Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по теории групп

.pdf

Скачиваний:

124

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

440.86 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

3.3. Лекция 5. Факторизация. теорема о гомоморфизме.

3.3Лекция 5. Факторизация. теорема о гомоморфизме.

Определение. Факторизацией называется переход от множества к классам эквивалентности этого множества.

Мы видели, что операция, которую мы ввели на классах эквивалентности: xH yH = xyH, корректна, только в случае нормальной подгруппы H. Теперь, удостоверимся, что, если H CG, то G=H

факторгруппа.

Ассоциативность выполняется, так как выполняется в самой группе G, а именно ((xH)(yH))(zH) = (xyH)(zH) = (xyz)H = (xH)((yz)H) = (xH)((yH)(zH)).

Единичный элемент сама подгруппа H, так как eH = H и gHeH = eHgH = gH. Обратным классом к классу gH будет g 1H, òàê êàê gHg 1H = (g 1g)H = eH = H.

Åñëè jGj < 1, òî jG=Hj = jGj

jHj.

Примеры

Так как у любой группы G существует две нормальные подгруппы: feg и G, то существует и факторгруппы G=feg = G и G=G = feg.

Z=nZ = Zn = f0; 1; : : : ; n 1g

Теорема о гомоморфизме

f : G ! F гомоморфизм. Тогда G= Ker f Im f.

Верное и обратное: H CG ) 9 F = G=H; 9 гомоморфизм f: G ! F , причем Ker f = H. J Построим

гомоморфизм : G= Ker f ! Im f: (g Ker f) = f(g); g 2 G.

Проверим корректность. Пусть g g;~ h 2 Ker f. Тогда f(g) = f(~gh) = f(f~)f(h) = f(~g) ) G= Ker f

определена корректно.

Пусть x; y 2 G. ((x Ker f)(y Ker f)) = (x Ker f) (y Ker f) = f(x)f(y)

(xy Ker f) = f(xy) = f(x)f(y). Значит гомоморфизм.

(x Ker f) = f(x) = eF , x 2 Ker f ) x Ker f = eG= Ker f ) Ker = fKer fg, Ker = eG= Ker f . Значит моно.

Очевидно, что Im f = Im , то есть, что эпи. В итоге, изоморфизм.

Обратно. Построим гомоморфизм f : G ! G=H естественным образом, то есть f(g) = gH. Тогда Ker f = H. I

Из теоремы следует, что, если Ker f =

f g

, òî G = Im f.

Пример. An C Sn, потому что An индекса 2, так как jSnj = n!; jAnj = n2! ) jSnj = jAnj 2.

Z2 Z3

1; 2

= C

= = =

= U

1 .

J f : Sn ! U2.

f( ) = 1, если - четная.

f( ) = 1, если - нечетная.

Im f = U2

)

Ker f =

: f( ) = 1

по теореме о гомоморфизме S

=Ker f = Im f è S

= U .

Теорема. S

= S

J Сперва докажем, что V4 C S4.

V4 = fe; (12)(34) = a; (13)(24) = b; (14)(23) = cg, ab = ba = c; ac = ca = b; bc = cb = a. Выпишем смежные классы по V4:

eV4 = V4

(12)V4 = f(12); (34); (1324); (1423)g = V4(12) (13)V4 = f(13); (1234); (24); (1432)g = V4(13) (14)V4 = f(14); (1243); (1342); (23)g = V4(24)

(123)V4 = f(123); (134); (243); (142)g = V4(123) (132)V4 = f(132); (143); (234); (124)g = V4(132)

Левые смежные классы совпадают с правыми смежными классами, значит V4 нормальная под-

группа.
Докажем изоморфизм. f : S4 ! S3. Kerf = V4	, Imf = S3 все элементы из S4 с неподвижной 4.
Следовательно, по теореме о гомоморфизме, S	=V	4	= S	.	I
4		4	3		I

22	Глава 3. Факторизация и изоморфизмы

3.4. Семинар 5.

3.4Семинар 5.

Определение. GL(n; C) = fA 2 Mn n(C) j det A 6= 0g

SL(n; C) = fA 2 Mn n(C) j det A = 1g

U = fz 2 C j jzj = 1g

Hn = fz 2 C j arg(z) = 2npk ; k 2 Zg Cn = Un = fz 2 C j z = n 1g

Задача 57.

SL(n; C) C GL(n; C)

8A 2 GL(n; C); B 2 SL.

J Надо доказать, что A B A 1 2 SL(n; C)

det(ABA 1) = det(A) det(B) det(A 1) = det A det B(det A) 1 = det B = 1 I

Задача 58.

