Лекции по теории групп
.pdfГлава 4
Прямое и полупрямое произведения групп
4.1Лекция 8. Прямое произведение групп.
Внешнее прямое произведение
Пусть G; H группы. Тогда множество пар G H = f(g; h) j g 2 G; h 2 Hg называется внешним прямым произведением групп G и H.
Пусть g1; g2 2 G; h1; h2 2 H. Введем операцию на G H : (g1; h1) (g2; h2) = (g1g2; h1h2). Тогда G H группа. Действительно,
1)Ассоциативность: ((g1; h1)(g2; h2))(g3; h3) = (g1g2; h1h2)(g3; h3) = (g1g2g3; h1h2h3) = (g1; h1)(g2g3; h2h3) = (g1; h1)((g2; h2)(g3; h3)).
2)Единичный элемент: eG H = (eG; eH).
3)Обратный: (g; h) 1 = (g 1; h 1).
Свойства прямого произведения
1. G feHg = f(g; eH)g < G H 2. G fe g G
H =
3. G \ H = feg
J (fG feHgg [ ffeGg Hg) = eG H I
4.Пусть g 2 G; h 2 H. Тогда gh = hg (т.е. (g; eH)(eG; h) = (eG; h)(g; eH) = (g; h)).
5.8z 2 G H 9g 2 G; 9h 2 H : z = gh = (g; eH)(eG; h)
6.G C G H; H C G H
7.Åñëè jGj = n; jHj = m ) jG Hj = n m.
8.Пусть jgj = m; jhj = l ) j(g; h)j = НОК(m; l).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
J Åñëè |
j |
(g; h) |
= k |
) |
(g; h)k |
= (gk; hk) = (eG; eH) |
) |
gk |
= eG |
) |
8k...jgj |
) |
k общее кратное, |
|
j |
|
|
|
(h = eH |
<k.. h |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
: j j
òî åñòü k = ÍÎÊ(jgj; jhj). I
9.Частный случай: НОД(m; l) = 1 )НОК(m; l) = ml = j(g; h)j.
10.Åñëè G = hgi; jgj = m; H = hhi; jhj = l; ÍÎÄ(m; l) = 1 ) G H = h(g; h)i.
Пример. U |
5 |
|
U |
7 |
= U |
35 |
|
|
|
Теперь, рассмотрим общий случай.
Пусть G1; : : : ; Gn группы. Тогда G1 G2 : : : Gn = f(g1; g2; : : : ; gn) j g1 2 G1; g2 2 G2; : : : ; gn 2 Gng
их прямое произведение.
Операция: (g1; g2; : : : ; gn)(h1; h2; : : : ; hn) = (g1h1; g2h2; : : : ; gnhn).
G = G1 G2 : : : Gn группа. Действительно,
eG = (eG1 ; : : : ; eGn ).
(g1; g2; : : : ; gn) 1 = (g1 1; g2 1; : : : ; gn 1).
31
32 Глава 4. Прямое и полупрямое произведения групп
Ассоциативность в G выполняется, потому что выполняется в группах G1; G2; : : : ; Gn.
Свойства прямого произведения (продолжение)
1)jGj = jG1j jG2j : : : jGnj
2)G коммутативная группа , Gi коммутативная (i = 1; 2; : : : ; n).
3)j(g1; g2; : : : ; gn)j = ÍÎÊ(jg1j; jg2j; : : : ; jgnj)
4) Пусть Gi = hgiiki (ki; kj) = 1 (8i; j = 1; 2; : : : ; n) ) G1 : : : Gn = h(g1; g2; : : : ; gn)ik1k2 ::: kn . J Èç 3) j(g1; g2; : : : ; gn)j = ÍÎÊ(jg1j; jg2j; : : : ; jgnj)
Òàê êàê ÍÎÄ(ki; kj) = 1 ) ÍÎÊ(k1; : : : ; kn) = k1k2 : : : kn. I
5) |
~ |
= G1 fe2g : : : feng = (g1; e2; : : : ; en) (8g1 2 G1) подгруппа G. |
6) |
G1 |
|
|
~ |
~ |
|
Gi |
\ Gj = feGg |
7) Пусть gi 2 Gi; gj 2 Gj и i < j. Тогда g~ig~j = g~jg~i, òî åñòü (e; : : : ; gi; : : : ; e)(e; : : : ; gj; : : : ; e) = (e; : : : ; gj; : : : ; e)(e; : : : ; gi; : : : ; e) = (e; : : : ; gi; : : : ; gj; : : : ; e).
