Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

366.81 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

1	Ряды. Теория

Числовые ряды

Рассмотрим числовую последовательность a1 , a2 , ..., an , ..., т.е. пронумерованный набор чисел.

Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная сумма членов числовой последовательности


			a1 a2 a3 ... an ... an ,
				n 1
an - общий член числового ряда.

Определение 2. Сумма Sn a1 a2 a3 an первых n членов ряда					an называется
					n 1
n-ой частичной суммой.
Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда
S1 a1
S2 a1 a2
S3 a1 a2 a3
...
Sn a1 a2 a3 an
...

Определение 3. Числовой ряд			an сходится, если существует конечный предел последователь-
			n 1
			Sn S . Число S
ности его частичных сумм lim			Sn S . Число S	называется суммой ряда ( an S ).
		n			n 1
					n 1

Числовой ряд an расходится, если lim Sn или не существует.
	n 1		n
	n 1
Свойства сходящихся рядов.

1.	Если сходится ряд	an , то сходится и ряд		can (умножение ряда на константу не влияет на
		n 1	n 1
сходимость).

2.	Если сходится ряд	an , то сходится и ряд		an .
		n 1	n k

3.	Если ряды an и	bn сходятся, то сходится и ряд an bn .
	n 1	n 1		n 1
Необходимое условие сходимости.

Если числовой ряд an сходится, то lim an 0 .
	n 1		n
	n 1
Следствие. Если lim an 0 ,			то ряд расходится.
	n

(Если lim an 0 , то необходимый признак ответа не дает!!!)

		2					Ряды. Теория
	Признаки сходимости рядов с положительными членами
I. Признак сравнения.

Рассмотрим ряды	an , an 0 и	bn , bn 0 . Пусть существует номер N такой, что при
	n 1	n 1
n N выполнено неравенство 0 an bn . Тогда

1) Если ряд bn	сходится, то ряд	an тоже сходится.
n 1		n 1

2) Если ряд an	расходится, то ряд bn тоже расходится.
n 1		n 1
II. Предельный признак сравнения.
				a	n	0
Рассмотрим ряды	an , an 0 и	bn , bn 0 . Если	lim		n	q	,
Рассмотрим ряды	an , an 0 и	bn , bn 0 . Если	lim			q	,
	n 1	n 1	n bn

то ряды an и	bn сходятся или расходятся одновременно.
n 1	n 1

Ряды для сравнения:

1)(ряды Дирихле):

n 1 n
а) 0 1	- ряд расходится ( 1		1
				- гармонический ряд);
				- гармонический ряд);
		n 1 n

б) 1 - ряд сходится.

2)aq (геометрическая прогрессия):

n 1

а) 0 q 1 - ряд сходится; б) q 1 - ряд расходится.

III. Признак Даламбера.

			an 1
Рассмотрим ряд an , an 0 . Пусть lim			an 1	q . Тогда
Рассмотрим ряд an , an 0 . Пусть lim			an	q . Тогда
	n 1	n	an

1)	если q 1 , то ряд	an сходится,
		n 1

2)	если q 1 , то ряд	an расходится,

3)если q 1 , то признак Даламбера ответа не дает.

3	Ряды. Теория

IV. Радикальный признак Коши.


Рассмотрим ряд an , an 0 . Пусть lim n			an	q . Тогда
	n 1	n
	n 1

1)	если q 1 , то ряд	an сходится,
		n 1

2)	если q 1 , то ряд	an расходится,

3)если q 1 , то признак Коши ответа не дает.

V. Интегральный признак Коши.

	y f x , x 1 - непрерывная неотрицательная невозраста-
Рассмотрим ряд an , an 0 . Пусть	y f x , x 1 - непрерывная неотрицательная невозраста-
n 1
ющая функция и an f n . Тогда ряд
ющая функция и an f n . Тогда ряд	an и интеграл	f ( x )dx сходятся или расходятся одно-
	n 1	1
		1

временно.

Ряды. Теория

Знакочередующиеся ряды

Знакочередующимся рядом называется сумма вида:

1 n a

...,

n 1

1 n 1 a

...,

n 1

1. Если ряд an

сходится, то ряд

1 n an сходится абсолютно.

n 1

2. Если ряд an

расходится, то для ряда

1 n an проверяем признак Лейбница:

n 1

а) N : n N an an 1 (т.е. существует номер N , начиная с которого последовательность an убывает),

б) lim an 0 .

Тогда ряд 1 n an сходится условно.

n 1

Оценка остатка ряда Лейбница

Пусть ряд

1 n an сходится (абсолютно или условно) и удовлетворяет условиям:

n 1

а) N : n N an an 1 ,

б) lim an 0 .

Обозначим через Sn

1 k ak -

n -ю частичную сумму, Rn

1 k ak - n -й остаток:

k 1

k n 1

... 1 n a

1 n 1 a

n 1

...

Sn n я частичная сумма

Rn n й остаток

Тогда: 1)

an 1 ,

по знаку совпадает с 1 n 1 .