GL(n;

)=SL(n;

)

C n f

J Пусть f : GL(n; C) ! C : f(A) = det A.

f гомоморфизм. f(AB) = det AB = det A det B = f(A)f(B).

8z 2 C9 A : det A = z:

Ker f = fA : det A = 1g = SL(n; C).

)=SL(n;

) =

По теореме о гомоморфизме GL (n;

Задача 59.

R>0 Z2

J Пусть f : R

! Z2 :

f(x) = sgn(x) = (1;1;

åñëè x > 0;

2 R .

åñëè x < 0;

f гомоморфизм, так как f(xy) = sgn(xy) = sgn(x) sgn(y) = f(x)f(y) 8x; y 2 R .

Ker f = R>0. Согласно теореме о гомоморфизме, существует изоморфизм ' : R =R>0 ! Z2. I

Задача 60.

= U

Пусть f :

U :

7 !jzj.

z1z2

. Тогда

Пусть z1; z2

f(z1z2) =

= f(z1)f(z2)

гомоморфизм. Найдем

z z

. Согласно)

1. 2Òîj

åñòüj j j

теореме о гомоморфизме,

ÿäðî f:

= 1 , z = jzj ) z 2 R

Ker f =

jzj

9изоморфизм ' : C =R ! U. I

Задача 61.

=U =

R>0

J Пусть f : C ! R>0 :

f(z) = jzj.

= jz1jjz2j = f(z1)f(z2)

)

Пусть z1; z2 2

C : Тогда f(z1z2) = jz1z2j

f гомоморфизм. Най-

äåì ÿäðî: jzj = 1, òî åñòü Ker f

= fz 2 C

jzj

= 1g = U. Согласно теореме о гомоморфизме,

9 изоморфизм ' : C =U ! R>0: I

Задача 62.

U=U

= U

J Пусть f : U ! U :

z 7 !zn.

n n

f гомоморфизм, такnêàê, åñëè z1; z2 2 Uu, òî f(z1z2) = (z1z2)

= z1 z2

= f(z1)f(z2).

Ker f = fz

U j z = 1g = Un. Значит, по теореме о гомоморфизме, существует изомор-

ôèçì ' : U=Un ! U. I

Задача 63.

= U

J Пусть f : R

f(x) = ei2 x = cos 2 x + sin 2 x; x

U :

сложение. Тогда

i2 xy

2i2 x+ 2 y

i2 x i2 y

В группе R операция

f(x+y) = e

= e

e = f(x)f(y) ) f

i2 x

гомоморфизм. Найдем ядро: e

= 1 , cos 2 x = 1 , x 2 Z. Òî åñòü Ker f = Z. I

Задача 64.

Пусть f :

zn.

! C

: z

7 !

f гомоморфизм. Действительно, z1; z2 2 C f(z1z2) = (z1z2)n = z1nz2n = f(z1)f(z2):

По построению, f эпиморфизм. Ker f =

2 C

zn = 1

= U

. Согласно теореме о гомомор-

физме, 9 изоморфизм ' : C =Un ! C . I

Задача 65.

= U

)n:

Пусть f :

U :

(

7 !jzj

Глава 3. Факторизация и изоморфизмы

f гомоморфизм. Найдем ядро f: (

)n = 1 , z = re

i2 k

; k 2 Z, òî åñòü Ker f = Hn. I

jzj

Задача 66.

= U

R>0

J f : Hn ! Un :

f(z) =

. I

jzj

Задача 67.

R>0

J f : Hn ! R>0 :

Hn 3 z 7 !zj 2 R>0. I

Задача 68. GL(n; C)=fX 2 GL(n; C) j det X > 0g U

J f : GL(n; C) ! U : GL(n; C) 3 X 7 !sgn(det X) 2 U. I

3.5. Лекция 6. Коммутант и центр.

3.5Лекция 6. Коммутант и центр.

Определение 1. Коммутатором элементов a; b называют [a; b] = aba 1b 1.

Определение 2.

Коммутантом K(G) (или G0) группы G называется множество всевозмож-

ных произведений коммутаторов группы G.

Утверждение 1.

K(G) C G

J Сначала докажем, что K(G) < G.

Произведение двух коммутаторов, по определению, лежит в

K(G).

[a; b] 1 = [b; a], òàê êàê [a; b][b; a] = (aba 1b 1)(bab 1a 1) = e. Åñëè a

K(G), òî a = k

: : :

; где все k коммутаторы. Тогда a 1 = (k k

: : :

) 1 = k 1

2 1

: : :

,è , òàê êàê k

1 2

коммутаторы, то a 1 2 K(G). Вообще, если произведение двух элементов лежит в подгруппе и для

любого элемента существует обратный, то единичный автоматически лежит в этой подгруппе. Но в данном случае, можно явно проверить: [e; e] = eee 1e 1 = e.