8) 8g 2 G 9! g 2 G ; : : : ; g 2 G : g = g~ g~ : : : g~
1 1 n n 1 2 n.
J g = (g1; : : : ; gn) = (g1; e; : : : ; e)(e; g2; e; : : : ; e) : : : (e; : : : ; e; gn) I
9) ~ f g f g
Gi = e : : : Gi : : : e C G.
J (g1; : : : ; gn)g~i(g1; : : : ; gn) 1 = (g1; : : : ; gn)(e; : : : ; gi; : : : ; e)(g1; : : : ; gn) 1 = : : : I
10) (G1 G2 feG3 g : : : feGn g) \ (feG1 g feG2 g G3 feG3 g : : : feGn g) = feg
Внутреннее прямое произведение
Пусть G группа, а G1; : : : ; Gn ее подгруппы.
Возьмем G1 : : : Gn = f(g1; g2; : : : ; gn) j g1 2 G1; g2 2 G2; : : : ; gn 2 Gng (внешнее) прямое произведение G1; : : : ; Gn.
Что потребовать от G1; : : : ; Gn, чтобы существовал изоморфизм ' : G1 : : : Gn ! G ? Хотим естественный изоморфизм, то есть '(e; : : : ; gi; : : : ; e) = gi.
Тогда '(g1; g2; : : : ; gn) = '(g1; e; : : : ; e) '(e; g2; e; : : : ; e) : : : '(e; : : : ; e; gn) = g1g2 : : : gn.
Проверим, является ли отображение ' гомоморфизмом. '((g1; g2; : : : ; gn)(h1; h2; : : : ; hn)) = '(g1h1; g2h2; : : : ; gnhn) = g1h1g2h2 : : : gnhn 6= '(g1; : : : ; gn) '(h1; : : : ; hn) = g1g2 : : : gnh1h2 : : : hn. Следовательно, для гомо-
морфизма нам требуется перестановочность элементов из разных подгрупп G1; : : : ; Gn, òî åñòü gigj = gjgi 8gi 2 Gi; gj 2 Gj (8i; j = 1; 2; : : : ; n. Пусть это выполнено.
Является ли ' мономорфизмом ?
Когда '(g1; : : : ; gn) 6= '(h1; : : : ; hn) ) (g1; : : : ; gn) 6= (h1; : : : ; hn). g1 : : : gn = h1 : : : hn , g1 = h1; g2 = h2; : : : ; gn = hn:
Отсюда, ' мономорфизм, если элемент g 2 G можно разложить в произведение g = g1g2 : : : gn; g1 2 G1; : : : ; gn 2 G единственным образом.
Проверим, является ли ' эпиморфизмом.
Im ' = G. 9 g1; : : : ; gn : '(g1; : : : ; gn) = g1 : : : gn = g 2 G.
Èçî = Ìîíî + Ýïè , 8g 2 G 9! (g1; : : : ; gn) 2 G1 : : : Gn : g = g1 : : : gn.
Определение 1. Группа G называается внутренним прямым произведением своих подгрупп
G1; : : : ; Gn, åñëè
1.gigj = gjgi 8gi 2 Gi; gj 2 Gj (8i; j = 1; 2; : : : ; n
2.8g 2 G 9! (g1; : : : ; gn) 2 G1 : : : Gn : g = g1 : : : gn.
Задача 76. |
Доказать, что если пересечение двух нормальных подгрупп H1 è H2 группы G со- |
||||||||||||||||||||||
держит лишь e, то h |
h |
|
= h h1 для любых элементов h1 |
2 |
H1; h2 |
2 |
H2. |
||||||||||||||||
J H2 3 h1h2h1 |
1 |
h2 |
1 |
1 |
|
2 |
|
2 |
1 |
h2 |
1 |
2 H1 |
1 |
h2 |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
= h1 h2h1 |
|
) h1h2h1 |
|
= e ) h1h2 = h2h1 I |
|||||||||||||||||
| |
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2{z2 |
|
|
|
|
|
2{z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Какие существуют эквивалентные определения ? Пусть G группа, и G1; G2; : : : ; Gn ее подгруппы. Тогда G = G1 G2 : : : Gn ,
1.G1 \ G2 \ : : : \ Gn = feg
2.G = G1G2 : : : Gn = fg1g2 : : : gn j 8g1 2 G1; 8g2 2 G2; : : : ; 8gn 2 Gng
4.1. Лекция 8. Прямое произведение групп. |
33 |
3. G1 C G; G2 C G; : : : ; Gn C G
,
1.G1 \ G2 \ : : : \ Gn = feg
2.G = G1G2 : : : Gn
3.gigj = gjgi 8gi 2 Gi; gj 2 Gj (8i; j = 1; 2; : : : ; n)
,
1.jGj = jG1jjG2j : : : jGnj; åñëè jGj < 1
2.G = G1G2 : : : Gn
3.gigj = gjgi 8gi 2 Gi; gj 2 Gj (8i; j = 1; 2; : : : ; n)
Пример. Доказать, что группу (Z; ) нельзя представить в виде прямого произведения своих
подгрупп.
