Краткий курс математического анализа. Том 1

|f (x ) − f (x )| < ε. Возьмем какую-либо последовательность xn → x0, xn X, n = 1, 2, ... В силу определения предела последовательности

существует такой номер n0, что для всех n > n0 имеет место включе-

ние xn U (x0), а поскольку xn X, то и включение xn X ∩ U (x0). Тогда для всех номеров n > n0 и m > n0 будем иметь xn X ∩ U (x0),

xm X ∩ U (x0), и, следовательно, будет выполняться неравенство |f (xn) − f (xm)| < ε. Это означает, что последовательность {f (xn)}

удовлетворяет критерию сходимости Коши для последовательностей и, следовательно, имеет конечный предел.

Таким образом, для любой последовательности xn → x0, xn X, n = 1, 2, ..., последовательность {f (xn)} имеет конечный предел. Отсюда в силу леммы п. 6.3 сразу следует, что функция f имеет в точке x0 конечный предел.

З а м е ч а н и е. Сформулируем критерий Коши существования конечного предела функции в терминах неравенств для случая, ког-

да x0 — действительное число:

функция f (x), x X, имеет в точке x0 R конечный предел тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует такое

δ > 0, что для всех точек x X, x X, |x − x0| < δ, |x − x0| < δ, выполняется неравенство |f (x ) − f (x )| < ε.

6.13. Предел и непрерывность сложных функций.

Те о р е м а 6. Пусть функция f задана на множестве X, функ-

g[f (xn)] → b, n = 1, 2, ..., т. е. имеет место равенство (6.42).

128 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

З а м е ч а н и е 1. Если функция g непрерывна в точке y0, т. е.

Иначе говоря, предельный переход перестановочен с операцией взятия непрерывной функции. В самом деле, согласно теореме 6

Отсюда следует, в частности, что непрерывная функция от непрерыв-

ной функции непрерывна, точнее:

С л е д с т в и е. Если функция f непрерывна в точке x0 X, а функция g непрерывна в точке y0 = f (x0), то сложная функция g[f (x)] непрерывна в точке x0.

Точка x0, принадлежа множеству X, принадлежит и множеству определения сложной функции g[f (x)], а так как по теореме 6 она имеет предел по этому множеству, то она непрерывна в точке x0

(см. (6.8)):

lim g[f (x)] = g[f (x0)],

x→x0

т. е. функция g ◦ f непрерывна в точке x0.

З а м е ч а н и е 2. Обычно, когда говорят, что некоторая функция в данной точке имеет предел, то имеют в виду, что этот предел конечный, а случай бесконечного предела оговаривают особо.

6.14. Предел и непрерывность функций комплексного аргумента. Понятия предела и непрерывности функции обобщают-

ся на случай функций, значениями которых являются комплексные числа и которые заданы на подмножествах множества комплексных

которой удалена точка 0; первая принимает только неотрицательные действительные значения, три последние — существенно комплексные.

Итак, будем здесь предполагать, что функция f задана на некотором подмножестве Z множества комплексных чисел C и принимает комплексные значения, т. е. что

f (z) C, z Z C.

Комплексное число w0 называется пределом функции f в точке z0 (или, что то же самое, при z → z0), если для любой последовательно-

130 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

в некоторой точке, равен такой же линейной комбинации этих пре-

делов.

Функция f (z) называется ограниченной на множестве Z C,

если на этом множестве ограничена ее абсолютная величина |f (z)|.

Как и раньше, справедливо утверждение: если функция f имеет предел при z → z0, то она ограничена в некоторой окрестности точки z0.

Переносятся на случай функций комплексного аргумента понятие предела при стремлении аргумента к бесконечности и понятие бесконечного предела. Ограничимся формулировкой общего понятия предела (конечного и бесконечного) лишь в терминах последователь-

ностей.

Бесконечность ∞ называется бесконечно удаленной точкой комплексной плоскости C, в связи с чем точки самой комплексной плоскости C называются также и конечными точками.

Конечная или бесконечно удаленная точка w0 комплексной плоскости C называется пределом функции f при z → z0, где z0 — также

конечная или бесконечно удаленная точка, если для любой последо-

Это определение предела (как и все сформулированные выше) содержательно, конечно, лишь в том случае, когда существует такая последовательность zn Z, n = 1, 2, ..., что lim zn = z0. В этом случае

n→∞

точка z0 называется соответственно конечной или бесконечно удаленной точкой прикосновения множества Z.