Теперь докажем нормальность K(G).

Пусть g 2 G; k = [a; b] = aba1b 1. Тогда gkg 1 = gaba 1b 1g 1 = (gag 1)(gbg 1)(ga 1g 1)(gb 1g 1) =

(gag 1)(gbg 1)(gag 1) 1(gbg 1) 1 тоже коммутант. Пусть a 2 K(G); a = k1k2 : : : km, ãäå âñå kiкоммутаторы. Поэтому gag 1 = g(k1k2 : : : kn)g 1 = (gk1g 1)(gk2g 1) : : : (gkng 1) является

произведением коммутаторов и, следовательно, содержится в коммутанте K(G). I

	Утверждение 2.				G группа; K(G) = feg , G коммутативна.
J	[a; b] = aba 1b 1 = e				,	ab = ba		I

	Если ' : G ! H гомоморфизм, то '(G0) H0, à åñëè '(G) = H, òî '(G0) = H0.
	Утверждение 3.				G=K(G) коммутативна.
J Пусть xK(G); yK(G) классы смежности.
Тогда, так как [x; y]					= xyx 1y 1 2 K(G); xK(G)yK(G)(xK(G)) 1(yK(G)) 1 = K(G). Значит,
xK(G)yK(G) = yK(G)xK(G), то есть G коммутативна. I
	Утверждение 4. Коммутант G0 группы G является наименьшей нормальной подгруппой, фак-
торгруппа по которой абелева.									e		и, значит,
J 1) Пусть ' : G			!	G=G0			естественный гомоморфизм. Тогда (G=G0)0 = '(G0) =			g
группа G=G0									f
		коммутативна.

2) Пусть N C G такая, что G=N абелева, и пусть ' : G ! G=N естественный гомоморфизм.
Тогда '(G0) = (G=G0)0 = feg и, значит, G0 N. I
	Теорема 1.		Любая подгруппа H < G, содержащая коммутант K(G) группы G, нормальна.

Факторгруппа G=K(G) коммутативна и K(G) содержится в каждой нормальной подгруппе H

такой, что G=H коммутативна.

J Åñëè x 2 H; g 2 G è H K(G), òî gxg 1 = (gxg 1x 1)x = [g; x]x 2 K(G)H = H. Значит, H C G. ()) Из того, что H C G и K(G) H, следует, что [aH; bH] = aH bH a 1H b 1H = aba 1b 1H = [a; b]H = H 8a; b 2 G, то есть коммутатор любых двух элементов (смежных классов) факторгруппы G=H равен единичному элементу H. Откуда, G=H коммутативная группа.

(() Если H CG и факторгруппа G=H коммутативна, то [a; b]H = [aH; bH] = H 8a; b 2 G. Значит, [a; b] 2 H и K(G) H, поскольку K(G) порождается коммутаторами. I

Определение 3. Z(G) = fh 2 G j hg = gh 8g 2 Gg центр группы.

Центр группы всегда не пуст, так как e 2 Z(G). Центр коммутативной группы совпадает с ней самой.

Утверждение 5. G группа; Z(G) C G.

J Сперва докажем, что Z(G) < G.

1. Пусть x; y 2 Z(G); g 2 G: Тогда (xy)g = xgy = g(xy), то есть операция не выводит из Z(G). 2. e остается единицей в Z(G), так как ge = eg 8g 2 G.

26 Глава 3. Факторизация и изоморфизмы

3. Обратный. Пусть x 2 Z(G); g 2 G: Тогда gx = xg , gx 1 = x 1g ) x 1 2 Z(G).

Нормальность очевидна, так как левые смежные классы совпадают с правыми. I


Утверждение 6. G группа, Int G = G=Z(G).			g; h 2 G. Тогда
J Отображение f : G 3 g 7 ! g 2 Int G гомоморфизм. Действительно, пусть			g; h 2 G. Тогда
gh(x) = ghx(gh) 1 = ghxh 1g 1	= g( h(x)) = gh(x).
Найдем ядро f: g = id , gxg 1	= x , gx = xg. Òî åñòü Ker f = Z(G).
		G=Z(G).		I
По построению, Im f = Int G. Значит, согласно теореме о гомоморфизме, Int G =		G=Z(G).