J Подгруппы kZ и nZ пересекаются, например, по knZ. I
|
|
Теорема 1. |
A класс сопряженных элементов в G1 G2 , A = A1 A2, ãäå A1; A2 классы |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
сопряженных элементов в G1; G2 соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(h1; h2)(g1; g2)(h1; h2) 1 |
|
|
||||||||||||||||
J |
( |
, |
) Пусть (g |
; g2) |
2 |
A, где A класс сопряженных элементов в G1 |
|
G2. Тогда A = |
f |
g |
= |
||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f(h1g1h1 |
; h2g2h2 |
)g. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
g класс сопряжен- |
|
|
|||||||
Отсюда, A1 = fh1g1h1 |
g класс сопряженных элементов G1, A2 = fh2g2h2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ных элементов G2. I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Следствие 1. Если в G1 k классов сопряженных элементов, в G2 m классов сопряженных |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
элементов, то jG1 G2j = km. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Задача 77. |
Ker( 1 2) = Ker 1 |
Ker 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Задача 78. |
Im( 1 2) = Im 1 Im 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Задача 79. |
N |
|
|
G |
|
; N |
G |
2 ) |
(G |
1 |
G |
) =(N |
1 |
|
N |
) = |
G |
=N |
1 |
|
G |
=N |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 C |
1 |
2 C |
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
J 1 : G1 ! G1=N1 естественный эпиморфизм (g 7 !gN1).
2 : G2 ! G2=N2.
1 2 =
Ker = Ker 1 Ker 2 = N1 N2.
По теореме о гомоморфизме групп существует изоморфизм. I
34 |
Глава 4. Прямое и полупрямое произведения групп |
4.2Семинар 8
|
|
|
V |
4 |
|
|
|
2 |
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 80. |
f |
= C |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
f |
|
|
1g 2 |
2 |
|
f |
2g |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
1 |
|
2 |
|
|||||||||
J |
|
4 |
|
|
1 2 |
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Пусть V |
|
= |
|
|
e; s ; s |
|
; r |
|
|
; H |
|
= |
|
e; s |
= C ; H |
|
= |
|
e; s |
= C |
|
подгруппы V |
, ãäå s |
; s |
|
îòðà- |
|||||||||||
жения относительно диагоналей. Построим изоморфизм |
' : V4 ! H1 H2 |
следующим образом: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
'(e) = (eH1 ; eH2 ); '(s1) = (s1; e); '(s2) = (e; s2); '(r) = (s1; s2). I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Задача 81. |
|
Если G; F коммутативные группы, то G F также коммутативна. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
J G F 3 (g1; f1)(g2; f2) = (g1g2; f1f2) = (g2g1; f2f1) = (g2; f2)(g1; f1) I |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Задача 82. |
|
C |
m |
|
C |
n |
= C |
mn |
, |
(m; n) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть Cm = |
|
a m è Cn = |
b n. Рассмотрим элемент (a; b) |
Cm |
Cn. И пусть его порядок равен |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
h mni |
= (a |
mn |
hmni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
k k |
) = (e; e), |
|||||||||||||||
k. Òàê êàê (a; b) |
|
|
|
|
; b |
|
) = (e; e), то k 6 mn. С другой стороны, (a; b) |
|
= (a ; b |
|||||||||||||||||||||||||||||
поэтому k делится на m и n. То есть k = НОК(m; n). А так как m и n взаимно просты, то k = mn.
Значит (a; b) образующий элемент в C |
m |
C |
. Следовательно, C |
m |
C |
= |
C |
|
. |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
mn |
|
k |
k k |
) = |
||
Если (m; n) 6= 1, то k = НОК(m; n) < mn. Пусть k = mk1 = nk2. Тогда (a; b) |
|
= (a ; b |
||||||||||
((am)k1 ; (bn)k2 ) = (e; e). Следовательно, в Cn Cm нет элемента порядка mn и, значит, она не изоморфна Cmn. I
Задача 83. Разлагаются ли в произведение неединичных подгрупп группы: S3; A4; S4; Q8 ?