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов

1)Произвольная перестановка членов абсолютно сходящегося числового ряда не нарушает его сходимости и не изменяет сумму ряда.

2)Теорема Римана (о перестановке членов условно сходящегося числового ряда):

При перестановке членов условно сходящегося числового ряда можно произвольным образом изменить сумму ряда, а также сделать ряд расходящимся.

5		Ряды. Теория
Функциональные ряды
Функциональным рядом называется сумма вида:
u1 x u2 x ... un x ...
u1 x u2 x ... un x ...	un x ,	(1)
	n 1
где функции u1 x , u2 x ,... имеют общую область определения.

Для каждого x x0 из области определения функциональный ряд (1) обращается в числовой ряд

u1 x0 u2 x0 ... un x0 ...		.
u1 x0 u2 x0 ... un x0 ...	un x0	.	(2)
	n 1

Если ряд (2) сходится, то x x0 называется точкой сходимости ряда (1). Множество всех точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда.

Равномерная сходимость

Определение. Сходящийся функциональный ряд называется равномерно сходящимся на интер-

вале a, b , если последовательность Sn x его частичных сумм равномерно сходится на этом

интервале, то есть для 0 N N : n N , x a, b							S x Sn x		.
интервале, то есть для 0 N N : n N , x a, b							S x Sn x		.
Признак Вейерштрасса (достаточное условие равномерной сходимости):
		сходится на интервале a, b и существует сходящийся зна-
Пусть функциональный ряд un x		сходится на интервале a, b и существует сходящийся зна-
	n 1

коположительный числовой ряд an такой, что
	n 1
			un x	an , x a, b .
			un x	an , x a, b .

Тогда ряд	un x сходится равномерно на интервале a, b .
	n 1

Ряд an	называется мажорирующим рядом, или мажорантой для ряда							un x на интервале
n 1								n 1
a, b .
	Свойства равномерно сходящихся рядов
1) Если функции un x непрерывны на интервале a, b , n 1, 2,... и ряд
									un x сходится рав-
								n 1
номерно на этом интервале, то сумма ряда S x непрерывна на интервале a, b .

2) Если функции un x непрерывны на отрезке a, b , n 1, 2,... и ряд un x сходится равно-
							n 1
мерно на этом отрезке, то его можно почленно интегрировать на отрезке a, b :
	b				b
						.
		un x dx			un x dx
	a n 1				n 1 a

3) Если функции un x непрерывно дифференцируемы на интервале a, b , n 1,


un x сходится, а ряд
	un x сходится равномерно на этом интервале, то ряд
n 1	n 1	a, b :
почленно дифференцировать в точках интервала

Ряды. Теория

2,... и ряд

un x можно

n 1




	un x
n 1

			для x a, b .

	un x
	n 1

Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида:

x x

2 ... a

x x

n ...

x x

n ,

(3)

n 0

где a0 , a1 , a2 , ... - коэффициенты степенного ряда.

В точке x x0 ряд (3) сходится.

Теорема Абеля: Если степенной ряд (3) сходится в точке x x1 , то он сходится абсолютно при

x : x x0 x1 x0 .

Следствие: Если степенной ряд (3) расходится в точке x x2 , то он расходится при x :. x x0 x2 x0 .

Теорема: У любого степенного ряда (3) существует R - радиус сходимости, такой, что

1)при x : x x0 R ряд (3) сходится абсолютно;

2)при x : x x0 R ряд (3) расходится;

3)в точках x x0 R необходимо дополнительное исследование;

4)на любом отрезке b, c x0 R, x0 R ряд сходится равномерно.

Интервал x0 R, x0 R называется интервалом сходимости степенного ряда. Радиус и интервал сходимости ищут по признакам Даламбера и радикальному Коши.

Ряды. Теория

Ряд Тейлора

Теорема: Если функция

f x бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки

x x0 (на интервале x0

, x0 ), и для любого x из этой окрестности

lim

Rn x 0 , то в

этой окрестности точки x x0 функция

f x может быть разложена в ряд Тейлора:

f x f x0 f x0 x x0 f x0 x x0 2 ... f

x0 x x0 n ...

x0 x x0

n 0

Теорема единственности:

Если функция f x бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки x x0 и разложена в этой окрестности в степенной ряд

f x

x x

n ,

(4)

n 0

f n x

(то есть ряд (*) является рядом Тейлора функции f x ).

то an

При x0 0 ряд Тейлора

0 2

0 n

f x f 0 f

...

0 x

n 0

называется рядом Маклорена.

Таблица разложений элементарных функций

e x 1 x

...

x R

n 0

a x eln a x

e x ln a

1 x ln a x ln a

x ln a

...

x ln a

...

x ln a

x R

n 0

e x

x2n

chx

...

x R

2n !

n 0

e x

x2n 1

shx

...

x R

2n 1 !

n 0

... 1 n

1 n

cos x 1

...

x R

2n !

n 0

... 1 n

2n 1

1 n

2n 1

sin x x

...

x R

2n 1 !

n 0

2n 1

x 1, 1

arctgx x

... 1 n

2n 1

n 0

1 3

1 3 5

x5 ...