Утверждение 7. Факторгруппа некоммутативной группы G по ее центру Z(G) не может быть циклической, то есть G=Z(G) 6= haZ(G)i:

J От противного. Допустим, что смежный класс gZ(G) порождающий элемент фактор-группы G=Z(G). Рассмотрим произвольные элементы a; b 2 G. Тогда aZ(G) = (gZ(G))n = gnZ(G); bZ(G) =

(gZ(G))m = gmZ(G), ò.å. a = gnz1; b = gmz2, ãäå z1; z2 2 Z(G). Теперь посмотрим: ab = gnz1gmz2 = gn+mz1z2 = gmz2gnz1 = ba, то есть группа G коммутативна. Противоречие. I

Определение 4. Z(x) = fg 2 G j gx = xgg централизатор элемента x.

3.6. Семинар 6

3.6Семинар 6

Задача 69. Найти K(Sn):

J Пусть ; 2 Sn. Коммутатор [ ; ] = 1 1 является четной подстановкой, так как сумма четного числа нечетных чисел четное число. Поэтому K(Sn) An.

Далее, так как любая подстановка представляется в виде произведения транспозиций, и [(ij); (ik)] = (ij)(ik)(ij) 1(ik) 1 = (ijk), à An порождается тройными циклами (i; j; k), то K(Sn) An. В итоге,

K(Sn) = An. I

Задача 70. Найти Z(Sn).

J Пусть 2 Sn, и 6= id; (i) = j 6= i. Так как n > 3, то существует такая подстановка 2 Sn, которая меняет друг с другом только элементы j и k, где k 6= i; j, а все остальные оставляет на месте. Подстановка 1 делает то же самое. Отсюда, 1(i) = (i) = (j) = k. Значит,

1(i) = k = j = (i), то есть подстановки и не коммутируют. Таким образом, мы показали,

как для данной нам неединичной подстановки найти такую, которая с ней не коммутирует. I

Из предыдущей задачи следует, что Sn не коммутативная группа.

Задача 71.

Dn0 = (ha ;i

åñëè n = 2m + 1.

;

åñëè n = 2m

(e;

åñëè n = 2m + 1

Задача 72.

Z(D

) =

hami;

åñëè n = 2m

Задача 73.

A0 = V

è A0

= A

ïðè n

J Порядок факторгруппы A4=V4

равен

124 = 3. Есть только одна группа 3-го порядка C3. Îíà

абелева. Значит, A4=V4 абелева. Следовательно, A40 V4, но так как группа A4 не абелева, то

A40 = V4.

При любом n группа An0

содержит все произведения пар независимых транспозиций и, значит, при

n > 5 совпадает с An. I

Задача 74. Z(GL(2; C)) = f Eg

J Z = fz j zg = gz; 8g 2 Gg


		0	1 . zg =	2	. ) = = 0.
Пусть g =		0	1 . zg =	2	. ) = = 0.
		2	0	2
Пусть g =		0	1 . zg =	0	I
		1	1
	Задача 75.		Z(GL(n; C)) = f Eg, 6= 0

28	Глава 3. Факторизация и изоморфизмы

3.7Лекция 7. Кватернионы.

Кватернионы можно определить как множество формальных сумм a+ib+jc+kd, где a; b; c; d 2 R, а i; j; k определяются следующими соотношениями i2 = j2 = k2 = ijk = 1.

Обозначение кватернионов H.

Сложение двух кватернионов покомпонентное, и таким образом, свойства поля R индуцируются

(для операции сложения) на кватернионы, т.е. оно будет ассоциативным и коммутативным. Умножение дистрибутивно относительно сложения, так что достаточно уметь умножать базисные кватернионы.

Таблица умножения для кватернионов выглядит следующим образом:

	1	i	j	k

1	1	i	j	k
i	i	1	k	j
j	j	k	1	i
k	k	j	i	1

Из таблицы умножения можно заметить, что разные кватернионные единицы не коммутируют, а антикоммутируют: ij = k и ji = k. Таким образом, если знать, что ij = k, то остальное выводится из ассоциативности умножения. Например, ik = iij = j, поскольку i2 = 1.

Правило умножения базисных кваетернионов получается из формулы ij = k циклическими пере-

становками: ij = k

jk = i

ki = j.

Сопряженным с q = a + ib + jc + kd называется кватернион

= a bi cj dk.

Нормой кватерниона называется величина kqk := q

= a2 + b2 + c2 + d2.

Обозначается: N(q); kqk

1 =

Если кватернион

= 0, а поэтому всякий ненулевой кватернион обратим: q

kqk.

q = ! ) k

Стало быть, множество H = Q8 = f1; i; j; kg является мультипликативной группой.

А также Q8 является примером некоммутативного тела.

На кватернионы можно смотреть и с точки зрения зрения геометрии.