J В каждой из этих групп нет нормальных подгрупп пересекающихся только по единице. Поэтоому нет, не разлагаются. I
|
|
|
|
R>0 |
|
C |
= |
C n f |
g, òî åñòü |
|
|
|
|||
Задача 84. |
|
U = |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
z = rei' |
= (r; ') |
2 |
|
|
|
U = |
|
= U. |
|
|||
J C |
|
|
|
|
R>0 |
C |
|
|
по умножению коммутативна) и пересека- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C R>0 |
|
||||||
Подгруппы R>0 и U нормальны (так как группа C |
|
|
|||||||||||||
ются только по 1. I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 85. |
G = GL+(n; R) = fA 2 Mn n : det A > 0g, G1 = f E j R 3 > 0g; G2 = SL(n; R). |
||||||||||||||
Тогда G = G1 G2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
J Подгруппы G1; G2 нормальны и пересекаются òîëüко по единичной матрице. К тому же |
|||||||||||||||
G = G1G2 : GL+(n; R) 3 A = A1 = ( E)A1 |
; ãäå = pdet a; A1 = |
1 A 2 SL(n; R). I |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
4.3. Лекция 12. Полупрямое произведение. |
35 |
4.3Лекция 12. Полупрямое произведение.
Внутреннее полупрямое произведение
Задача 86. G; N C G; H < G ) NH = fnh : n 2 N; h 2 Hg подгруппа G, причем NH = HN.
J С ассоциативностью все в порядке, т.к. G группа.
(n1h1)(n2h2) = n1h1n2h2 = n1(h1n2h1 1)h1h2 2 NH. (nh) 1 = h 1n 1 = (h 1n 1h)h 2 NH. I
Определение. Пусть G группа. Говорят, что G разлагается в полупрямое (внутреннее) произведение своих подгрупп N и H, если если:
1)N C G; H < G.
2)8g 2 G 9!n 2 N; h 2 H : g = nh.
Обозначение G = N h H (G = H i N).
Эти условия эквивалентны:
1.N C G; H < G.
2.N \ H = feg.
3.NH = G.
а также, в случае, когда G имеет конечный порядок, следующим: 1) N C G; H < G.
2)N \ H = feg.
3)jGj = jNjjHj.
Пример. Группу кватернионов Q8 нельзя разложить ни в прямое, ни в полупрямое произведе- ние своих подгрупп, так как любая подгруппа Q8 содержит 1 и -1, следовательно пересечение двух подгрупп группы Q8 доставляет по крайней мере -1, не считая единицы.
Задача 87. Sn = An h h(12)i2
J jSnj = jAnjjh(12)i2j.
An C Sn; h(12)i2 < Sn.
An \ h(12)i2 = feg. I
Задача 88. S4 = V4 h S3
J V4 C S4
S3 вложена в S4 в виде подгруппы, оставляющей на месте 4.
Для каждого k 2 f1; 2; 3; 4g в V4 имеется единственная подстановка, переводящая 4 в k.
Значит, каждая подстановка 2 S4 предствляется единственным образом в виде = , где
2 V4; 2 S3. I |
9 |
8 |
01
Задача 89. GL(n; C) = SL(n; C) h < |
|
|
: : : |
0 |
2 GL(n; C) j 2 C = |
: |
0: : |
:: :: :: |
1 |
||
:@ |
|
|
|
A |
; |
J Известно, что SL(n; C) C GL(n; C).
89
01
: : : 0
<=
Также ясно, что SL(n; C) \ :@: |
0: : |
:: |
:: |
:: |
1A j 6= 0; = fEg, где E единичная матрица. |
Так как GL(n; C) имеет бесконечный порядок, то дадим явное соответствие:
01
: : : 0
Пусть GL(n; C) 3 G 7 !pdetG G @: : : : : : A. I
0: : : 1
Утверждение 1. Если G = N h H, то G=N H.
=
Внешнее полупрямое произведение
Задача 90. N C G; H < G ) N H < G J Пусть n1; n2 2 N; h1; h2 2 H; g 2 G.
