Otvety_fizika

Решение уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Пусть этот коэффициент положителен:

(7.2)

Тогда получим уравнение решением которого является функция u=A0cos(ωt+φ). Значит, решение уравнения (7.1) в случае малых затуханий

 где 

Период затухающих колебаний с учетом формулы (7.2) равен

Логарифмический декремент колебаний — безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колеблющейся величины в одну и ту же сторону:

Логарифмический декремент колебаний равен декременту, умноженному на период колебаний:

Коэффицент затухания - скорость затухания колебаний системы.

Добро́тность — свойство колебательной системы, определяющее полосу резонанса и показывающее, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,

где:

•  — резонансная частота колебаний

•  — энергия, запасённая в колебательной системе

•  — рассеиваемая мощность.

АПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС

переходный процесс в динамич. системе, при к-ром выходная величина, характеризующая переход системы от одного состояния к другому, либо монотонно стремится к установившемуся значению, либо имеет один экстремум (см. рис.). Теоретически может длиться бесконечно большое время. А. п. имеют место, напр., в системах автоматич. управления.

Графики апериодических процессов изменения параметра x(t) системы во времени: х_уст - установившееся (предельное) значение параметра

27.

Чтобы в реальной колебательной системе осуществлять незатухающие колебания, надо компенсировать каким-либо потери энергии. Такая компенсация возможна, если использовать какой-либо периодически действующего фактора X(t), который изменяется по гармоническому закону:    При рассмотрении механических колебаний, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила   (1)  С учетом (1) закон движения для пружинного маятника (формула (9) предыдущего раздела) запишется как    Используя формулу для циклической частоты свободных незатухающих колебаний прижинного маятника и (10) предыдущего раздела, получим уравнение   (2)  При рассмотрении электрического колебательный контура роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя соответсвующим образом периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение   (3)  Тогда дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в простейшем контуре, используя (3), можно записать как    Зная формулу циклической частоты свободных колебаний колебательного контура и формулу предыдущего раздела (11), придем к дифференциальному уравнению   (4)  Колебания, которые возникают под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.  Уравнения (2) и (4) приведем к линейному неоднородному дифференциальному уравнению   (5)  причем далее мы будем применять его решение для вынужденных колебаний в зависимости от конкретного случая (x₀ если механические колебания равно F₀/m, в случае электромагнитных колебаний - U_m/L).  Решение уравнения (5) будет равно (как известно из курса дифференциальных уравнений) сумме общего решения (5) однородного уравнения (1) и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (5) на комплексную переменную х₀e^iωt :   (6)  Частное решение данного уравнения будем искать в виде    Подставляя выражение для s и его производных (  и  ) в выражение (6), найдем   (7)  Поскольку это равенство должно быть верным для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Значит η=ω. Учитывая это, из формулы (7) найдем величину s₀ и умножим ее числитель и знаменатель на (ω₀² - ω² - 2iδω)    Это комплексное число представим в экспоненциальной форме:    где   (8)   (9)  Значит, решение уравнения (6) в комплексной форме будет иметь вид    Его вещественная часть, которая является решением уравнения (5), равна   (10)  где А и φ определяются соответственно формулами (8) и (9).  Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (5) равно   (11)  Решение уравнения (5) есть сумма общего решения однородного уравнения   (12)  и частного решения уравнения (11). Слагаемое (12) играет значительную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, которое определяется равенством (8). Графически вынужденные колебания изображены на рис. 1. Значит, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, которые определяются уравнениями (8) и (9), также зависят от ω . 

Рис.1

Запишем выражения (10), (8) и (9) для электромагнитных колебаний, учитывая, что ω₀² = 1/(LC) и δ = R/(2L) :   (13)    Продифференцировав Q=Q_mcos(ωt–α) по t, получим силу тока в контуре при установившихся колебаниях:   (14)  где   (15)  Уравнение (14) может быть записано как    где φ = α – π/2 — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением (см. (3)). В соответствии с уравнением (13)   (16)  Из (16) следует, что ток отстает по фазе от напряжения (φ>0), если ωL>1/(ωС), и опережает напряжение (φ<0), если ωL<1/(ωС).  Выражения (15) и (16) можно также вывести с помощью векторной диаграммы. Это будет осуществлено далее для переменных токов.

Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс — явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы

В электронных устройствах резонанс возникает на определённой частоте, когда индуктивная и ёмкостная составляющие реакции системы уравновешены, что позволяет энергии циркулировать между магнитным полем индуктивного элемента и электрическим полем конденсатора.

Механизм резонанса заключается в том, что магнитное поле индуктивности генерирует электрический ток, заряжающий конденсатор, а разрядка конденсатора создаёт магнитное поле в индуктивности — процесс, который повторяется многократно, по аналогии с механическим маятником.

Электрическое устройство, состоящее из ёмкости и индуктивности, называется колебательным контуром. Элементы колебательного контура могут быть включены как последовательно, так и параллельно. При достижении резонанса, импеданс последовательно соединённых индуктивности и ёмкости минимален, а при параллельном включении — максимален. Резонансные процессы в колебательных контурах используются в элементах настройки, электрических фильтрах. Частота, на которой происходит резонанс, определяется величинами (номиналами) используемых элементов. В то же время, резонанс может быть и вреден, если он возникает в неожиданном месте по причине повреждения, недостаточно качественного проектирования или производства электронного устройства. Такой резонанс может вызывать паразитный шум, искажения сигнала, и даже повреждение компонентов.

Приняв, что в момент резонанса индуктивная и ёмкостная составляющие импеданса равны, резонансную частоту можно найти из выражения

,

где  ; f — резонансная частота в герцах; L — индуктивность в генри; C — ёмкость в фарадах. Важно, что в реальных системах понятие резонансной частоты неразрывно связано с полосой пропускания, то есть диапазоном частот, в котором реакция системы мало отличается от реакции на резонансной частоте. Ширина полосы пропускания определяется добротностью системы.

28.