§7. Свойства непрерывных функций

7.1.Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений.

О п р е д е л е н и е 1. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой его точке.

Те о р е м а 1 (Вейерштрасс). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней и своей нижней граней.

Иначе говоря, непрерывная на отрезке функция принимает как свое наибольшее, так и свое наименьшее значение (см. п. 3.1).

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и β = sup f (x).

[a,b]

Покажем, что β < +∞ и что существует такое x0 [a, b], что f (x0) = β. Возьмем какую-либо последовательность {yn} такую, что

132 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

выберем из получившихся отрезков тот, на левом конце которого значение функции меньше C, а на правом — больше C, и т. д. Тогда либо через конечное число шагов мы получим такую среднюю точку ξ некоторого отрезка, что f (ξ) = C, тогда теорема доказана, либо — такую систему вложенных отрезков [an, bn], что

Пусть ξ — общая точка, принадлежащая всем отрезкам [an, bn];

Из соотношений (7.11) и (7.12) следует, что f (ξ) C f (ξ), т. е. что f (ξ) = C.

С л е д с т в и е 2. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.

Следствие 1 вытекает из того, что, принимая какие-либо значения

вдвух точках некоторого промежутка, непрерывная на нем функция, согласно теореме 2, принимает все промежуточные значения на отрезке с концами в этих точках. А этот отрезок, очевидно, содержится

врассматриваемом промежутке. Следствие 2 является частным случаем теоремы 2.

7.3. Обратные функции.

Л е м м а. Если функция f строго возрастает (см. п. 6.11) на множестве X и f (X) = Y , то обратная функция f −1 (см. п. 1.2) является однозначной строго возрастающей на множестве Y функцией.

Докажем сначала однозначность обратной функции f −1. Допустим противное: пусть существует такая точка y Y , что ее прообраз содержит по крайней мере две различные точки x1 и x2, т. е. x1 = x2

и f (x1) = f (x2). Возможны два случая: либо x1 < x2, либо x1 > x2. В первом случае в силу строгого возрастания функции f должно быть

f (x1) < f (x2), а во втором — f (x1) > f (x2). И то, и другое невозможно, так как f (x1) = f (x2).

Докажем теперь, что обратная функция f −1 строго возрастает на

множестве Y = f (X). Пусть y1 < y2, y1 Y , y2 Y , x1 = f −1(y1), x2 = = f −1(y2) и, следовательно, f (x1) = y1, f (x2) = y2. Если бы x1 = x2,

то f (x1) = f (x2), т. е. имело бы место равенство y1 = y2, а если бы x1 > x2, то в силу строгого возрастания функции f имело бы место неравенство f (x1) > f (x2), т. е. y1 > y2. И то, и другое противоречит условию y1 < y2. Таким образом, остается возможным только слу-

чай x1 < x2.

Те о р е м а 3. Если функция f строго возрастает и непрерывна

и обратная функция является однозначной строго возрастающей непрерывной на отрезке [A, B] функцией.

Докажем сначала равенство (7.13). Если a x b, то в силу возрастания функции f на отрезке [a, b] выполняется неравенство

A= f (a) f (x) f (b) = B.

Сдругой стороны, для любой точки y [A, B] согласно теореме 2

опромежуточных значениях непрерывной функции найдется такая точка x [a, b], что f (x) = y. Это и означает, что образом отрезка [a, b] при отображении f является отрезок [A, B] и, тем самым, отрезок [A, B] является множеством, на котором определено обратное отображение (обратная функция) f −1.

Однозначность функции f −1 и ее строгое возрастание на отрезке

[A, B] следуют из леммы. Докажем ее непрерывность на этом отрезке.

Выберем произвольно y0 [A, B], и пусть lim yn = y0, yn [A, B],

n→∞

n = 1, 2, ... Тогда из равенства (7.13) следует, что существуют такие точки x0 [a, b] и xn [a, b], что

т. е. f −1(y0) = x0, f −1(yn) = xn, n = 1, 2, ...

lim xnks = x ,

s→∞

причем в силу (7.15)

x [a, b] \ U (x0, ε).