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 4. Прямое и полупрямое произведения групп |
||
По определению, N |
C |
G |
, |
gn |
g 1 = n~ |
2 |
N, ãäå n~ |
2 |
N. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
||||||
Тогда (n1h1) (n2h2) = n1h1n2h2 = n1 (h1n2h1 |
) h1h2 2 NH. È (nh) 1 = (h 1n 1h)h 1 2 NH. |
|||||||||||||||||
Кроме |
òîãî, |
N |
H |
= HN. I |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|{z} |
|
|
|||
| |
{z |
}| |
{z } |
|
|
|
|
| |
|
{z |
|
} |
|
|
||||
2NH |
2NH |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
2H |
|
|
|||||
Пусть N; H группы. Как задать произведение на парах (n; h), чтобы NH = G была группой, такой что G = N h H ?
(n1; h1) (n2; h2) =? |
n |
h |
1 |
|
|
|||
Пусть ' |
h1 |
: n |
h |
|
автоморфизм, причем внутренний. |
|||
|
|
2 7 !1 |
2 |
1 |
|
1 |
||
Т.е. существует 'h1 (n2) = h1n2h1 |
. |
|||||||
Для разных h1 2 H существуют разные внутренние автоморфизмы. Например, 'h(g) = hgh 1 внутренний автоморфизм группы G.
Но если в качестве g 2 G брать только элементы группы N, то 'h1 : N ! N.
Получился просто автоморфизм группы N, т.к. h1 не имеет никакого отношения к N. Тогда (n1; h1)(n2; h2) = (n1(h1n2h1 1)(h1h2)) = (n1 h1 (n2))(h1h2).
Вернемся к N h H, где N и H никак не связаны. Если существует гомоморфизм ' : H ! Aut N, где '(h) = 'h 2 Aut N, то говорят, что существует полупрямое (внешнее) произведение двух групп
N è H.
Таким образом (n1; h1)(n2; h2) = (n1'h1 (n2); h1h2). Частный случай: если =id ) N h H = N H.
Если мы придумаем (n1 h1 (n2); h1h2) мы сделаем из двух групп полупрямое произведение. При- чем, разные гомоморфизмы 'h дают разные полупрямые произведения.
Заметим, что из двух групп мы можем всегда сделать их прямое произведение (его нам доставляет всегда существующий тождественный автоморфизм), а полупрямое - не всегда получится.
Если бывают разные гомоморфизмы, то записываем N h H, если зафиксировали гомоморфизм, то записываем N h H.
Задача 91. Докажем, что N h H группа.
J 1) Операция выводит из множества ?
Из определения (внутреннего) полупрямого произведения (n1; h1)(n2; h2) = (n1 h1 (n1); h1h2) 2 N h
H.
2) Ассоциативность.
[(n1; h1)(n2; h2)] (n3; h3) = (n1 h1 (n2); h1h2)(n3; h3) = (n1 h1 (n2) h1h2 (n3); h1h2h3) (n1; h1) [(n2; h2)(n3; h3)] = (n1; h1)(n2 h2 (n3); h2h3) = (n1 h1 (n2 h1h2 (n3)); h1h2h3).
h1 (n2 h2 (n3))) = по определению гомоморфизма = h1 (n2) h1h2 (n3))(= h1 (n2) h1 ( h2 (n3)))
3)eNhH = (eN ; eH)
4)(n; h) 1 = (?; h 1)
(n; h)(?; h 1) = (n; h(?); hh 1) = (e; e) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n h(?) = e |
, |
h(?) = n 1 |
) 9 |
1(n 1) = e |
|
|
|
|
|
|||||||
h |
1 |
= h 1 |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(n; h) 1 = ( 1(n 1); h) обратный. |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. N = A3; jA3j = 3; A = fe; (123); (132)g = C3 = he; a; a2g |
|
||||||||||||||
H = C2 = he; si |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
C3 h C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
: C2 !AutC3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) = a |
2 |
) C3 h C2 |
= C3 C2. |
||||
Случай 1: (eC2 ) = id; (s) = id; id(eC3 ) = e; id(a) = a; id(a |
|
|||||||||||||||
Случай 2: (e) = id |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(s) = s : s(e) = e; s(a) = a2; s(a2) = a. |
|
|
|
|
|
||||||||||
) C3 h C2 = f(e; e); (a; e); (a2; e); (e; s); (a; s); (a2; s)g. |
|
|
|
|
||||||||||||
Проверим получившуюся группу на коммутативность: |
|
|
|
|
||||||||||||
(a; e)(a2; s) = (a e(a2); es) = (aa2; s) = (e; s) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(a; s)(a2; s) = (a s(a2); ss) = (a2; e). |
2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Групп 6-го порядка всего две: C |
= C |
|
C |
|
è D |
. Но наша группа не коммутативна, следовательно, |
||||||||||
она изоморфна D3.