2n 1 !! x2n 1

arcsin x x

n! 2n 2n

...,

2! 22 5

3! 23

Ряды. Теория

1 x

1 2

...

1 2 ... n 1

...,

x 1, 1

1 x

x x2

... 1 n xn

... 1 n xn ,

x 1, 1

1 x

n 0

x x2

... xn ...

xn , x 1, 1

1 x

n 0

ln 1 x x

... 1 n 1

1 n

1, 1

...

, x

n 1

ln 1 x x

x 1,

...

n 1

9	Ряды. Теория
Ряд Фурье

Пусть f x - функция периода 2 , интегрируемая на отрезке , . Рядом Фурье функции f x называется ряд

			a0
			a0				a cos nx b sin nx ,
							a cos nx b sin nx ,
		2					n	n
		2					n 1
коэффициенты которого определяются по формулам:
				1
	an			1		f x cos nxdx,		n 0,1, 2,...,	(*)
	an					f x cos nxdx,		n 0,1, 2,...,	(*)


					1
		bn			1		f x sin nxdx,	n 1, 2,...
		bn					f x sin nxdx,	n 1, 2,...


Теорема (условие Дирихле):		определена и кусочно-дифференцируема на отрезке , .
Пусть функция f x периода	2	определена и кусочно-дифференцируема на отрезке , .

Тогда ряд Фурье сходится к f x в каждой точке непрерывности (т.е. f x разлагается в свой ряд

Фурье), и к	f x 0 f x 0	, если x - точка разрыва функции.

2
Таким образом, если функция удовлетворяет на отрезке , условию Дирихле, то
			a0
		f x		a	cos nx b sin nx

		2		n	n
				n 1
во всех точках непрерывности функции f x .
Теорема: Если функция f x		периода 2 непрерывна на всей действительной оси и имеет кусоч-
но-непрерывную производную, то ее ряд Фурье равномерно сходится к f x .

Теорема единственности:

Если функция f

x периода 2 представима в виде суммы тригонометрического ряда

f x

cos nx b sin nx ,

n 1

равномерно сходящегося при x , то ak , bk

- коэффициенты Фурье (вычисляются по формулам

(*)).

Для коэффициентов ряда Фурье справедливо равенство Парсеваля:

f 2 x dx

an2 bn2

n 1

Если f x - четная функция ( f x f x ), то

f x cos nx - четная функция, а

f x sin nx - нечет-

ная функция. Следовательно,

f x cos nxdx,

n 0,1, 2,...,

bn 0,

n 1, 2,...

то есть функция

f x разлагается в ряд Фурье по косинусам:

an cos nx .

n 1

Ряды. Теория

Если f x - нечетная функция ( f x f x ), то

f x cos nx - нечетная функция, а

f x sin nx -

четная функция. Следовательно,

an 0,

n 0,1, 2,...,

f x sin nxdx,

n 1, 2,...

то есть функция

f x разлагается в ряд Фурье по синусам:

f x

bn sin nx .

n 1

Пусть f x - функция периода 2l , удовлетворяющая на отрезке l,

l условию Дирихле, то

f x

cos

sin

n 1

где

f x cos

nxdx,

n 0,1, 2,...

f x sin nxdx,

n 1, 2,...

Равенство Парсеваля принимает вид:

f 2 x dx

an2 bn2

l l

Если f x - четная функция, то

n 1

f x cos nxdx,

n 0,1, 2,... ,

bn 0,

n 1, 2,...

то есть функция

f x разлагается в ряд Фурье по косинусам:

an cos nx .

Если f x - нечетная функция, то

n 1

an 0,

n 0,1, 2,...,

nxdx,

f x sin

n 1, 2,...

то есть функция

f x разлагается в ряд Фурье по синусам:

f x

sin nx .

n 1

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.11.2019357.89 Кб9тема2 занятие2.doc
#
21.12.2018134.95 Кб36Теоретический минимум.docx
#
05.05.2019140.8 Кб4Теория и практические задания по ППО 2 семестр.doc
#
10.05.2015489.47 Кб49теория надежности.doc
#
10.05.20156.6 Mб80ТЕОРИЯ СИСТЕМ-ЗАДАЧИ И ПРИМЕРЫ 2005.doc
#
10.05.2015366.81 Кб10Теория.pdf
#
01.03.2025262.05 Кб0Терехин курсовой Лизогуб.docx
#
10.05.2015184.83 Кб28Термины и определения по курсу Экология.doc
#
01.03.2025289.06 Кб1Термины по лекциям Райкова не все.docx
#
10.05.201531.03 Кб113тест 1.docx
#
10.05.201532.36 Кб129тест 2.docx