Из этого включения, очевидно, вытекает, что

Из непрерывности функции f в точке x следует, что

lim f (xnks ) = f (x ).

s→∞

Но предел подпоследовательности {f (xnks )} последовательности yn = = f (xn), n = 1, 2, ..., равен пределу всей последовательности, поэтому

в силу взаимной однозначности отображения f противоречит неравенству (7.16). Следовательно,

lim f −1(yn) = f −1(y0),

n→∞

т. е. обратная функция f −1 непрерывна в произвольно выбранной точке y0 [A, B].

Те о р е м а 4. Если функция f непрерывна и строго возрастает

то f ((a, b)) = (A, B) и обратная функция f −1 является однозначной строго возрастающей непрерывной на интервале (A, B) функцией.

Поскольку из (7.17) следует, что

(см. теорему 4 из п. 6.11), то для любого x (a, b) в силу определения нижней и верхней граней функции имеет место неравенство

A = inf f f (x) sup f = B.

Более того, для всех x, a < x < b, выполняется строгое неравенство

A < f (x) < B. В самом деле, если бы нашлась, например, такая точка x (a, b), что f (x) = A, то для любой точки x , a < x < x, в силу

строгого возрастания функции f имело бы место неравенство f (x ) < f (x) = A = inf f (x),

Пусть теперь

A = inf f < y < sup f = B.

Тогда согласно определению нижней и верхней граней функции существуют такие точки x1 (a, b) и x2 (a, b), что

A < f (x1) < y < f (x2) < B.

В силу строгого возрастания и непрерывности сужения функции f на отрезок [x1, x2] обратная для него функция определена и непрерывна на отрезке [f (x1), f (x2)] (см. теорему 3). А тогда, во-первых, суще-

ствует такая точка x (x1, x2) (a, b), что f (x) = y и, следовательно, f ((a, b)) = (A, B), а во-вторых, сужение на отрезок [f (x1), f (x2)]

обратной функции f −1 непрерывно во внутренней точке y отрезка [f (x1), f (x2)], а поэтому в этой точке непрерывна и обратная функция f −1, рассматриваемая на всем множестве своего определения, т. е. на интервале (A, B). (При рассмотрении непрерывности функции f −1 в точке y, f (x1) < y < f (x2) можно ограничиться лишь рассмотрением окрестностей U (y) точки y, содержащихся в отрезке [f (x1), f (x2)], и окрестностями U (x) точки x, x1 < x < x2, содержащимися в отрезке

[x1, x2].)

Отметим, что последнее заключение следует из того, что если сужение какой-либо функции на множество, содержащее некоторую

136 Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

окрестность заданной точки, непрерывно в этой точке, то и сама функция, рассматриваемая на всем множестве своего определения, непрерывна в указанной точке, так как непрерывность в точке зависит лишь от значений функции в достаточно малой окрестности этой точки.

Отметим, что в теореме 4 интервалы (a, b) и (A, B) могут быть как

конечными, так и бесконечными: −∞ a < b +∞, −∞ A < B+∞.

Утверждения, аналогичные теоремам 3 и 4, имеют место и для строго убывающих функций.

П р и м е р. Функция y = xn, n N, строго возрастает на полуоси x > 0 и непрерывна на всей числовой оси. Действительно, если 0 < x1 < x2, то, умножая n раз это неравенство само на себя, получим 0 < xn1 < xn2 ; это и означает строгое возрастание рассматриваемой функции. Для доказательства ее непрерывности заметим, что функция y = x непрерывна на всей числовой оси. В самом деле, ка-

всей числовой оси (в частности, при x > 0) как произведение n непре-

возрастает и непрерывна на интервале (0, +∞). Поэтому, в частности, из любого положительного числа можно извлечь положительный корень n-й степени, и притом единственный, а следовательно, для любого рационального числа r однозначно определена степень ar , a > 0, такая, что ar > 0 (см. п. 2.1).

З а м е ч а н и е. Аналоги теорем 3 и 4 имеют место и для функций, строго монотонных и непрерывных на конечных или бесконечных полуинтервалах вида [a, b) и (a, b]. Их формулировка и доказательство по мере потребности предоставляются читателю.

7.4. Равномерная непрерывность. Если функция f непрерывна на отрезке, то это означает, что для любой точки x этого отрезка и для любого числа ε > 0 найдется такое число δ > 0 (зависящее от точки x и числа ε), что для всех точек x отрезка, для которых