5.3. Анализ дискретных каналов

Для анализа дискретных каналов разрабатывают специальные математические модели и методы. Рассмотрим основные из них и на примере двоичного канала покажем, как определяют характеристики дискретных каналов: условные вероятности появления ошибок, полные вероятности появления ошибки и правильного приема, вероятности появления различных символов на выходе дискретного канала и др.

Дискретный канал образуют устройства тракта «вход кодера – выход декодера» (рис. 5.1). На вход канала поступают символы a_k1, а с выхода – a_k2. Математическая модель дискретного канала определена, если известны следующие характеристики: алфавит и априорные вероятности P(a_k1) появления символов a_k1 сообщений (k=1, …, m₁, m₁ – объем алфавита); скорость передачи символов W₁; алфавит символов a_i2 сообщений (i=1, …, m₂, m₂ – объем алфавита); априорная условная вероятность P(a_i2/a_k1) появления символа a_i2 при условии, что был передан a_k1.

Первые две характеристики определяются свойствами источника сообщений и полосой пропускания непрерывного канала. Объем выходного алфавита m₂ определяется способом построения системы передачи информации. Условная вероятность P(a_i2/a_k1) определяется в основном свойствами непрерывного канала и его характеристиками. Если в системе используется канал обратной связи и «стирание» символов, то m₂>m₁. Стирание символов вводят тогда, когда из-за искажений и помех неясно, какой символ передавался. Решающее устройство декодера выдает символ стирания, если символ a_i2 настолько отличается от символов источника сообщений, что его нельзя с большой вероятностью отождествить ни с одним из передаваемых. Стирание символов позволяет уменьшить вероятность появления ошибки, но приводит к уменьшению вероятности правильного приема. Определены условия, при которых стирание символов целесообразно. Обычно вводят один символ стирания.

Результатом анализа дискретного канала является определение апостериорной условной вероятности Р(а_к1 /a_i2) того, что при получении символа a_i2 передавался символ a_i2.

(5.5)

С помощью этих апостериорных вероятностей и априор­ных вероятностей Р(а_к1) рассчитывают полную вероятность появления ошибки в канале, полную вероятность правильного приема, вероятность появления символов на выходе канала, информационные характеристики дискретного канала (скорость передачи информации, пропускную способность, количество принятой информации и др.).

Апостериорная вероятность рассчитывается по формуле Байеса:

Если решающая схема декодера реализует алгоритм определения максимума апостериорной вероятности:

(5.6)

то на выходе декодера появится символ a_j1 апостериорная вероятность появления которого Р(а_j1 /a_i2) больше всех остальных.

Характер условных вероятностей Р(а_i2/a_k1) полностью определяет свойства дискретного канала. Если для любых соче­таний а_i2 и а_к1 эта вероятность не зависит от момента времени t взятия отсчета, т. е.:

(5.7)

то канал называют однородным. Если условия (5.7) не вы­полняются, то канал называется неоднородным. Если справедливо условие:

(5.8)

то канал называют каналом без памяти. Если условие (5.8) не выполняется, канал обладает памятью на i символов. Выполнение условий (5.7) и (5.8) зависит от того, на каком непрерывном канале построен дискретный канал. Например, если непрерывный канал является гауссовым, то условия (5.7) и (5.8) выполняются, и построенный на нем дискретный канал является однородным и без памяти.

Реальные дискретные каналы являются неоднородными и с памятью. Это обусловлено следующими причинами: искажением сигналов и влиянием помех в непрерывном канале, задержкой во времени выходной последовательности сиг­нала по отношению к входной, нарушением тактовой синхронизации передаваемых и принимаемых импульсов, ошибками решающих схем. Однако модель дискретного однородного канала без памяти как модель первого приближения находит широкое применение. Она позволяет упростить методы анализа и получения исходных данных.

Для математического описания дискретных однородных каналов без памяти необходимо использовать матрицы типа:

(5.9)

элементами которых являются условные вероятности p_ik = P(a_i2/a_k1). Совместно с априорными вероятностями Р(а_к1) эти вероятности p_ik перехода i-го символа в k-й полностью определяют вероятностные характеристики дискретных каналов. Математическим аппаратом, который позволяет использовать дискретные каналы, является теория марковских цепей. Она предназначена для описания случайных дискретных последовательностей. Рассмотрим те элементы этой теории, которые используются в дальнейшем.

Если выполнить дискретизацию случайного процесса X(t) с интервалом (гл.4), то значение случайного процесса , взятое в моменты времени , образует случайную последовательность . Если случайная последовательность получена дискретизацией стационарного и эргодического процесса, она также обладает этими свойствами. Числовые характеристики такой последовательности получают использованием операций усреднения по множеству и по времени (гл. 2). Оценка математического ожидания последовательности:

(5.10)

где при усреднении по множеству: п — количество реализа­ций, измеренных в один момент времени t_i; х_ik — k-е значение случайной величины Хi, при усреднении по времени: n — ко­личество моментов времени, рассматриваемых для одной ре­ализации.

Если все значения Х_i стационарной последовательности непрерывны и независимы, то полной характеристикой является одномерная плотность распределения f(x_i). Плотности рас­пределения большей размерности определяют как произведение одномерных плотностей. Если Х_i являются дискретными независимыми символами, что имеет место при опреде­ленных условиях передачи дискретных сообщений, полной ха­рактеристикой является распределение вероятностей p_t появления символа Xi, i = l,...,n. Так как Хi образует полную группу сообщений, то:

(5.11)

Равенство (5.11) называют условием нормировки.