Иначе говоря, кватернион - это вектор 4-мерного вещественного пространства с базисом

1; i; j; k:

a + ib + jc + kd. Число a называют вещественной частью (скаляром) , а трехмерный вектор v = bi + cj + dk мнимой частью кватерниона.

Мы начинаем с евклидова ориентрованного пространства R3 с ортонормированным ориентирован- ным базисом i; j; k. Вращение пространства R3 определяется своей осью вращения и углом поворота вокруг этой оси. Ось можно задать ортом v, который задается своими углами ; ; с осями (i; j; k): v = icos + jcos + kcos . Вращение на положительный угол вокруг этой оси совпадает с

вращением на противоположный угол вокруг противоположного направления оси.

Рассмотрим орт оси вращения. Этот вектор имеет компонентами косинусы направляющих углов, значит по теореме Пифигора, длина вектора v равна 1.

Также кватернионы можно определить через комплексные матрицы.

	=	c + di	a bi
		a + bi	c + di
	0	i , j =	1	0 , k =	i	0 .
Тогда i =
	i	0	0	1	0	i

Свойства такого представления.

(1)Сопряженному кватерниону соответсвует сопряженная транспонированная матрица.

(2)Норма кватерниона равна определителю матрицы

Аналогично комплексным числам, кватернионы можно определить через вещественные матрицы.

3.7.	Лекция 7. Кватернионы.					29
0b	a		d	c	1
a	b	c		d	C
B					C

c	d	a	b	A
@d	c	b	a	A

При таком определении вытекают следующие свойства.

(1)Сопряженному кватерниону соответсвует транспонированная матрица.

(2)Норма кватерниона равна корню из определителя матрицы.

Нормальные подгруппы и факторгруппы

Если h любой элемент, отличный от 1 и -1, то h2 = 1. Поэтому любая нормальная подгруппа (отличная от тривильной f1g) содержит элемент 1. Первую нормальную подгруппу получаем, если ограничимся элементами f1; 1g. Разложение по ней такое Q8=f1; 1g = ff1; 1g; fi; ig; fj; jg; fk; kgg. Так как элемент -1 входит в любую (нетривиальную) нормальную подгруппу, то элементы i и i

либо оба входят, либо оба не входят в нормальную подгруппу. То же верно для j и j, k и k.

Так как (нетривиальная) нормальная подгруппа в группе кватернионов может содержать только 2 или 4 элемента (по теореме Лагранжа), то мы получаем еще только 3 нормальные подгруппы: f1; 1; i; ig; f1; 1; j; jg; f1; 1; k; kg.

Например, Q8=f1; 1; i; ig = ff1; 1; i; ig; fj; j; k; kg. Но можно просто сказать, что факторгруппа в этих случаях изоморфна Z2.

Коммутант и центр

Элементы 1 и -1 коммутируют со всеми остальными элементами группы кватернионов. Поэтому если один из элементов g1; g2 совпадает с 1 или -1, то g1g2g1 1g2 1 = 1. Если g - любой элемент, отличный от 1 и -1, то g ( g) = g2 = ( 1) = 1, ò. å. g 1 = g. Поэтому, если g1 è g2 -

элементы, отличные от 1 и -1, то g1g2g1 1g2 1 = g1g2( g1)( g2) = g1g2g1g2 = (g1g2)2. Но квадрат любого элемента в группе кватернионов равен 1 или -1. Поэтому коммутант может содержать только элементы 1 и -1, а так как группа кватернионов не коммутативна, то коммутант отличен от f1g.

Следовательно, коммутант f1; 1g.

Из того, что 1 и -1 коммутируют со всеми остальными элементами группы кватернионов напрямую следует, что Z(G) = f1; 1g.

30	Глава 3. Факторизация и изоморфизмы

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.20254.23 Mб0Лекции Основы моделирования РЭС.doc
#
20.11.20192.33 Mб39Лекции по интерфейсам ИС 2.doc
#
10.05.2015292.86 Кб64Лекции по искуственному интеллекту.doc
#
01.05.20251.79 Mб0Лекции по предмету Системный анализ.doc
#
10.05.20155.3 Mб200лекции по статам.pdf
#
10.05.2015440.86 Кб124Лекции по теории групп.pdf
#
22.12.2018514.69 Кб35лекции по фин.вычислениям.docx
#
10.05.2015433 Кб57Лекции по химии .pdf
#
01.05.2025610.3 Кб1Лекции по экологии.doc
#
10.05.2015591.87 Кб127Лекции по экономике.doc
#
01.05.2025156.72 Кб1лекции по экономики2.docx