H = fe; (12)g; jHj = 2
4.3. Лекция 12. Полупрямое произведение. |
37 |
A |
3 h |
H = S |
3 |
= D |
. |
|
|
3 |
|
38 |
Глава 4. Прямое и полупрямое произведения групп |
Глава 5
Доклады
5.1Кольца и Поля
Опр. Кольцом называется множество A с бинарными операциями сложения + и умножения ,
удовлетворяющие следующим аксиомам.
(AA) 8a; b; c 2 A : a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативность сложения) (AZ) 90 2 A 8a 2 A : a + 0 = 0 + a = a (существование нуля)
(AI) 8a 2 A 9( a) 2 A(противоположный ): a + ( a) = ( a) + a = 0
(AC) 8a; b 2 A : a + b = b + a (коммутативность сложения)
(MA) 8a; b; c 2 A : a (b c) = (a b) c (ассоциативность умножения)
(D) 8a; b; c 2 A : (a + b) c = a c + b c (дистрибутивность)
Полукольцо := (AA) + (D) + (MA)
Кольцо с единицей := Кольцо + (MId)
(MId) 8a 2 A91 2 A : a 1 = 1 a = a (существование единицы)
Коммутативное кольцо := Кольцо + (MC)
(MC) 8a; b 2 A : a b = b a (коммутативность умножения)
Кольцо с делением (тело) := Кольцо с единицей + (MI)
(MI) 8a 2 A n f0g 9a 1 2 A(обратный): a a 1 = a 1 a = 1
Опр. Поле := Коммутативное кольцо с единицей + (MI)
Свойства аксиом
10: 9!0 2 A
20: 8a 2 A9!( a) 2 A
30: 9!1 2 A
40: 8a 2 A 0 a = 0
50: 8a 2 A ( 1) a = ( a)
Примеры
N - полукольцо.
Mn n - кольцо с единицей.
f0g - единственное кольцо, где 0 = 1.
Z; Zn, Z[i] = fa + i b j 8a; b 2 Zg - коммутативные кольца с единицей (а Zp при простом p - поле). A[x] = fa0 + a1x + + anxn j ai 2 Ag, где A - коммутативное кольцо - коммутативное кольцо.
H - òåëî.
Q; R; C - ïîëÿ.
Опр. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется целостным кольцом
39
40 |
Глава 5. Доклады |
(областью целостности).
Лемма. Поле является целостным кольцом.
C Надо док-ть, что в поле F нет делителей нуля.
Пусть a содержится в поле F. Тогда a - обратим, т.е. 9a 1 2 F : a 1a = 1. И пусть a - делитель нуля, т.е. 9b : ab = 0. Тогда 0 = a 10 = a 1(ab) = (a 1a)b = 1b = b: B
Утв. Кольцо Zm - поле , m - простое.
C Пусть m - не простое, т.е. m = k l, где 1 < k; l < n. Тогда [k]m 6= 0; [l]m 6= 0, íî [k]m [l]m = [m]m = [0]m: Получили противоречие с тем, что в поле нет делителей нуля.
Пусть m - простое. Найдем обратный элемент для произвольного a 2 Zm.
НОД(a; m)=1, т.к. a и m взаимно просты. Тогда 9x; y : ax + my = 1. [a]m [x]m + [m]m [y]m = [1]m ,
[a]m [x]m = [1]m: B
Опр. Гомоморфизм полей/колец/групп ' : A ! B - отображение множеств, такое что 8a; b 2
A '(a + b) = '(a) + '(b) è '(ab) = '(a)'(b)
Свойста гомоморфизма колец
Пусть ' : A ! B - гомомрфизм.
10: '(0A) = 0B:
C '(aA) = '(aA + 0A) = '(aA) + '(0A)
'(aA) + '(aA) = '(aA) + '(aA) + '(0A)
0B = '(0A) B
20: '( a) = '(a)
C 0 = '(0) = '(a a) = '(a) + '( a)
'(a) = '(a) + '(a) + '( a)
'(a) = '( a) B
Опр. Мономорфизм/эпиморфизм/изоморфизм полей/колец/групп - гомоморфизм полей/колец/групп, такой что на уровне множеств соответсвенно инъекция/сюръекция/биекция.
Пример
' : Z ! Zm, ò.å. a 7 ![a]m: ' - эпиморфизм. При этом отображении Ker(') = mZ.