Если символы последовательности взаимозависимы (коррелированны), помимо вероятности появления отдельных символов необходимо задавать условные вероятности P(X_i / X_i-₁, X_i-2,...Xi-i), появление в последовательности символа X_i при условии, что перед ним появилась группа символов X_i-₁, X_i-2,..., Xi-i. Пос­ледовательности, в которых существуют статистические свя­зи между символами, называют цепями Маркова, или Марковскими цепями. Если статистическая связь существует только между двумя символами i-м и (i-l)-м, то Марковскую цепь называют простой, ее поведение полностью описывается матрицей (5.9) при заданных начальных вероятностях P(a_k1)=p_k. Для эргодической Марковской цепи вероятности p_J появления символов X_J в установившемся режиме находят из системы алгебраических уравнений:

(5.12)

с использованием условия нормировки (5.11).

Для математического описания дискретных однородных каналов без памяти используют методы теории Марковских простых однородных цепей.

Используя эти результаты, найдем вероятностные характеристики двоичного дискретного однородного канала без памяти. В этом случае . Для простоты обозначим , , , , , . Вероятности , - это условные вероятности правильного приёма символов , , а и - это условие вероятности появления ошибок.

Рассмотрим работу решающей схемы реализации сигналов на выходе модулятора и на выходе демодулятора (показаны на рис. 5.2). Положительные импульсы соответствуют передаче символа , отрицательные – передаче . Можно заметить, что прохождение сигнала через канал привело к изменению его формы.

Если искажения сигналов в канале отсутствуют и непрерывный канал является гауссовым, то изменение формы сигнала обусловлено лишь действием флуктуационной помехи . Сигнал на входе решающей схемы можно представить в виде

Рис. 5.2. Реализация сигналов и

На основании отсчетов напряжения принятого сигнала S_2(t) в моменты времени t₁, t₂, …t_k, …, решающая схема демодулятора должна определить: был принят импульс с амплитудой +А или с амплитудой –А. Так как |А| является детерминированной величиной, то распределение суммы |А|+ полностью определяются одномерным распределением помехи .

Вероятность ошибок и правильного приема определяется не только характеристиками помех, но и порогом а принятия решения. Если S₂(t_k) < а, то принимается решение о том, что пришел отрицательный импульс. Правильные решения принимаются тогда, когда выполняются следующие неравенства

(5.13)

(5.14)

Ошибки происходят тогда, когда неравенства (5.13) и (5.14) не выполняются из-за выбросов, обусловленных помехой. Ус­ловные вероятности ошибок — это вероятности выполнения противоположных неравенств, поэтому:

(5.15)

(5.16)

Если амплитуды А + положительных и отрицательных импульсво передаваемого сигнала одинаковы, удобно взять = 0. В этом случае . Такой канал называют симметричным. Условная вероятность появления ошибки в симметричном канале:

(5.17)

где ; - среднеквадратическое значение помехи; - функция Крампа (интеграл вероятности), определяемая следующим образом:

(5.18)

Функция Крампа табулирована.

Безусловная вероятность ошибки Q определим по формуле полной вероятности:

(5.19)

Из-за симметрии двоичного канала полная вероятность ошибки совпадает с условной вероятностью. Это удобное свой­ство симметричного канала, так как значение р₀ (одного пара­метра) полностью определяет свойства двоичного однородно­го симметричного канала без памяти. Полная вероятность пра­вильного приема сигналов:

(5.20)

так как , .

Реальный дискретный канал можно рассматривать как функциональный преобразователь распределения вероятнос­тей появления символов входного алфавита в распределение вероятностей появления символов выходного алфавита.

Идеальный дискретный канал не является преобразова­телем, поскольку оставляет распределение символов неизмен­ным, и оригиналы и копии дискретных сообщений совпадают.

Так как символы дискретных сообщений кодируют ко­довыми комбинациями, которые включают n элементарных кодовых сигналов, представляет интерес определение веро­ятности того, что в кодовой комбинации будет q ошибочно принятых элементарных сигналов. Величину называют крат­ностью ошибок. Если все элементарные сигналы в кодовой ком­бинации независимы, эта вероятность определяется биноми­альным распределением и формулой Бернулли:

(5.21)

где - число сочетаний; - вероятность появления ошибки при передаче одного элементарного сигнала.

Среднее число ошибок:

(5.22)

Если <<1, что справедливо для реальных каналов, максимальной является вероятность того, что ошибок не будет. С ростом q функция монотонно убывает. Поэтому ошибки большой кратности (когда q>1) встречаются реже. Этот вывод справедлив для однородных каналов без памяти, при условии, что:

(5.23)

Поэтому в первую очередь обращают внимание на обна­ружение и исправление ошибок малой кратности.

В заключение данной главы отметим, что для решения задачи прохождения сигналов через реальные каналы в об­щей постановке необходимо изучать прохождение случайных сигналов через нелинейные стохастические инерционные не­стационарные системы. Работа таких систем описывается не­линейными дифференциальными уравнениями со случайны­ми переменными коэффициентами и случайной правой час­тью. Поэтому решение таких задач является сложным, для многих реальных каналов оно является предметом современ­ных научных исследований. Характерные особенности задач анализа прохождения случайных сигналов через каналы обыч­но рассматривают с помощью более простых приближенных моделей каналов.