s₁ (t)– новая функция, связанная с исходной соотношениями:

, (3.32)

. (3.33)

Эти соотношения называются преобразованиями Гильберта, а функция s₁ (t)– функцией, сопряженной (по Гильберту) исходной функции s (t).

Если функция s₁ (t)является сопряженной по Гильберту функции s (t), то функция s₁ (t)обращается в нуль в точках, где функция s (t) принимает значения, близкие к амплитудным. В этих же точках кривые А(t) и s (t)имеют общие касательные.

Применяя преобразование Гильберта к функции s (t) = cosω₀ t, нетрудно убедиться, что сопряженная функция s₁ (t) = sinω₀ t.Аналогично, при s (t) = sinω₀tполучаем s₁ (t) = - cosω₀ t.

Подставляя s (t)и s₁ (t)в выражение (3.30), получаем для огибающей гармонического колебания известный результат:

В данном случае получается «простейшая» огибающая в виде линии, касательной к исходной функции в точках её максимума и соединяющей эти точки кратчайшим путем. Это свойство выражения (3.30) сохраняется и для сложного сигнала, если выполняется условие медленности изменения огибающей, т.е. речь идет об узкополосным сигнале.

Если исходный сигнал представляет собой сумму спектральных составляющих

, (3.34)

то сопряженная функция

. (3.35)

Ряд (3.35) называется рядом, сопряженным ряду (3.34). Если сигнал представлен интегралом Фурье:

, (3.36)

то функция s₁ (t)может быть представлена в виде интеграла

, (3.37)

сопряженного интегралу (3.36).

Нетрудно установить связь между спектрами функций s (t) и s₁ (t). Так как при преобразовании гармонического колебания по Гильберту его амплитуда остается

неизменной, то очевидно, что по модулю спектральная плотность сопр яженной функции s₁ (t)не может отличаться от исходной функции s (t). Фазовая же характеристика спектра отличается от ФЧХ спектра . Из сопоставления (3.36) и (3.37) непосредственно вытекает:

. .

S₁(ω) = - j S(ω), ω > 0; (3.38)

S₁(ω) = j S(ω), ω < 0. (3.39)

Вследствие изменения ФЧХ сопряженная функция s₁ (t)по своей форме может сильно отличаться от исходной функции s (t).

После того как найдена сопряженная функция s₁ (t), можно с помощью выражений (3.30) и (3.31) найти огибающую А(t), полную фазу ψ(t) и мгновенную частоту узкополосного сигнала:

. (3.40)

Выделив в найденной таким образом частоте ω(t) постоянную часть ω₀, можно написать выражение:

ψ(t) = ω₀ t + (t) + ₀ , (3.41)

в котором (t)не содержит слагаемого, линейно меняющегося от времени. Тем самым устраняется произвол в выборе «средней частоты» сигнала ω₀ и соответственно функции (t). Характерный вид этого узкополосного сигнала приведен на рис 3.10.

Рис. 3.10. Характерный вид узкополосного сигнала

В заключение данного параграфа рассмотрим ещё один способ представления сигналов, который в настоящее время достаточно широко применяется в теории передачи информации.

Если задан физический сигнал s(t)в виде действительной функции, то соответствующий ему комплексный сигнал представляется в форме:

Z_s(t) = s (t) +j s₁ (t), (3.42)

где: s₁ (t)– функция, сопряженная по Гильберту сигналу s₁ (t).

Главная особенность определенного таким образом комплексного сигнала заключается в том, что его спектральная плотность

. . .

Z_s(ω) = S (ω) +j S₁ (ω) (3.43)

содержит только положительные частоты. Действительно, согласно (3.38), (3.39)

. . . .

при ω > 0: S₁(ω) = - j S(ω), а при ω < 0: S₁(ω) = j S(ω). Следовательно:

(3.44)

Комплексный сигнал, определяемый выражениями (3.42) и (3.43), называется аналитическим сигналом.

В теории электрических цепей принято представлять гармонические колебания в комплексной форме записи. Аналитический сигнал является обобщением такой формы записи на негармонические колебания.

Пусть задан физический сигнал:

s (t) =А(t) cos [ω₀ t +  (t)] = А(t) cos ψ (t),

тогда соответствующий ему аналитический сигнал можно записать в следующем виде:

j ψ(t) j [ω₀ t + (t) + ₀ ] . j₀t

Z_s(t) = А(t) е = А(t) е = А(t) е , (3.45)

. j [ (t) + ₀ ]

А(t) = А(t) е (3.46)

представляет собой комплексную огибающую узкополосного сигнала.

Модуль комплексной огибающей, равный А(t), содержит информацию только

j (t)

об амплитудной модуляции колебания, а фазовый множитель е – только об

j (t)

угловой модуляции. В целом же произведение А(t) е содержит полную информацию о сигнале s(t)(за исключением несущей частоты ₀, которая предполагается известной).

Это свойство комплексной огибающей, позволяющее при анализе узкополосных сигналов исключить из рассмотрения частоту ω₀, придает важное значение понятию «аналитический сигнал». В некоторых устройствах обработки сигналов приходится иметь дело с совокупностью двух функций времени, сопряженных по Гильберту, т.е. с аналитическим сигналом как с физическим процессом.